现代机械工程自动控制系统的稳定性分析方法.ppt

专题4现代机械工程控制系统的稳定性分析方法 2020 3 18 2 主要内容1 概述2 什么是控制系统的稳定性3 SISO连续控制系统的稳定性分析4 MIMO连续控制系统的稳定性分析5 离散控制系统的稳定性分析 2020 3 18 3 1 概述 2020 3 18 4 1 概述 2020 3 18 5 1 概述 2020 3 18 6 1 概述 2020 3 18 7 1 概述 2020 3 18 8 1 概述 2020 3 18 9 当飞机在受到干扰后仍能回到初始的飞行状态时 称飞机是稳定的 静态不稳定 飞机离开平衡飞行状态后变得不稳定动态不稳定 飞机在平衡状态附近发生振幅越来越大的振荡 对飞机的控制分为两种 使飞机在不同的稳定飞行状态间转换 使飞机进入不稳定状态 加速状态 飞行 飞机的不稳定主要有两种类型 控制与稳定在某种程度上是相对的 1 概述 2020 3 18 10 1 概述 2020 3 18 11 1 概述 2 什么是控制系统的稳定性 对于不同的系统 例如线性的 非线性的 定常的 时变的稳定性的定义不同 线性定常控制系统的稳定性定义 系统受到扰动后恢复到原来平衡状态的能力 系统稳定性 系统的固有性质 取决于系统参数 2020 3 18 13 SISO系统稳定的数学描述 2 什么是控制系统的稳定性 设线性系统在零初始条件下输入一个理想脉冲函数 t 如果xo t 随着时间的推移趋于零 即 则系统稳定 则系统不稳定 若 2020 3 18 14 2 系统稳定的充分必要条件 系统的传递函数 此方程的根称为系统的特征根 如果一个系统的特征根全部落在 s 平面的左半部分 则该系统是稳定的 否则系统是不稳定 2 什么是控制系统的稳定性 特征方程 2020 3 18 15 3 系统稳定条件的证明 2 什么是控制系统的稳定性 系统的单位脉冲响应为 2020 3 18 16 2 什么是控制系统的稳定性 部分分解 拉氏反变换 2020 3 18 17 系统稳定的必要且充分条件为 若系统特征方程根全部具有负实部 则系统是稳定的 也可以描述为 系统传递函数的极点全部位于 s 复平面的左半部 2 什么是控制系统的稳定性 2020 3 18 18 ControlSystemsEngineering FourthEditionbyNormanS NiseCopyright 2004byJohnWiley Sons Allrightsreserved a 稳定系统 闭环极点分布与时间相应 2 什么是控制系统的稳定性 b 不稳定系统 2020 3 18 19 时间响应vs 极点分布 Unstable Stable 2 什么是控制系统的稳定性 2020 3 18 20 3 SISO连续控制系统的稳定性分析 3 1代数稳定性判据3 2代数稳定性判据3 3系统的相对稳定性3 4稳态误差分析方法 2020 3 18 21 3 1代数稳定性判据 3 1 1赫尔维茨 Hurwitz 判据3 1 2劳斯 Routh 判据3 1 3谢绪凯判据 2020 3 18 22 3 1 1赫尔维茨判据 系统的特征方程式 系统的传递函数 2020 3 18 23 1 系统特征方程的各项系数全部为正值 即 i 0 1 2 n 3 1 1赫尔维茨判据 2 由系统特征方程各项系数所构成的赫尔维茨矩阵的各阶主子式行列式的值全部为正 交集 2020 3 18 24 3 1 1赫尔维茨判据 2020 3 18 25 例 单位负反馈系统的开环传递函数为 3 1 1赫尔维茨判据 2020 3 18 26 3 1 1赫尔维茨判据 2020 3 18 27 3 1 2劳斯判据 其中 所有的系数均为实数 这个方程的根没有正实部的必要 但并非充分 条件为 1 方程各项系数的符号一致 2 方程各项系数非0 2020 3 18 28 判断特征根是否全部具有负实部的充要条件首先列出下面的劳斯表 其中 前两列中不存在的系数可以填 0 元素 根据下列公式计算得出 3 1 2劳斯判据 2020 3 18 29 计算bi时所用二阶行列式是由劳斯表右侧前两行组成的二行阵的第1列与第i 1列构成的 系数b的计算一直进行到其余值为零时止 3 1 2劳斯判据 2020 3 18 30 显然 计算ci时所用的二阶行列式是由劳斯表右侧第二 三行组成的二行阵的第1列与第i 1列构成的 同样 系数c的计算一直进行到其余值为零为止 3 1 2劳斯判据 2020 3 18 31 例系统的特征方程为 用劳斯判据判断系统是否稳定 解 因为方程各项系数非零且符号一致 满足方程的根在复平面左半平面的必要条件 但仍然需要检验它是否满足充分条件 计算其劳斯表中各个参数如下 3 1 2劳斯判据 2020 3 18 32 劳斯表为 3 1 2劳斯判据 2020 3 18 33 劳斯表为 表格第一列元素的符号改变两次 因此方程有两个根在复平面的右半部分 求解特征方程 可以得到4个根 分别为 显然 后面一对复根在复平面右半平面 因而系统不稳定 3 1 2劳斯判据 2020 3 18 34 3 1 3谢绪凯判据 2020 3 18 35 3 2几何稳定性判据 3 2 1Nyquist判据3 2 2Bode判据 2020 3 18 36 3 2几何稳定性判据 系统的开环传递函数 设 2020 3 18 37 3 2几何稳定性判据 2020 3 18 38 38 3 2 1奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特路径是包围 s 平面右半面的顺时针方向的封闭曲线Ls 它由两段有向线构成 如图5 3 其中L1为沿 s 的虚轴由的直线 为以为半径从虚轴的正向顺时针转 角到虚轴的负向的半径为无穷大的半圆 L1和L2两段线包围了复平面 s 的右半面 2020 3 18 39 2 用系统闭环传递函数表示的奈奎斯特判据 当已知系统有Z个零点时 系统的传递函数可以表示为 5 9 绘制出Ls的由Gb s 映象的曲线绕原点按顺时针转的周数N来判断系统的稳定性 当N Z时 系统是稳定的 当N Z时 系统是不稳定的 2020 3 18 40 3 用闭环系统的开环传递函数表示的奈奎斯特判据 对于如图所示的闭环控制系统 其传递函数为 系统的特征方程由闭环系统传递函数的分母等于零得出 即系统的特征方程为 即 2020 3 18 41 因此 奈奎斯特稳定性判据可以表述为 当开环传递函数Gk s 在复平面 s 的右半面内没有极点时 闭环系统的稳定性的充要条件是 GH 平面上的映射围线不包围 1 j0 点 2020 3 18 42 如果G s H s 在 s 的右边面有极点 则奈奎斯特判据可一般地表示为 闭环控制系统稳定的充分必要条件为 G s H s 的奈奎斯特周线Ls的映射围线沿逆时针方向包围 1 j0 点的周数等于G s H s 在复平面 s 的右半面内极点的个数 即 由N P 得Z 0 2020 3 18 43 例 设闭环系统的开环传递函数为 其中 如图所示为Ls在 GH 平面上的像 Ls在 GH 平面上的像曲线包围点 1 j0 逆时针转一圈 根据在试问此闭环系统是否稳定 解 由已知条件可知G s H s 只有一个极点s 1 T2在 s 平面右边 即P 1 由在 GH 平面上的乃奎斯特稳定判据可知此闭环系统是稳定的 均为正实数 2020 3 18 44 图复杂的频率特性曲线 3 2 2根据伯德图判断系统的稳定性 1 注意到 到 的像是对称的 故可只画出 由0到 所对应的像轨迹 特别是当包围 1 j0 点转动的周数比较多时 如图5 12 可引入 穿越 的概念 频率特性曲线Gk j 穿过 1 j0 点左边的实轴时 称为 穿越 若 增大时 奈奎斯特曲线由上而下穿过实轴的 1到 区间 相角增大 时称 正穿越 奈奎斯特曲线由下而上穿过时 相角减小 称 负穿越 穿过 1到 区间实轴一次 则穿越次数为1 若曲线始于或终于实轴的此区段上 则穿越次数为1 2 2020 3 18 45 这样 奈奎斯特稳定性判据可表述成 当 从0变到 时 开环幅相频率特性Gk j 在 1 j0 点以左实轴上的正负穿越次数之差等于P 2 其中P是系统开环右极点数 那么闭环系稳定的 否则闭环系统不稳定 即 闭环稳定 开环不稳定 闭环稳定 开环稳定 闭环不稳定 即 2020 3 18 46 如果系统开环是稳定的 即P 0 通常为最小相位系统 则在L 0的所有频率值下 相角不超过 180o线或正负穿越之差为零 那么闭环系统是稳定的 如果系统在开环状态下的特征方程式有P个根在复平面的右边 即为非最小相位系统 它在闭环状态下稳定的充分必要条件是 在所有L 0的频率范围内 相频特性曲线在 180o线上的正负穿越之差为P 2 2 对数频率特性的稳定性判据 2020 3 18 47 例 已知系统开环特征方程的右根数P 以及开环伯德图如图5 16 a b c 所示 试判断闭环系统的稳定性 a b c 不稳定 稳定 稳定 2020 3 18 48 3 3系统的相对稳定性 定义交点 幅值交界频率 的矢量与负实轴的夹角为相位稳定裕度 即 2020 3 18 49 交点处幅值的倒数称为幅值稳定裕度 幅值稳定裕度用分贝表示为 2020 3 18 50 特征方程的系数 例 2020 3 18 51 2020 3 18 52 2020 3 18 53 2020 3 18 54 neu lzallcopyrightreserved 3 4稳态误差 图系统误差信号方框图 系统复域误差 如果H s 1 则 2020 3 18 55 neu lzallcopyrightreserved 系统时域稳态误差 误差时间函数 拉氏变换终值定理 2020 3 18 56 CPU使用控制系统的静态误差 U t ess 20 Us 2020 3 18 57 neu lzallcopyrightreserved 3 4 1系统稳态误差的计算 无积分环节 称为0型系统 有一个积分环节 称为I型系统 有两个积分环节 称为II型系统 依此类推 2020 3 18 58 neu lzallcopyrightreserved 稳态误差的大小与开环传递函数的时间常数 i i 1 2 m Tj j 1 2 n 均无关 由式 7 8 知 与系统稳态误差有关的因素有 系统的开环增益K 系统类型及输入信号Xi s 等 2020 3 18 59 neu lzallcopyrightreserved 3 4 2系统的误差传递函数 2020 3 18 60 neu lzallcopyrightreserved 例设某单位负反馈系统的开环传递函数为 求输入信号为单位阶跃函数和单位斜坡函数时的稳态误差ess 3 4 2系统的误差传递函数 2020 3 18 61 neu lzallcopyrightreserved 2020 3 18 62 neu lzallcopyrightreserved 3 4 3静态误差系数 系统对单位阶跃输入的稳态误差称为静态位置误差 1 位置误差系数Kp 2020 3 18 63 neu lzallcopyrightreserved 1 位置误差系数Kp 2020 3 18 64 neu lzallcopyrightreserved 64 neu lzallcopyrightreserved 系统对单位斜坡输入时引起的误差称为静态速度误差 2 速度误差系数Kv 2020 3 18 65 neu lzallcopyrightreserved 2 速度误差系数Kv 2020 3 18 66 neu lzallcopyrightreserved 系统对等加速度输入引起的稳态误差称为静态加速度误差 3 加速度误差系数Ka 2020 3 18 67 neu lzallcopyrightreserved 3 加速度误差系数Ka 2020 3 18 68 neu lzallcopyrightreserved 表典型输入信号下各型系统的稳态误差 2020 3 18 69 neu lzallcopyrightreserved 例 2020 3 18 70 neu lzallcopyrightreserved 2020 3 18 71 neu lzallcopyrightreserved 3 4 4扰动引起的误差 当系统存在扰动时 系统的总误差为 2020 3 18 72 neu lzallcopyrightreserved 2020 3 18 73 neu lzallcopyrightreserved 例 系统如下图所示 输入和扰动均为单位阶跃函数 试确定系统总稳态误差 解 系统总稳态误差为 由于系统为I型系统 所以 2020 3 18 74 4 MIMO连续控制系统的稳定性分析 4 1李亚普诺夫稳定性分析法4 2线性定常系统的稳定性分析 2020 3 18 75 4 1李亚普诺夫稳定性分析法 4 1 1基本概念 2020 3 18 76 4 1 1基本概念 1 平衡状态和李亚普诺夫意义下的稳定性 设系统的状态方程为 如果存在 则称为系统的平衡状态 2020 3 18 77 对于线性定常系统 只有一个平衡状态 对于非线性系统 可能有一个也可能有几个平衡状态 4 1 1基本概念 2020 3 18 78 例 系统的状态方程为 求此系统的平衡状态 解 系统的平衡状态为 4 1 1基本概念 2020 3 18 79 2 范数的概念 n维状态空间中 向量x的长度称为向量x的范数 用表示 则 长度称为向量x与xe的距离 写成 向量的距离 4 1 1基本概念 2020 3 18 80 若平衡状态选为坐标原点 则状态向量x到平衡状态xe的距离即为状态向量至原点的距离 可表示为范数 通过坐标变换可以将平衡点变换到坐标原点 即 图球域 4 1 1基本概念 2020 3 18 81 3 李亚普诺夫稳定性定义 4 1 1基本概念 2020 3 18 82 b 渐近稳定设系统初始状态满足式 当系统受到一扰动时 系统的响应不但满足式 而且还满足下式 4 1 1基本概念 2020 3 18 83 c 不稳定 设系统初始状态满足式 当系统受到一扰动时 系统的响应无界 即不满足式 则称此系统不稳定 4 1 1基本概念 2020 3 18 84 4 李亚普诺夫函数的符号定义 1 若 0 0 0 则称为正定 2 若 0及存在某一种或者某几种状态使 0 其余状态使都是正的 则称为半正定 3 若 是正定的 则就是负定的 4 若 是半正定的 则就是半负定的 5 若即可为正 也可为负 则就叫不定的 4 1 1基本概念 2020 3 18 85 例 这里假设x为二维向量 试给它们分类 正定的 正半定的 4 5 正定的 2 3 1 负定的 不定的 4 1 1基本概念 2020 3 18 86 5 二次型标量函数的正定性 二次型标量函数可以表示为 4 1 1基本概念 2020 3 18 87 二次型函数正定的充要条件是P为正定 即P的所有主子行列式为正 即 2020 3 18 88 例 试证明下列二次型是正定的 解 二次型V x 可写为 利用赫尔维茨准则 可得 因为矩阵P的所有主子行列式均为正值 所以V x 是正定的 4 1 1基本概念 2020 3 18 89 4 1 2李亚普诺夫直接法 定理1 如果存在一个李亚普诺夫函数V x 满足 1 V x 对于所有的x具有连续的一阶偏导数 2 V x 是正定的 即 是半负正的 即0时 那么由状态方程所描述的系统在原点附近就是稳定的 2020 3 18 90 为纯量函数沿的状态轨迹方向计算的时间导数 即 其中为的梯度 4 1 2李亚普诺夫直接法 2020 3 18 91 定理2 如果存在一个李亚普诺夫函数V x 它满足 1 V x 对于所有的x具有连续的一阶偏导数 2 V x 是正定的 3 是负定的 那么这个系统就是渐近稳定的 当时 系统就是大范围渐近稳定的 4 1 2李亚普诺夫直接法 2020 3 18 92 定理3 如果存在一个李亚普诺夫函数V x 它满足 1 V x 对于所有的x具有连续的一阶偏导数 2 是正定的 3 是正定的 那么这个系统就是不稳定的 4 1 2李亚普诺夫直接法 2020 3 18 93 例 用李亚普诺夫法分析下列系统的稳定性 解 根据平衡点的定义可解出此系统的平衡点为 选李亚普诺夫函数为 它是正定的 4 1 2李亚普诺夫直接法 2020 3 18 94 对时间的导数为 将速度换成位置 即 它是负定的 并且当时 所以此系统是大范围渐近稳定的 4 1 2李亚普诺夫直接法 2020 3 18 95 4 2线性定常系统的稳定性分析 设线性定常系统为 采用二次型函数作为李亚普诺夫函数 即 令 得 2020 3 18 96 例 设系统的状态方程为 利用李亚普诺夫法求使系统稳定的值 4 2线性定常系统的稳定性分析 2020 3 18 97 解 设 得 4 2线性定常系统的稳定性分析 2020 3 18 98 解上式得 4 2线性定常系统的稳定性分析 2020 3 18 99 根据Sylvester法则 所以 4 2线性定常系统的稳定性分析 2020 3 18 100 5 离散控制系统的稳定性分析 5 1SISO离散控制系统的稳定性分析5 2MIMO离散控制系统的稳定性分析 2020 3 18 101 5 1SISO离散控制系统的稳定性分析 5 1 1稳定性分析方法5 1 2极点分布与瞬态响应的关系5 1 3稳态误差分析方法 2020 3 18 102 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 103 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 104 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 105 5 1 1稳定性分析方法 W变换 赫尔维茨稳定性判据 2020 3 18 106 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 107 5 1 1稳定性分析方法 利用赫尔维茨稳定性判据 2020 3 18 108 例分析图所示系统当K 10时的稳定性 求出能使系统稳定的K值范围 T 1s 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 109 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 110 5 1 1稳定性分析方法 2020 3 18 111 5 1 2极点分布与瞬态响应的关系 2020 3 18 112 5 1 2极点分布与瞬态响应的关系 2020 3 18 113 极点分布的影响 z 1 Longersettlingtime Re s Im s Unstable Stable Higher frequencyresponse 5 1 2极点分布与瞬态响应的关系 2020 3 18 114 5 1 2极点分布与瞬态响应的关系 2020 3 18 115 终值定理 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 116 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 117 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 118 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 119 例 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 120 查表 6 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 121 5 1 3离散系统的稳态误差 2020 3 18 122 5 2MIMO离散控制系统的稳定性分析 设齐次离散状态方程为 本节用李亚普诺夫方法分析系统在原点的稳定性 在原点 是平衡状态 取李亚普诺夫函数为 2020 3 18 123 对离散系统用V的差分 代替连续系统的导数 5 2MIMO离散控制系统的稳定性分析 2020 3 18 124 令 得 系统在原点处渐进稳定的条件是 必须是负定的 式中是正定矩阵 5 2MIMO离散控制系统的稳定性分析 2020 3 18 125 2 1 2 2 5 2MIMO离散控制系统的稳定性分析