一种自然主义的数学哲学.ppt

1 一种自然主义的数学哲学 叶峰 北京大学哲学系 yefeng 2 一种自然主义的数学哲学 自然主义是当代主要哲学思潮之一 笔者最近几年在自然主义框架下做了一些数学哲学方面的研究工作 包括尝试论证自然主义蕴涵数学唯名论 从自然主义的角度分析当前唯名论或反实在论数学哲学的不足 在自然主义的框架下探索对经典数学的可应用性的逻辑解释 以及在自然主义的框架下分析逻辑与算术的分析性 先天性与必然性 分析数学的客观性等等 摘要 3 一种自然主义的数学哲学 这个报告先简要介绍什么是自然主义 第1节 当前接受自然主义的各种数学哲学派别 第2节 及笔者所接受的一种彻底的自然主义 第3节 然后它将介绍笔者的三篇论文的内容 第一篇试图论证这种彻底的自然主义蕴涵数学唯名论 第4节 第二篇提出唯名论数学哲学应该完成的任务 讨论当前各种唯名论数学哲学的不足 第5节 第三篇介绍在自然主义框架下解释数学的可应用性的一种策略 第6节 摘要 4 一种自然主义的数学哲学 三篇论文如下 NaturalismandAbstractEntities forthcominginInternationalStudiesinthePhilosophyofScience Whatanti realisminphilosophyofmathematicsmustoffer forthcominginSynthese OnlineFirstVersion 摘要 5 一种自然主义的数学哲学 1 什么是自然主义 6 一种自然主义的数学哲学1 什么是自然主义 哲学是世界观究竟什么事物存在 物体 现象 灵魂 共相 抽象实体 经验 我们自身是什么 我自己是什么 物理系统 具有意识属性的生物体 先验自我 灵魂 我们怎么认识存在着的事物 经验 直觉 先定和谐 灵魂的回忆 物理相互作用 什么是意义 真理 可能性 意识 意向性 自由意志 伦理原则 什么是哲学 7 一种自然主义的数学哲学1 什么是自然主义 科学方法是获得知识的最可靠方法 没有优于科学方法的所谓第一哲学 FirstPhilosophy 方法 蒯因 与先验哲学相对立 接受当前的科学结论是最理性的态度 虽然当前科学的结论可能再被修改 还未断言我们自身是什么 认识过程是什么 一个灵魂或 先验自我 transcendentalego 在用科学方法认识 外部世界 方法论自然主义 8 一种自然主义的数学哲学1 什么是自然主义 当前的科学结论蕴涵着 宇宙是物质的 而且人类自身也是物质的 是进化的结果 没有非物质的心灵实体 即科学反对实体二元论 但还有一些分歧物理主义 心理过程原则上是物理过程 属性二元论 心灵属性是一些复杂系统如大脑具有的 原则上不可还原为物理属性的属性 是否接受方法论自然主义蕴涵着必须接受物理主义 这还有争议 从方法论自然主义到物理主义 9 一种自然主义的数学哲学1 什么是自然主义 存在着的就是物理对象 人类是复杂物理系统 所有属性 规律 原则上 可归约为物理属性与定律不考虑计算复杂性的话 没有什么属性与规律原则上不可归约 给定所有基本粒子 它们的物理状态及它们遵从的物理定律 一切其它属性 心理 伦理 美学等属性 就都确定 认知过程是物理过程 意义 真理等等都要在物理主义的框架下被理解 作为一种世界观的物理主义 10 一种自然主义的数学哲学1 什么是自然主义 D Papineau PhilosophicalNaturalism Oxford BlackwellD Papineau Naturalism inStanfordEncyclopediaofPhilosophy 参考文献 11 一种自然主义的数学哲学 2 自然主义与当代数学哲学 12 一种自然主义的数学哲学2 自然主义与当代数学哲学 多数当代数学哲学研究者接受方法论自然主义 即 承认现代科学的结论 在此基础上考虑数学哲学问题 承认现代科学的方法 包括概念分析 逻辑推理 及假说 演绎 观察验证等方法 是获得知识的最可靠方法 没有尝试所谓超验 transcendental 方法 没有假设某种在自然主义的框架下不可解释的直觉 谁接受自然主义 13 一种自然主义的数学哲学2 自然主义与当代数学哲学 哥德尔是例外 现代科学的唯物主义是错的抽象直观是认识数学公理的主要途径 谁接受自然主义 14 一种自然主义的数学哲学2 自然主义与当代数学哲学 当代数学哲学的核心问题 是关于数学对象的本体论问题 即是否存在着抽象数学对象 实在论 抽象数学对象存在 数学定理是关于抽象数学对象的真理 难题 我们如何可能获得关于不存在于时空之中的抽象数学对象的知识 唯名论 或反实在论 不存在所谓抽象数学对象 或它们不独立于我们的语言与思想存在 难题 数学定理还是真理吗 如不是 数学如何可能成为科学的基础 在科学应用中得出真理 当代数学哲学的核心问题是什么 15 一种自然主义的数学哲学2 自然主义与当代数学哲学 蒯因的实用主义实在论 科学必须用数学 数学应用不可或缺地承诺抽象数学对象 因此科学的成功核证了 justify 抽象数学对象存在 Burgess的反反实在论 数学与其它科学分支一样 是科学的分支 方法论自然主义要求我们一样接受数学家发现的数学真理 并非需要物理学应用才能核证数学真理 Maddy的数学自然主义 数学有自己的方法论原则 数学对象在而且只在数学内部断定它们存在那种意义上存在 方法论自然主义之下的不同数学哲学 16 一种自然主义的数学哲学2 自然主义与当代数学哲学 各种唯名论 可以改写科学理论使它不必指称抽象数学对象 因此科学的成功不核证抽象数学对象存在 Field 科学语言中的对象数学对象的指称应该理解为比喻式的 不是真的指称对象 Yablo 科学也许不得不在表面上指称抽象数学对象 但科学的成功并不核证抽象数学对象存在 Hoffman Leng Melia 数学只需假设一些可能的结构 或可能的具体对象 Chihara Hellman 方法论自然主义之下的不同数学哲学 17 一种自然主义的数学哲学2 自然主义与当代数学哲学 对当代数学哲学的基本问题的更多的介绍 可参看叶峰 二十世纪数学哲学 一个自然主义者的评述 第一章 参考文献 18 一种自然主义的数学哲学 3 一种彻底的自然主义 19 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 人类是这个物质宇宙的一部分 是宇宙中的物质进化的产物 认知的主体就是大脑 认知过程最终是物理过程 大脑的知识来源于基因决定的大脑的内在结构及大脑与环境的物理作用 认知的主体不是非物质的心灵 或所谓 超验自我 认知过程不是 主体 对所谓 外部世界 的认识 是 无我 或 无主体 的自然主义世界观 一种彻底的自然主义 20 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 与物理主义相容 但也不明确排斥属性二元论 不是独断的信念 只是方法论自然主义的谨慎推论只假设主流科学较肯定地接受的结论 从谨慎的 极小的前提出发 看看能够解释多少世界与人类活动的各个方面 包括人类的数学实践 如果可以确定地发现彻底自然主义不能容纳的东西 那么只能放弃彻底自然主义 如果可以解释意义 真理 可能性 意向性 意识 自由意志 伦理原则 数学知识等等等等 那么应该由反对者回答为什么他们相信那些超出主流科学所接受的结论的那些东西 一种彻底的自然主义 21 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 是一种极小主义 彻底自然主义正面所做的应该是各方都可以接受的 即使你相信有灵魂 你也应该承认有大脑 而且大脑有极其复杂的功能 仅仅假设大脑的对意义 真理 数学应用等等的解释也是可接受的 用细致 辛苦的技术性工作代替模糊的思辨 一种彻底的自然主义 22 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 关于语言 语言是大脑进化到一定程度后产生的功能 大脑识别 记忆声音文字 将它们与其它 由神经元实现的 记忆在大脑中相连接 并通过控制身体的行动将它们与环境中的事物相联系 而使得声音文字成为语言 语言不是 超验主体 用来描绘 外部世界 的工具 关于概念 概念是大脑中的神经元结构概念与对象之间的表示关系 即指称 是物质性的事物之间的物质性的关系 即自然化的表示关系 概念不是独立于大脑 大脑可以 把握 的抽象事物 彻底的自然主义的推论 23 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 关于语言的意义 指称 彻底的自然主义的推论 兔子 兔子 大脑 自然化的表示关系 兔子 指称 表示词项的概念 自然化的表示关系 神经元联结 表示事物的概念 涵义 关于真理真理也是大脑中的事物与大脑外的事物之间的物质性的 自然的关系 24 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 关于可能性 不存在所谓可能世界 可能事态 各种可能性即各种可想象性 要从大脑想象事物的方式的特征去解释可能性 所谓大脑想象事物 即大脑处理一些语言描述 即一些神经元活动 关于抽象数学对象 不存在所谓抽象对象 大脑不会神秘地 把握 独立于人类的抽象对象或概念 真正存在的是大脑想象所谓 抽象对象 时创造出的大脑中的 作为神经元结构的数学概念 思想 彻底的自然主义的推论 25 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 关于数学应用 一个数学应用过程 是大脑与环境中的事物相互作用的过程 是自然现象 解释数学的可应用性是解释一类自然现象中的规律性 彻底的自然主义的推论 26 一种自然主义的数学哲学3 一种彻底的自然主义 自然主义不是基础主义 对数学应用的解释不是对数学知识的基础主义的辩护 自然主义不认为有传统意义上的先天的 绝对可靠的基础知识 设想传统意义上的先天的 绝对可靠的知识 必须预设绝对的 超自然的认知主体 大脑的知识 是大脑在进化及与环境的相互作用中产生的 大脑可以重新组织自己的知识库 区分更可靠的与更不可靠的知识 但没有传统意义上的先天的 绝对可靠的知识 一个说明 27 一种自然主义的数学哲学 4 从自然主义到唯名论 28 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 NaturalismandAbstractEntities forthcominginInternationalStudiesinthePhilosophyofScience 论文 29 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 对数学实践的完备的自然主义描述无须假设抽象实体数学实践是大脑的活动 对数学实践的自然主义描述 最终是描述神经元活动及其与环境中的事物的物理相互作用 这种描述无需也不能用 指称 等语义概念 也无需说大脑中一个实现数学概念的神经元结构 指称 什么抽象实体 基本论证 30 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 大脑A正在将它的数学概念应用于描述实验室中的物理对象 描述大脑A的数学实践活动 只需描述大脑A中的神经元如何活动 如何与实验室中的物理对象相联系等等 不必说大脑A中的神经元 指称 了什么数学对象 大脑B在描述大脑A的活动 以及大脑A与实验室中的物理对象之间的联系 大脑B中的神经元以相似的方式活动 与大脑A及实验室中的其它物理对象相联系 大脑B中的神经元也不 指称 任何数学对象 一个误解 描述神经元活动依旧需要用数学 31 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 经典数学对科学的不可或缺性仅仅意味着 某些形式的大脑神经元活动 比如 研究与应用经典数学而非直觉主义数学的大脑神经元活动 对于大脑认识世界来说是不可或缺的 接受 存在大于1000的素数 这个语句 本身也是一些神经元活动 与抽象实体的存在性无关 大脑中的由神经元实现的概念 思想 可以与物质性的事物产生自然化的 表示 或 真 关系 但这是物质性的联系 不是超出自然主义的 语义表示 指称 或 真 其它一些澄清 32 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 论证实在论有认识论难题 需要假设关于人类的认知能力的某些局限 如因果知识论假设 这个论证是正面地说 大脑的数学实践活动无须与所谓抽象数学实体相联系 而不是反面地说大脑由于其局限性不可能认识到抽象数学实体 论证实在论有指称难题 也需要关于指称关系如何实现的假设 如因果指称论 这个论证是正面地说 描述大脑的数学实践活动无须说明大脑指称了什么抽象数学实体 而不是反面地说大脑不可能指称到抽象数学实体 与传统的反实在论论证的比较 33 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 对论证的结论唯名论的定义无需用到 抽象实体 这个概念 数学概念 思想 词项 语句本身是物理对象 它们在大脑的认知活动中有相对抽象的功能 它们与大脑外的物理对象间接地产生联系 数学概念 思想 词项 语句等的意义在于它们的这些认知功能 及它们与大脑外的物理对象的联系 对数学概念 思想 词项 语句等在大脑中的认知功能 及它们与大脑外的物理对象的联系的自然主义描述 已经就是对大脑的数学实践的完备的描述 与传统的反实在论论证的比较 34 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 Quine同时支持物理主义与数学实在论 Quine的 承诺抽象实体 概念预设了超自然的承诺主体如果一个大脑承诺了抽象实体 仅仅在于大脑以某种方式使用语言 那么这仅仅是大脑以某种方式进行神经元活动 说一种神经元活动方式是 承诺了抽象实体 是多余的 只有将 我们 理解为自然世界之外的 主体 而不是作为物质世界一部分的大脑 才会由 我们 以某种方式使用语言 得出 我们承诺了外部世界 中有某种实体 与Quine的比较 35 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 Quine的信念之网 外围为观察语句 与经验相联系 核心包括数学与逻辑 承诺了抽象数学对象 描绘了抽象数学世界 信念之网整体地接受经验的核证 信念之网是大脑中的神经元结构 整体主义仅仅意味着 信念之网作为一个物理系统是整体地与环境相互作用 只要不假设一个在信念之网背后的 利用信念之网去描绘 外部世界 的 主体 不必说信念之网的核心描绘了 外部世界 中的抽象数学世界 整体主义也与抽象实体无关 36 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 去引号 disquotation 指称论与真理论 雪 指称雪 雪是白的 是真的 当且仅当雪是白的 指称抽象对象没有任何困难 3 就指称3 文字或作为神经元的概念与物理对象之间的指称关系 是物质性的事物之间的非常复杂的关系 雪 指称雪 只是陈述了指称现象 没有给出关于指称机制的理论 好比 种瓜得瓜 种豆得豆 只是陈述了遗传现象 没有指出遗传机制 去引号 真理论也无助于拯救抽象实体 37 一种自然主义的数学哲学4 从自然主义到唯名论 雪 指称雪的机制是可以给出的 即语义表示关系或意向性关系的自然化 但 3 指称3的机制无法同样给出 去括弧指称论带来一个幻觉 认为指称抽象对象与指称具体事物都是简单平凡的 去引号 真理论也无助于拯救抽象实体 38 一种自然主义的数学哲学 5 唯名论数学哲学的任务 39 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 Whatant realisminphilosophyofmathematicsmustoffer forthcominginSynthese Vol 175 No 1 availableonline 论文 40 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 如果数学对象不存在 那么数学知识是关于什么的知识 数学家的数学直觉 经验是关于什么的直觉与经验 实在论者提出 尊重数学家的数学知识 直觉 经验意味着接受实在论 唯名论者应该指出数学实践中真正存在的是什么 并用这些真正存在的东西 对数学知识 直觉 经验做出与唯名论相一致的解释 目前的唯名论数学哲学或者未尝试这一点 或者在尝试中依旧指称抽象事物 数学知识 直觉 经验在于什么 41 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 直观上 数学对象与物理对象之间有一些真实的关系 如黎曼空间与物理时空在结构上相似 这些关系是数学可应用的基础 一些唯名论者提出 数学对象是虚构的对象 虚构对象可以与物理对象相似 可以做模型模拟真实对象 但虚构对象不存在 在什么意义上不存在的事物可以与物理对象相似 可以做模型 所以这只是比喻式的描述 不是真实的回答 实在论者可以说 既然所谓虚构对象有这些真实属性 它们就在抽象的意义上存在 唯名论者应说明 数学与物理对象之间的真实关系在于什么 并说明这如何是数学可应用的基础 数学与物理对象的关系在于什么 42 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 直观上 数学是客观的 不是随意编撰的故事 如果数学对象不存在 数学的客观性不在于抽象数学对象的客观存在性 那么数学的客观性在于什么 承认客观性是否蕴含着承认抽象实体 承认两个十进制数字相加的结果的正确与否的客观性 是否意味着承认十进制加法运算规则或加法函数作为抽象实体的客观性 一些唯名论者可能否认数学的客观性 认为数学仅仅是虚构的故事 但如果一个工程师的数学计算上的错误使得一座桥梁坍塌 那应该是一个客观的错误 而不仅仅是那个工程师编了一个与众不同的故事 数学的客观性在于什么 43 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 一些唯名论者称 5 7 12是字面意义上 literally 假的 但显然有与 5 7 12 密切相关的知识 真理 孩子们在学习5 7 12显然学到了某种知识 而且 这个知识在直观上是明显的 普遍的 必然的 与先天的 真正重要的是解释 假如作为抽象对象的自然数不存在 那么 5 7 12 蕴含的是关于什么的知识 而它是否及为何是明显的 普遍的 必然的 与先天的 解释算术的显明性 普遍性 必然性 与先天性 44 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 在物理学家看来 宇宙有可能是有限 离散的 如果是 则假设无穷的实在性只能是假设了不存在于时空之中的抽象对象 宇宙是有限还是无穷在物理学上没有定论 但数学哲学不应依赖于物理学假说 而且无穷数学可应用于明显是有限 离散的事物 如经济学中 即使宇宙真是有限 离散的 我们还是一样应用经典数学 所以 唯名论者对数学的解说不应以假设任何形式的无穷的实在性为基础 唯名论者应回避假设无穷的实在性 45 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 否定数学定理为真理后 解释数学的可应用性 应该成为一种唯名论数学哲学的主要工作 一些唯名论者只是给数学的可应用性贴了一个标签 如经验恰当性 empiricaladequacy 而没有真实地解释数学的可应用性 一些唯名论者解释数学的可应用性时假设了无穷 一些唯名论者解释数学的可应用性时指称所谓 虚构对象 因此他们的解释本身是字面意义上假的 一些唯名论者没有讨论这个问题 解释数学的可应用性 46 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 将数学实践视为大脑的活动 对数学实践作完全地在字面意义上真的 科学的解释 以认知科学为基础解释数学知识 直觉 经验 数学与物理对象的联系 最终在于大脑中由神经元实现的数学概念 思想与其他物理对象之间的联系 数学的客观性在于大脑之间的相似性 以及大脑中的数学概念 思想与其它物理对象之间的联系上的客观性 在彻底自然主义中完成这些任务的策略 47 一种自然主义的数学哲学5 唯名论数学哲学的任务 算术与逻辑的显明性 普遍性 必然性 与先天性 应该由大脑的由基因决定的内在结构与先天倾向 以及作为进化结果的大脑与环境之间的先天适应性来解释 数学实践中所涉及的事物都是有限的 对数学实践的自然主义描述是严格地有穷主义的 数学的可应用性 是有限大脑与有限环境的某类相互作用中的规律性 抽象掉其中与逻辑无关的细节 它成为经典数学中的概念 陈述如何可以帮助推导关于有限事物的真理这个逻辑问题 在彻底自然主义中完成这些任务的策略 48 一种自然主义的数学哲学 6 数学的可应用性的逻辑解释 49 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 StrictFinitismandtheLogicofMathematicalApplications bookdraft availableonline 书稿 论文 50 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 一个数学应用过程 是一个涉及大脑中的数学推理等活动 以及大脑中的事物与大脑外的事物的自然化的对应关系的一个物理过程 自然主义图景中的数学应用 物理前提 自然化的真 自然化的真 数学化的物理假说 物理结论 数学结论 模拟 数学证明 解释 大脑 抽象思想 51 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 数学的可应用性意味着某一类自然现象中的规律性 即在那一类大脑的数学应用过程中 只要存在物理前提与环境中的事物之间的自然化的对应关系 就一定存在物理结论与环境中的事物之间的自然化的对应关系 类似于一类物理过程中的某个物理量的守恒性解释数学的可应用性意味着科学地解释这一类自然现象中的规律性 可应用性问题是一个科学问题 对可应用性的解释是一个科学解释 可应用性的自然化 52 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 解释数学的可应用性时可以忽略所有心理学上的细节 比如可以假设大脑中的概念 思想就是某个形式语言中的项与公式 可以忽略自然化的对应关系中的细节 将其模拟为形式语言与语义模型之间的满足关系 因此 可应用性成为一个逻辑问题 解释可应用性成为逻辑上的技术性的工作 可应用性问题可以抽象成逻辑问题 53 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 关于无穷数学对象的数学公理 对于表达关于宇宙中有限事物的假说 推导关于它们的结论 是否绝对地不可或缺 无穷数学的证明如何保持对有限事物的真理性 是否可能将数学应用过程 表达为从关于有限具体事物的真假设 到关于有限具体事物的真结论的逻辑有效的推导 应用无穷数学 如何简化了关于宇宙中有限事物的假说的表达 以及关于它们的结论的推导 目前还未研究这个问题 经典数学可应用性的逻辑之谜 54 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 提出一种严格有穷主义数学 strictfinitism 是无量词的原始递归算术 PRA 的一个片断 所接受的函数限于初等递归函数 即由加法 自然数 减法 乘法 幂函数 用复合与有界极小化构造出的函数 其陈述可直接解释为关于有限 具体的计算设备 计算机 大脑等 的字面意义上为真的陈述 一个解释可应用性的尝试 55 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 严格有穷主义数学的可应用性 一个解释可应用性的尝试 物理假设 自然化的 真 物理结论 关于有限物理对象的有效推理 联系数学与物理的假设 模拟 严格有穷主义数学的公理 有限物理对象 有限计算设备 56 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 解释经典数学的可应用性的策略 在严格有穷主义的框架中发展应用数学 证明严格有穷主义数学原则上就足以表达科学理论 完成科学应用中的计算与推理 因此 经典数学的应用原则上可归约为严格有穷主义数学的应用 因此 经典数学的可应用性被归约为严格有穷主义数学的可应用性 一个解释可应用性的尝试 57 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 关于无穷数学对象的公理 不是关于宇宙中有限事物的科学结论的必不可少的前提 数学应用过程 原则上可转换为从关于有限具体事物的假设 到关于有限具体事物的结论的逻辑有效的推导 目的是解释一个逻辑上的谜 不是要用有穷主义数学替代经典数学 对可应用性之谜的回答 58 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 解释经典数学的可应用性的主要技术性工作是证明 有穷主义猜想 严格有穷主义数学原则上足以为科学应用提供数学工具 因此经典数学的应用原则上可归约为严格有穷主义数学的应用 实现这个解释要做的工作 59 一种自然主义的数学哲学6 数学的可应用性的逻辑解释 支持有穷主义猜想的理由 目前已证明微积分 基本的度量空间理论 基本的复分析 勒贝格积分理论 部分泛涵分析 包括作为经典量子力学的数学基础的无界线性算子的谱理论 等可以在严格有穷主义数学的框架中发展起来 见FengYe StrictFinitismandtheLogicofMathematicalApplications bookdraft 无穷与连续在应用中只是用来作近似 似乎不应该是绝对不可或缺的 由不完全性定理得出的独立于严格有穷主义数学的结论 应该理解为归纳结论 数理逻辑中已知的独立于严格有穷主义数学的一些结论 都涉及增长太快的函数 没有实际应用的机会 因为宇宙尺度与基本粒子尺度的比 10100 实现这个解释要做的工作 60 谢谢