《留数定理及其应用》PPT课件.ppt

第七章留数定理及其应用 数学物理方法 7 1留数定理 单值函数f z 在孤立奇点bk邻域内的洛朗展开中的项的系数称为f z 在bk处的留数 记作 或 留数 定义 设光滑的简单闭合曲线C是区域G的边界 若除了有限个孤立奇点bk k 1 2 n 外 函数f z 在G内单值解析 在上连续 且C上没有奇点 则 留数定理 如图 围绕每个奇点bk作闭合曲线gk 使gk均在G内 且互不交叠 由复连通区域的柯西定理知 将f z 在bk的邻域内展开为洛朗级数 复连通区域的柯西定理 洛朗展开系数公式 因为 且C内含有z a 可知 留数定理 设z b是f z 的m阶极点 则在b点的邻域内 留数的求法 全为正幂项 求导 m 1 后 低于 m 1 次的幂项没有了 高于 m 1 次的幂项在 只剩了 两边同乘以 z b m得 常见情况 P z Q z 在b点及其邻域内解析 z b是Q z 的一阶零点 Q b 0 Q b 0 P b 0 则 若z b是一阶极点 则 小结 求留数的方法 根据定义将函数在奇点邻域展开 求展开系数a 1 求积分 对m阶极点求导数 对一阶极点 求极限 对一阶极点 有 求在奇点处的留数 是它的一阶极点 方法一 直接在z 0作展开 求在奇点处的留数 方法二 是一阶奇点 所以是的三阶极点 的倒数的零点 求在奇点处的留数 为一阶极点 为二阶极点 先分析奇点的类型 求在奇点处的留数 可将在展开 为在复平面内的唯一孤立奇点 不确定 为本性奇点 求在孤立奇点的留数 只关心负一次幂系数 因此 显然 A B C正好是f z 在一阶极点z 1 z 2 z 3的留数 所以 对有理函数部分分式 所以 为的一阶极点 为本性奇点 求在奇点的留数 补充定理 函数上所有孤立奇点的留数之和为0 证明 设一个球面 其中0点和无穷远点分别在一条半径的两端 则从该奇点看该邻域的正方向与从无穷远点看该邻域的正方向相反 和为0 所以 所有有限孤立奇点的留数的和与无穷远点的留数和相加均为0 如果从数学上严格证明的话 则需要进行一些计算 证明 现在做一个区域 将所有有限奇点囊括进去 则该区域外为无穷远点的邻域则 2 在C 内只有 可能是f z 的奇点 作变换则 对于无穷远点 定义C 为绕无穷远点正向一周的围道 1 在C 内有奇点 bk 则 补充讨论 在t 0点邻域内幂级数展开中t 1项的系数 在t 0点邻域内幂级数展开中t1项的系数 在z 点邻域内幂级数展开中z 1项的系数 此结果与有限远处奇点的留数不同之处为 1 形式上多了一个负号 2 z 1是f z 在 点展开的正则部分 绝对收敛的负幂项 即使 点不是奇点 resf 也可以不为0 反之 即使 点是奇点 甚至为一阶极点 resf 也可以为0 留数的计算在积分计算中常用到 下面重点学习积分计算中留数定理的运用 涉及定积分和常见类型积分的计算 作变换 即 则 R在上连续 保证了R z 在上无奇点 7 2有理三角函数的积分 计算方法 R为和的有理函数 在上连续 计算积分 有一阶极点 只有在内 设 则 计算积分 被积函数为偶函数 令 则 在内 函数f z 只有一个一阶极点 中的被积函数为奇函数 可见z 0是被积函数在内的唯一奇点 是2n 1阶极点 若求2n阶导数则很复杂 故将f z 在中展开 计算积分 令 由二项式定理知 当k n时 为项 的奇点均为一阶极点 只有在内 计算积分 令 计算积分 令 有一阶极点只有在内 在上半平面补上以圆点为圆心R为半径的弧CR 则 R R CR形成闭合围道 应用留数定理计算闭合围道积分后令R 0 7 3无穷积分 将实变函数f x 延拓为f z 补上适当的积分路径 形成闭合围道 计算方法 计算积分 在上半平面只有一个二阶极点 因为 由引理二 第三章 知 所以 可见 无穷积分的被积函数f z 必须满足 1 在上半平面除有限个孤立奇点外 处处解析 实轴上无奇点 2 在内 当时 一致的趋于0 即 使当时 计算定积分 在围道内只有一个一阶奇点 作围道 引理二 所以 即 在上半平面内有两个一阶极点和 计算积分 只要知道 那么分别比较实部和虚部即可 7 4含三角函数的无穷积分 当时 和行为复杂 故取被积函数为 计算方法 或 设 当时 Q z 一致的趋近于0 则 约当定理 其中p 0 CR是以原点为圆心 以R为半径的半圆弧 时 可见 由复变积分性质知 当f x 为偶函数时 f x cospx为偶函数 f x sinpx为奇函数 bk在C内 约当引理保证了 当f x 为奇函数时 f x cospx为奇函数 f x sinpx为偶函数 为偶函数 计算积分 在上半平面内有一阶极点和 由约当引理知 非奇非偶 计算积分 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知 所以 为奇函数 计算积分 在上半平面内有一个一阶极点 由约当引理知 方法一 所以 即 为奇函数 方法二 所以 主值积分解析函数f x 在有界区域内某点x0无界 称为f x 在 a b 上的主值积分 7 5实轴上有奇点的情形 围道作法同上 只是积分围道绕过实轴上的奇点 围道多了一段以实轴上的奇点为圆心 d为半径的半圆弧 计算方法 定义 计算主值积分 由引理二知 大弧上的积分为零 又由引理一知 小弧上的积分值 因此 即 计算积分 围道C内解析 故积分值为零 由约当引理知 大弧积分为零 当时 又由引理一知 小弧上的积分值 可知 即 所以 计算积分 围道C内解析 故积分值为零 在实轴上有二阶极点z 0 作如图围道 又由约当引理知 大弧积分为零 当时 由引理一知 小弧上的积分值 即 计算积分 在实轴上有三阶极点z 0 由约当引理知 大弧积分为零 当时 对于I1作围道C 如下图 故 故 对于I2作围道C 如下图 弧积分在下半平面 以保证能满足约当引理中的 由约当引理知 大弧积分为零 当时 由以上分析可知 类似地可以求出 计算这类积分的关键 选择正确的复变积分的被积函数 相应的复变积分为 z 0和 是被积函数的极点 沿正实轴作割线 并规定割线上岸 积分路径如上图 7 6多值函数的积分 计算方法 s为实数 Q x 单值 在正实轴上没有奇点 计算积分 如图沿正实轴作割线 并规定割线上岸 围道内仅有一个一阶极点 当时 由此可推知一些积分 如时 下一章学习G函数时会直接用到这个结果 实虚部分开 比较虚部可知