八年级数学上册15.2线段的垂直平分线课件新版沪科版.ppt

第15章轴对称图形与等腰三角形 15 2线段的垂直平分线 1 课堂讲解 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 1 知识点 线段垂直平分线的性质 怎样作出线段的垂直平分线 通过折纸可以作出线段的垂直平分线 在半透明纸上画一条线段AA 折纸 使A与A 重合 得到的折痕l是线段AA 的垂直平分线 如图 知1 导 问题 步骤1 步骤2 步骤3 知1 导 也可以用刻度尺量出线段的中点 再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线 下面介绍用尺规作图 作出线段AB的垂直平分线 作法 1 分别以点A B为圆心 大于交于点E F 2 过点E F作直线 则直线EF就是线段AB的垂直平分线 如图 知1 导 思考为什么这样作出的直线EF 就是线段AB的垂直平分线呢 设所作直线EF交AB于点O 你能给出证明吗 知1 讲 线段的垂直平分线的性质 1 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 条件 点在线段的垂直平分线上 结论 这个点到线段两端的距离相等 表达方式 如图 l AB AO BO 点P在l上 则AP BP 2 作用 可用来证明两线段相等 来自 点拨 例1 山东临沂 如图 在四边形ABCD中 AC垂直平分BD 垂足为E 下列结论不一定成立的是 A AB ADB CA平分 BCDC AB BDD BEC DEC导引 根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系 结合三角形全等对四个选项进行逐一验证 AC垂直平分BD AB AD BC DC 又 AC AC ABC ADC BCA DCA 又 BC DC CE CE BEC DEC 选项A B D成立 知1 讲 来自 点拨 C 总结 知1 讲 来自 点拨 平面几何图形问题的解决方法 分析图形 结合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方法 然后再根据具体图形的性质作出判断即可 例2如图 在 ABC中 AC 5 AB的垂直平分线DE交AB AC于点E D 1 若 BCD的周长为8 求BC的长 2 若BC 4 求 BCD的周长 导引 由DE是AB的垂直平分线 得AD BD 所以BD与CD的长度和等于AC的长 所以由 BCD的周长可求BC的长 同样由BC的长也可求 BCD的周长 解 DE是AB的垂直平分线 AD BD BD CD AD CD AC 5 1 BCD的周长为8 BC BCD的周长 BD CD 8 5 3 2 BC 4 BCD的周长 BC BD CD 5 4 9 知1 讲 来自 点拨 总结 知1 讲 来自 点拨 本题运用了转化思想 用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长 从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长 本题中AC的长 BC的长及 BCD的周长三者可互相转化 知其二可求第三者 例3如图 在 ABC中 A 40 B 90 线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D 与AC交于点E 则 BCD的度数是 导引 在 ABC中 B 90 A 40 ACB 50 MN是线段AC的垂直平分线 DC DA AE CE 又 DE DE ADE CDE SSS DCE A 40 BCD ACB DCA 50 40 10 知1 讲 10 来自 点拨 总结 知1 讲 来自 点拨 利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边相等 从而得出三角形全等 再利用全等三角形中对应角相等确定 DCA的度数 根据角度差解决问题 1 中考 义乌 如图 直线CD是线段AB的垂直平分线 P为直线CD上的一点 已知线段PA 5 则线段PB的长度为 A 6B 5C 4D 3 中考 临沂 如图 在四边形ABCD中 AC垂直平分BD 垂足为E 下列结论不一定成立的是 A AB ADB CA平分 BCDC AB BDD BEC DEC 知1 练 2 来自 典中点 3 中考 遂宁 如图 在 ABC中 AC 4cm 线段AB的垂直平分线交AC于点N 若 BCN的周长是7cm 则BC的长为 A 1cmB 2cmC 3cmD 4cm 中考 荆州 如图 在 ABC中 AB AC AB的垂直平分线交边AB于D点 交边AC于E点 若 ABC与 EBC的周长分别是40cm 24cm 则AB 知1 练 4 来自 典中点 2 知识点 线段垂直平分线的判定 知2 导 思考你能写出上面定理的逆命题吗 它是真命题吗 如果是真命题 请给出证明 知2 讲 线段的垂直平分线的判定 1 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 1 条件 点到线段两端距离相等 结论 点在线段垂直平分线上 2 表达方式 如图 PA PB 点P在线段AB的垂直平分线上 3 作用 作线段的垂直平分线的依据 可用来证线段垂直 相等 2 拓展 三角形三边的垂直平分线交于一点 这点到三角形的三个顶点的距离相等 这个点叫这个三角形的外心 来自 点拨 例4如图 在 ABC中 ACB 90 AD平分 BAC DE AB于E 求证 直线AD是CE的垂直平分线 导引 根据角平分线的定义可得 BAD CAD 结合已知条件可证 ADE ADC 所以DE DC AE AC 所以点D A都在CE的垂直平分线上 从而就能证明结论 证明 AD平分 BAC BAD CAD ACB 90 DE AB AED ACB 90 又 AD AD ADE ADC CD DE AC AE 点D A都在CE的垂直平分线上 直线AD是CE的垂直平分线 知2 讲 来自 点拨 总结 知2 讲 来自 点拨 利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线 必须证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等 即证有两点在线段的垂直平分线上 易错之处 只证明一个点在线段的垂直平分线上 就说过该点的直线是线段的垂直平分线 因为过该点的直线有无穷多条 其中只有一条是线段的垂直平分线 注意 证线段的垂直平分线也可以利用定义 例5已知 如图 ABC的边AB AC的垂直平分线相交于点P 求证 点P在BC的垂直平分线上 证明 连接PA PB PC 点P在AB AC的垂直平分线上 已知 PA PB PA PC 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 PB PC 等量代换 点P在BC的垂直平分线上 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 知2 讲 来自教材 例6如图 已知AB AD BC DC E是AC上一点 求证 1 BE DE 2 ABE ADE 导引 1 连接BD 要证BE DE 只要证明E点是线段BD的垂直平分线上的点即可 由AB AD 说明A点是线段BD的垂直平分线上的点 由BC DC 说明C点也是线段BD的垂直平分线上的点 所以AC是线段BD的垂直平分线 而已知E是AC上一点 问题得以解决 2 要证明角相等 只需证明 ABE ADE即可 知2 讲 证明 1 连接BD 如图 AB AD BC CD A C两点均在线段BD的垂直平分线上 AC是线段BD的垂直平分线 又 E是AC上一点 BE DE 2 在 ABE和 ADE中 AB AD BE DE AE AE ABE ADE SSS ABE ADE 知2 讲 来自 点拨 总结 知1 讲 来自 点拨 由线段的垂直平分线的判定定理确定AC是线段BD的垂直平分线 再由线段垂直平分线的性质得BE DE 这是线段垂直平分线的性质和判定定理的综合运用 例7如图 某城市规划局为了方便居民的生活 计划在三个住宅小区A B C之间修建一个购物中心 试问 该购物中心应建于何处 才能使得它到三个小区的距离相等 导引 本题转化为数学问题就是要找一个点 使它到三角形的三个顶点的距离相等 首先考虑到A B两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分线上 到B C两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平分线上 两条垂直平分线的交点即为所求的点 解 连接AB BC 分别作AB BC的垂直平分线DE GF 两直线交于点M 则点M就是所要确定的购物中心的位置 如图 知2 讲 来自 点拨 总结 知2 讲 来自 点拨 解决作图选点性问题 若要找到某两个点的距离相等的点 一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找 1 已知 C D是线段AB外的两点 且CA CB DA DB 求证 直线CD垂直平分线段AB 锐角三角形ABC内有一点P 满足PA PB PC 则点P是 ABC A 三条角平分线的交点B 三条中线的交点C 三条高的交点D 三边垂直平分线的交点如图 点D在三角形ABC的BC边上 且BC BD AD 则点D在线段 的垂直平分线上 A ABB ACC BCD 不确定 知2 练 来自 典中点 2 3 来自教材 1 线段的垂直平分线的性质和判定的 两点作用 1 利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等 只需直线满足垂直 平分即可 2 利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段的相等关系 2 应用线段垂直平分线的性质要注意两点 1 点一定在垂直平分线上 2 距离指的是点到线段两个端点的距离