八年级数学上册 第十五章 分式同步授课课件 （新版）新人教版.ppt

第十五章分式 15 1分式15 1 1从分数到分式 课前预习1 在中 其中是分式 2 若分式有意义 则实数x的取值范围是 3 若分式的值为零 则x的值为 A 0B 1C 1D 1 x 5 C 课堂精讲知识点1 分式的概念一般地 如果A B表示两个整式 并且B中含有字母 那么式子叫做分式 分式中 A叫做分子 B叫做分母 1 分式的概念可类比分数得出 分式的形式和分数类似 但它与分数有区别 分数是整式 不是分式 根本区别在于分式的分母中含有字母 这也是分式的一个重要标志 2 分式实际上是一个商式 它的分子是被除式 分母是除式 分数线相当于除号 同时也有括号的作用 例如也可以表示为 a l a 1 但 a l a l 不是分式 因为它不符合的形式 3 分式中分母含有字母 而整式没有分母或有分母但分母中不含有字母 整式中的字母可以取任意实数 但分式中的字母取值不能使分母等于0 注意 分式是一个形式定义 因此判断一个式子是不是分式 不能把原式化简后再判断 而只需看原式的本来 面目 是否符合分式的定义 与分子中的字母无关 比如 就是分式 课堂精讲 例1 式子 1 2 中 是分式的有 A 1 2 B 3 4 C 1 3 D 1 2 3 4 解析 判断分式的依据是看分母中是否含有字母 如果含有字母则是分式 如果不含有字母则不是分式 解 1 3 等式子的分母含有字母是分式答案 C 变式拓展1 在有理数 中分式有 A 1个B 2个C 3个D 4个 B 课堂精讲知识点2 分式有意义 无意义的条件 1 分式有意义的条件 分式的分母不等于0 分式是由两个整式相除得来的 除式不能为O 所以在分式中 分母不能为O 这是分式有意义的条件 2 分式无意义的条件 分式的分母等于0 分式有无意义与分母有关 与分子无关 分式中分母是含字母的式子 它的值随着字母取值的不同而变化 当字母的取值使分母等于O时 分式就没有意义了 因此要确定分式是否有意义 就要分析 讨论分母中字母的取值 以避免分母的值为0 课堂精讲 例2 求使下列分式有意义的x的取值范围 1 2 3 解析 1 根据分式有意义的条件可得2x 5 0 再解即可 2 根据分式有意义的条件可得2 x 0 再解即可 3 根据分式有意义的条件可得 x 2 5x 3 0 再解即可 解 1 由题意得 2x 5 0 解得 x 2 由题意得 2 x 0 解得 x 2 3 由题意得 x 2 5x 3 0 解得 x 2或 变式拓展2 x满足什么条件时 下列分式有意义 1 2 解 根据题意得 x x 1 0 解得 x 0且x 1 解 对任意实数都有x2 1 0 则x的范围是 任意实数 课堂精讲知识点3 分式的值为零的条件分式的值为0的条件 当分式的分子等于O且分母不等于O时 分式的值为0 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的 所以使分式为O的条件是A O且B O 两者缺一不可 课堂精讲 例3 下列各式中 当x取什么数时 分式的值为零 1 2 解析 根据分式的值为零 分子为0且分母不为0 即可得出x的值 解 1 根据题意得x 1 0 解得x 1 当x 1时 分式的值为零 2 根据题意得 x 5 0 解得x 5 当x 5时 分式的值为零 变式拓展3 x为何值时 下列分式的值为0 1 2 解 分式的值为0 x 0 解 分式的值为0 x 2 0 x 2 随堂检测1 下列代数式中 属于分式的是 A 5xB C D 2 下列分式中 无论x取何值 分式总有意义的是 A B C D 3 若代数式有意义 则实数x的取值范围是 C A x 3 4 当x 时 分式的值为零 5 若分式的值为零 则x的值为 1 1 15 1 2分式的基本性质 课前预习1 分式可变形为 A B C D 2 化简的结果 A x yB y xC x yD x y3 对分式和进行通分 则它们的最简公分母为 4 写出一个最简分式 D C 6a2b3 课堂精讲知识点1 分式的基本性质 1 分式的基本性质 分式的分子与分母乘 或除以 同一个不等于0的整式 分式的值不变 分式的基本性质是分式变形的理论依据 运用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形 它不改变分式值的大小 只改变其形式 用式子表示为 C 0 其中A B C是整式 注意 基本性质中的A B C表示的是整式 其中B 0是已知条件中隐含着的条件 一般在解题过程中不另强调 C O是在解题过程中另外附加的条件 在运用分式的基本性质时 必须重点强调C O这个前提条件 例如 由已知条件 有意义 可以知道x 0 因此 在用x去乘分式的分子 分母时 不需要再特别强调x 0这个条件 应用分式基本性质时 要深刻理解 同 的含义 避免犯只乘分子 或分母 的错误 若分式的分子或分母是多项式 运用分式的基本性质时 要先用括号把分子或分母括上 再乘或除以同一整式C 分式的基本性质是分式进行约分 通分和符号变化的依据 2 分式的符号法则 分式的分子 分母与分式本身的符号 同时改变其中两个 分式的值不变 用式子表示为 或 课堂精讲 例1 在括号内填入适当的代数式 使下列等式成立 1 2 解析 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式 分式的值不变 可得答案 解 1 2 答案 4aby a b 课堂精讲变式拓展1 利用分式的基本性质填空 1 a 0 2 6a2 a 2 课堂精讲知识点2 约分 最简分式根据分式的基本性质 把一个分式的分子与分母的公因式约去 叫做分式的约分 约分后分式的分子 分母中不再含有公因式 像这样分子与分母没有公因式的分式叫最简分式 注意 1 约分的依据是分式的基本性质 C 0 其中A B C是整式 2 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式 3 找公因式的方法 当分子 分母都是单项式时 先找分子 分母系数的最大公约数 再找相同字母的最低次幂 它们的积就是公因式 当分子 分母都是多项式时 先把多项式因式分解 4 约分时需注意分式的分子 分母都是乘积形式时才能进行约分 分子 分母是多项式时 通常先将分子 分母分解因式 再约分 5 约分的结果是整式或最简分式 6 分式的约分是恒等变形 约分前后分式的值不变 课堂精讲 例2 化简下列分式 1 2 解析 1 将分子与分母的公因式约去 即可求解 2 先将分子与分母分别进行因式分解 再约分 即可求解 解 1 2 课堂精讲变式拓展2 2015杭州模拟 化简的结果是 A B C D 3 1 约分 2 约分 B 原式 原式 课堂精讲知识点3 分式的通分与最简公分母根据分式的基本性质 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分 也就是利用分式的基本性质 使分子和分母同乘适当的整式 不改变分式的值 几个分式通分时 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母 这样的分母叫做最简公分母 总结 1 通分的依据是分式的基本性质 C为整式 且C 0 2 通分的关键是确定几个分式的最简公分母 3 确定最简公分母的方法 当各分母都是单项式时 取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积 凡单独出现的字母 连同它的指数作为最简公分母的一个因式 当各分母都是多项式时 要先把它们分解因式 然后把每个因式当作一个字母 再按照单项式求最简公分母的方法去找 4 通分的方法是先求各分式的最简公分母 然后用这个最简公分母除以分式的分母 用所得的商去乘原分式的分子 分母 5 通分时应注意 确定的公分母必须是最简公分母 否则会使运算过程变得烦琐 确定最简公分母后 再确定各分母所要乘的因式 课堂精讲 例3 1 通分 2 通分 解析 1 2 找到最简公分母 分子 分母同时乘以分母中缺少的项 即可通分 解 1 分母3a2 bc的最简公分母是3a2bc 4 通分 1 2 解 最简公分母是18a2b2c 解 最简公分母是 a 1 2 a 1 随堂检测1 下列分式是最简分式的是 A B C D 2 分式的分母经过通分后变成2 a b 2 a b 那么分子应变为 A 6a a b 2 a b B 2 a b C 6a a b D 6a a b 3 当a b满足关系时 分式 A C a b 4 通分 5 约分 解 原式 15 2分式的运算15 2 1分式的乘除 一 课前预习1 化简 的结果是 A B C D 2 x 1 2 下列计算正确的是 A a6 a2 a3B x y xC 1 1 10 1D a2 a2 2a23 计算a a 的结果是 A aB 1C D a24 计算 C D C 课堂精讲知识点 分式的乘除法 1 分式的乘法法则 分式乘分式 用分子的积作为积的分子 分母的积作为积的分母 2 除法法则 分式除以分式 把除式的分子 分母颠倒位置后 与被除式相乘 3 用式子表示是 分式与分式相乘 若分子 分母是单项式 可先将分子 分母分别相乘 然后约去公因式 化为最简分式 若分子 分母是多项式 先把分子 分母分解因式 看能否约分 然后再相乘 当整式与分式相乘时 要把整式 看作是分母为l的式子 与分式的分子相乘作为积的分子 分式的分母不变 当整式是多项式时 同样要先分解因式 看能否约分 然后再相乘 分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算 若除式 或被除式 是整式时 可以看作是分母是1的式子 然后依照分式除法法则计算 分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式 分式的分子 分母没有公因式 或整式的形式 分式的乘除混合运算 如果没有其他附加条件 如括号等 则应按照由左到右的顺序进行计算 课堂精讲 例1 计算下列各式 1 3xy 2 解析 1 直接利用分式的除法运算法则求出即可 2 直接利用分式的乘法运算法则求出即可 解 1 3xy 2 6xy 课堂精讲变式拓展计算 x2 2xy y2 原式 x y 2 随堂检测1 2014济南 化简 的结果是 A mB C m 1D 2 计算a 的结果是 A aB a2C D 3 的运算结果是 A D 4 计算 1 2 15 2 2分式的乘除 二 课前预习1 计算 3的结果是 A B C D 2 计算a4 的结果是 A a2B C a3D 3 计算 C A 课堂精讲知识点 分式的乘方分式乘方的法则 分式的乘方要把分子 分母分别乘方 用式子表示是 其中n是正整数且b 0 1 分式乘方时 先确定乘方结果的符号 它和实数乘方确定符号的方法相同 正数的任何次方都是正数 负数的偶次方为正数 奇次方为负数 2 分式乘方时 一定要把分式加上括号 乘方法则公式中的a b可以是单项式 也可以是多项式 当a b是多项式时 中的a b均要加上括号 3 在一个算式中同时含有分式的乘方 乘法 除法时 应先算乘方 再算乘除 有多项式时应先分解因式 再约分 4 分式乘方时 应把分子 分母分别看作一个整体 如 课堂精讲计算 3a2b 2 2 解析 在进行分式乘方运算时 先确定运算结果的符号 负数的偶数次方为正 而奇数次方为负 同时要注意运算顺序 先乘方 后乘除 解 原式 9a4b2 9a 36a6 课堂精讲变式拓展1 2015溧水县一模 计算a3 2的结果是 A aB a5C a6D a42 计算 2 3 计算 A 随堂检测1 计算 2的结果是 A B C D 2 2 3 计算 a2b2 2 4 计算 2 3 5 计算 2 3 D a4 15 2 3分式的加减 一 课前预习1 若xy x y 0 则分式 A B y xC 1D 12 计算 A B C D 3 计算 C D 1 课堂精讲知识点 分式的加减法分式的加减法与分数的加减法一样 分为同分母分式相加减和异分母分式相加减两种 1 同分母分式相加减 法则 同分母分式相加减 分母不变 把分子相加减 用式子表示为 2 异分母分式相加减 法则 异分母分式相加减 先通分 变为同分母的分式 再加减 用式子表示为 分式加减运算的结果要化成最简分式或整式 同分母分式相加减时要注意 把分子相加减 就是把各个分式的分子 整体 相加减 在这里要注意分数线的括号作用 异分母分式相加减的一般步骤 通分 将异分母分式转化成同分母分式 加减 写成分母不变 分子相加减的形式 合并 分子去括号 合并同类项 约分 分子 分母约分 将结果化成最简分式或整式 因此 异分母分式加减运算的关键是通分 例1 计算解析 原式各项通分并利用同分母分式的加减法则计算 约分即可得到结果 课堂精讲变式拓展1 计算 1 2 随堂检测1 计算的结果是 A x2 1B x 1C x 1D 12 化简 的结果为 A 1B 1C D 3 2015玉林一模 计算 4 若m n 1 mn 2 则的值为 C A a 2 5 计算 1 2 a b 15 2 4分式的加减 二 课前预习1 x 结果是 A 1B xyC D 2 计算的结果是 A a 1B aC 1 aD 1 a3 化简 1 C A 课堂精讲知识点 分式的混合运算分式的混合运算 关键是弄清运算顺序 与分数的加 减 乘 除及乘方的混合运算一样 先算乘方 再算乘除 最后算加减 有括号要先算括号里面的 计算结果要化为整式或最简分式 分式的混合运算中要注意各分式中分子 分母符号的处理 结果中分子或分母的系数是负数时 要把 号提到分式本身的前边 例1 分式计算 解析 1 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算 约分得到最简结果 2 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算 同时利用除法法则变形 约分即可得到结果 课堂精讲变式拓展 化简下列各式 2 3 随堂检测1 化简 的结果为 A B C D 2 2015临沂模拟 化简的结果为 A 1 aB C D 1 a3 2015石林县一模 化简的结果是 4 2015绵阳模拟 化简 5 化简 A A x 1 x 15 2 3整数指数幂 课前预习1 0的值是 A B 0C 1D 3 142 2015高淳县一模 3 1的值等于 A 3B 3C D 3 计算 4 计算 1 3 1 C D 9 3 3 利用公式计算 1 x 1 x 1 2 1 03 0 97 原式 x2 1 原式 1 0 03 1 0 03 1 0 03 2 1 0 0009 0 9991 课堂精讲知识点 整数指数幂整数指数幂 若m n为正整数 a O 则am am n 又因为am am n am m n a n 所以a n 一般地 当n是正整数时 a n n O 这就是说 a n a 0 是an的倒数 由于是分式 所以a n也是分式 此时a n的指数 n 是负整数 这样指数的取值范围就推广到全体整数 整数指数幂具有下列运算性质 1 am an am n 2 am n amn 3 ab n anbn 4 am an am n a O 5 上述式子中 m n均为任意整数 规定 a0 1 a O 即任何不等于0的数的零次幂都等于1 注意 当指数为负数和O时 一定要保证底数不是零 例1 计算或化简 解析 1 此题考查的内容负整数指数幂 零指数幂 并根据分式的乘除法运算法则进行计算即可得解 2 根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数和分式的乘除法运算法则进行计算即可得解 课堂精讲变式拓展 1 计算 1 2 原式 1 9 8 随堂检测1 2014徐州 2 1等于 A 2B 2C D 2 计算 3 2的值是 A 9B C 6D 63 计算 2 1 0的结果是 A 1B 2C 3D 34 1 1 0 C B C 1 5 计算 2 0 01 1 1 0 解 原式 4 100 1 95 15 2 6科学记数法 课前预习1 将260000用科学记数法表示应为 A 0 2 106B 26 104C 2 6 106D 2 6 1052 2015广东模拟 地球与月球的距离约为384000千米 这个数据可用科学记数法表示为 A 3 84 104千米B 3 84 105千米C 3 84 106千米D 38 4 104千米3 2015重庆模拟 中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰 满载排水量为67500吨 这个数据用科学记数法可表示为 4 某种生物孢子的直径为0 00058m 把0 00058用科学记数法表示为 D B 6 75 104 5 8 10 4 课堂精讲知识点 科学记数法1 绝对值较大的数的科学记数法 把一个绝对值较大的数表示成a 10n的形式 其中a的范围是l a 10 n为正整数 确定n的方法 n的值为这个数的整数位数减1 例如 45600这个数的整数位数为5 则n 5 1 4 所以45600 4 56 104 2 绝对值小于1的数的科学记数法 把一个绝对值小于1的数表示成a 10 n的形式 其中a的范围是1 a 10 n为正整数 确定n的方法 n的值是这个数从左边起第一个不为0的数字前面0的个数 包括小数点前的那个0 例如 0 0000315这个数从左边起第一个不为0的数字前面有5个0 则n 5 所以 0 0000315 3 15 10 5 例1 福布斯中文网微博通报数据显示 天猫双11成交额已经在活动开始后的60分钟内突破122亿元人民币 则122亿用科学记数法来表示是 A 1 22 1010B 122 108C 12 2 109D 1 22 109解析 科学记数法的表示形式为a 10n的形式 其中1 a 10 n为整数 确定n的值时 要看把原数变成a时 小数点移动了多少位 n的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值 1时 n是正数 当原数的绝对值 1时 n是负数 将122亿用科学记数法表示为1 22 1010 答案 A 例2 2015安徽模拟 世界文化遗产长城总长约为6700000m 若将6700000用科学记数法表示为6 7 10n n是正整数 则n的值为 解析 6700000 6 7 106 则n 6 答案 6 课堂精讲变式拓展 1 2015宁波模拟 中国是严重缺水的国家之一 人均淡水资源为世界人均量的四分之一 所以我们为中国节水 为世界节水 若每人每天浪费水0 32L 那么100万人每天浪费的水 用科学记数法表示为 A 3 2 107LB 3 2 106LC 3 2 105LD 3 2 104L2 随着电子技术的不断进步 电子元件的尺寸大幅缩小 电脑芯片上某电子元件大约只有0 000000645mm2 这个数用科学记数法表示为 A 6 45 10 7B 64 5 10 8C 0 645 10 6D 6 45 10 6 C A 随堂检测1 一天有24小时 一小时有60分 一分为60秒 故一天共有86400秒 用科学记数法表示86400为 A 8 64 104B 8 64 105C 0 864 105D 0 864 1042 2015茂名模拟 资料显示 2014年 十 一 黄金周全国实现旅游收入约463亿元 用科学记数法表示463亿这个数是 A 463 108B 4 63 108C 4 63 1010D 0 463 10113 2015英德市一模 股市有风险 投资需谨慎 截至今年五月底 我国股市开户总数约95000000 正向1亿挺进 95000000用科学记数法表示为 户 A 9 5 106B 9 5 107C 9 5 108D 9 5 109 A C B 4 据统计部门报告 我市去年国民生产总值为238770000000元 那么这个数据用科学记数法表示为 A 2 3877 1012元B 2 3877 1011元C 23877 107元D 2387 7 108元5 环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题 我国新修订的 环境空气质量标准 中增加了PM2 5检测指标 PM2 5 是指大气中危害健康的直径小于或等于2 5微米的颗粒物 2 5微米即0 0000025米 用科学记数法表示0 0000025为 6 2015 武汉模拟 随着中国综合国力的提升 近年来全球学习汉语的人数不断增加 据报道 2013年海外学习汉语的学生人数已达1500000000人 将1500000000用科学记数法表示为人 B 2 5 10 6 1 5 109 15 3分式方程15 3 1分式方程 一 课前预习1 下列关于x的方程中 是分式方程的是 A 3x B 2C D 3x 2y 12 关于x的方程 1的解是 A x 4B x 3C x 2D x 13 2015大渡口区模拟 方程的解是 4 2015花都区一模 解方程 B B x 1 解 方程两边同乘以 x 1 x 1 得x 1 3 x 1 解得x 2 经检验 把x 2代入 x 1 x 1 1 3 3 0 是原方程的解 x 2是方程的根 课堂精讲知识点1 分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程 注意 1 从分式方程的定义中可以看出分式方程的重要特征 一是方程 二是方程里含分母 三是分母中含有未知数 2 整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数 3 分式方程和整式方程的联系 分式方程可以转化为整式方程 解析 根据分式方程的定义 分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断 的分母中含未知数 是分式方程 ax2 1 的分母中不含未知数 是整式方程 答案 课堂精讲知识点2 分式方程的解法 1 解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程 然后通过解整式方程 求得分式方程的解 这是解分式方程的关键 2 解分式方程的一般方法和步骤 提示 1 用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边 从而约去分母 但要注意用最简公分母乘方程两边各项时 不要漏乘常数项 2 解分式方程可能产生不适合原方程的解 所以检验是解分式方程的必要步骤 3 产生不适合原方程解的原因 去分母时 方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子 这个式子有可能为零 对于整式方程来说 求出的解成立 而对于原分式方程来说 分式无意义 所以这个解不是原分式方程的解 例2 解分式方程 1 2 解析 1 首先把方程两边同乘以 2x 3 x 1 得5x 5 6x 9 然后解整式方程 最后要验根 2 首先把方程两边同乘以 x 2 去掉分母 然后解整式方程 最后要验根 解 1 方程两边同乘以 2x 3 x 1 得 5x 5 6x 9解得x 14经检验 x 14是原方程的解 2 方程变形为方程两边同乘以 x 2 得 1 2 x 2 1解得x 1经检验 x 1是增根 所以原方程无实数解 课堂精讲1 下列方程 1 2 2 3 1 a b为已知数 4 4 其中是分式方程的是 2 解分式方程 1 1 4 解 去分母得 x x 2 x2 4 1 解得 x 1 5 经检验x 1 5是分式方程的解 3 2015大连模拟 解方程 解 方程两边乘以 x 2 得 6 x 2 14 x x x 14 6 2 2x 10 x 5 检验 当x 5时 x 2 5 2 3 0 所以x 5是原方程的解 因此 原分式方程的解是x 5 随堂检测1 下列方程不是分式方程的是 A B C D 2 若关于x的方程的解为x 4 则m A 3B 4C 5D 63 分式方程的解是 D A x 3 4 2015南京一模 解方程 解 两边同时乘以x x 1 得x2 2 x 1 x x 1 去括号 得x2 2x 2 x2 x 移项 得x2 x2 2x x 2 合并 得 x 2 系数化为1 得x 2 检验 把x 2代入x x 1 中 得x x 1 2 2 1 2 0 x 2是原方程的解 5 解方程 解 去分母得 x2 2x x2 4 8 移项合并得 2x 4 解得 x 2 经检验x 2是增根 分式方程无解 15 3 2分式方程 二 课前预习1 若关于x的方程有增根 则m的值为 A 0B 1C 1D 22 2014柳州 方程 1 0的解是x 3 如果关于x的方程无解 则m值为 C 2 1 课堂精讲知识点1 分式方程的增根分式方程的增根问题可按如下步骤进行 让最简公分母为0确定增根 化分式方程为整式方程 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 例1 2015杭州模拟 若方程有增根 则k的值为 解析 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根 把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值 解 方程两边都乘 x 2 得k 3x 0 原方程有增根 最简公分母 x 2 0 解得x 2 k 6 答案 6 课堂精讲1 2014巴中 若分式方程 2有增根 则这个增根是 x 1 课堂精讲知识点2 含有字母的分式方程的解法在数学式子中的字母不仅可以表示未知数 也可以表示已知数 含有字母已知数的分式方程的解法 也是去分母 解整式方程 检验这三个步骤 需要注意的是要找准哪个字母表示未知数 哪个字母表示已知数 还要注意题目的限制条件 例2 若关于x的方程无解 试确定a的值 解析 分式方程无解的条件是 去分母后所得整式方程无解 或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0 解 方程去分母得 ax x 2 4 整理得 a 1 x 2 当a 1时 整式方程无解 所以原分式方程无解 或当x 2时分母为0 方程无解 即2 a 1 2 a 2 综上可知a 2或1时方程无解 2 已知 3与 5的解相同 求m的值 解 3 去分母得 x 1 3x 3 移项合并得 2x 4 解得 x 2 经检验x 2是原方程的解 由题意可知两个方程的解相同 把x 2代入第二个方程得 5 解得 m 10 随堂检测1 若关于x的方程的解为x 4 则m A 3B 4C 5D 62 2014益阳 分式方程 的解为 3 2014天水 若关于x的方程 1 0有增根 则a的值为 4 若分式方程有增根 则m的值为m 5 若方程有增根 求增根和a的值 A x 9 1 3 解 方程两边都乘 x 3 得x 2 x 3 a 方程有增根 最简公分母x 3 0 即增根是x 3 把x 3代入整式方程 得a 3 故增根x 3 a 3 15 3 3分式方程的应用 一 课前预习1 如果某商品进价降低10 而售价不变 利润可由目前的a 增加到 a 20 则a的值为 A 50B 60C 70D 802 某商店购进一批运动服 每件的售价为150元时 可获利20 则这批运动服的进价为元 3 学校计划将120名学生平均分成若干个读书小组 若每个小组比原计划多1人 则要比原计划少分出6个小组 那么原计划要分成的小组数是 D 125 30 课堂精讲知识点 分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题 它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的 提示 1 在实际问题中 有时题目中包含多个等量关系 在列方程时一定要选择一个能够体现全部 或大部分 题意的等量关系列方程 2 在一些实际问题中 有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦 这时需要间接地设未知数 或设一个未知数不好表示等量关系时 可设多个未知数 即设辅助未知数 在上述过程中 关键步骤是根据题意寻找 等量关系 同时 解完分式方程后注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解 且是否符合实际意义 课堂精讲 例1 2015岳阳模拟 现有甲 乙两个空调安装队分别为A B两个公司安装空调 甲安装队为A公司安装66台空调 乙安装队为B公司安装80台空调 乙安装队提前一天开工 最后与甲安装队恰好同时完成安装任务 已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调 求甲 乙两个安装队平均每天各安装多少台空调 解析 设甲安装队每天安装x台空调 则乙安装队每天安装 x 2 台空调 根据乙队比甲队多用时间一天为等量关系建立方程求出其解即可 解 设甲安装队每天安装x台空调 则乙安装队每天安装 x 2 台空调 由题意 得 解得 x1 22 x2 6 经检验 x1 22 x2 6都是原方程的根 x 6不符合题意 舍去 x 22 乙安装队每天安装22 2 20台 答 甲安装队每天安装22台空调 则乙安装队每天安装20台空调 变式拓展1 2015西城区一模 从北京到某市可乘坐普通列车或高铁 已知高铁的行驶路程是400米 普通列车的行驶路程是520千米 如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2 5倍 且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时 求高铁的平均速度是多少千米 时 1 解 设普通列车平均速度是x千米 时 则高铁平均速度是2 5x千米 时 根据题意得 3 解得 x 120 经检验x 120是原方程的解 则高铁的平均速度是120 2 5 300 千米 时 答 高铁的平均速度是300千米 时 2 2014十堰 甲 乙两人准备整理一批新到的图书 甲单独整理需要40分钟完工 若甲 乙共同整理20分钟后 乙需再单独整理30分钟才能完工 问乙单独整理这批图书需要多少分钟完工 解 设乙单独整理x分钟完工 根据题意得 1 解得x 100 经检验x 100是原分式方程的解 答 乙单独整理100分钟完工 随堂检测1 2014厦门 某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍 用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时 则这台机器每小时生产个零件 2 2015东莞模拟 一个工程队修一条3000米的公路 由于施工中途增加了人员 实际每天修路比原来多50 结果提前2天完成 求实际每天修路多少 15 解 设原来每天修路x米 由题意得 2 解得 x 500 经检验 x 500是原分式方程的解 1 50 500 750 米 答 实际每天修路750米 3 2014云南 母亲节 前夕 某商店根据市场调查 用3000元购进第一批盒装花 上市后很快售完 接着又用5000元购进第二批这种盒装花 已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍 且每盒花的进价比第一批的进价少5元 求第一批盒装花每盒的进价是多少元 解 设第一批盒装花的进价是x元 盒 则2 解得x 30经检验 x 30是原方程的根 答 第一批盒装花每盒的进价是30元 4 2014贺州 马小虎的家距离学校1800米 一天马小虎从家去上学 出发10分钟后 爸爸发现他的数学课本忘记拿了 立即带上课本去追他 在距离学校200米的地方追上了他 已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍 求马小虎的速度 解 设马小虎的速度为x米 分 则爸爸的速度是2x米 分 依题意得 10 解得x 80 经检验 x 80是原方程的根 答 马小虎的速度是80米 分 15 3 4分式方程的应用 二 课前预习1 一项工程需在规定日期完成 如果甲队独做 就要超规定日期1天 如果乙队单独做 要超过规定日期4天 现在由甲 乙两队共做3天 剩下工程由乙队单独做 刚好在规定日期完成 则规定日期为 A 6天B 8天C 10天D 7 5天2 一项工程 甲独做6小时完成 甲 乙合做要2小时完成 那么乙单独做要小时完成 B 3 课堂精讲 例1 某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生 在购买时发现 每只笔可以打九折 用360元钱购买的笔 打折后购买的数量比打折前多10本 1 求打折前每支笔的售价是多少元 2 由于学生的需求不同 学校决定购买笔和笔袋共80件 笔袋每个原售价为10元 两种物品都打八折 若购买总金额不低于400元 且不高于405元 问有哪几种购买方案 解析 1 设笔打折前售价为x 则打折后售价为0 9x 根据用360元钱购买的笔 打折后购买的数量比打折前多10本 列方程求解 2 设购买笔y件 则购买笔袋 80 y 件 根据购买总金额不低于400元 且不高于405元 列出不等式求解 解 1 设笔打折前售价为x 则打折后售价为0 9x 由题意得 解得x 4 经检验x 4是原方程的根 答 打折前每支笔的售价是4元 2 设购买笔y件 则购买笔袋80 y件 由题意得 400 4 0 8y 10 0 8 80 y 405 解得 所以y可取49 50 故有2种方案 笔49笔袋31 笔50笔袋30 2014梅州 某校为美化校园 计划对面积为1800m2的区域进行绿化 安排甲 乙两个工程队完成 已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍 并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时 甲队比乙队少用4天 1 求甲 乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2 2 若学校每天需付给甲队的绿化费用为0 4万元 乙队为0 25万元 要使这次的绿化总费用不超过8万元 至少应安排甲队工作多少天 解 1 设乙工程队每天能完成绿化的面积是x m2 根据题意得 4 解得 x 50 经检验x 50是原方程的解 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50 2 100 m2 答 甲 乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2 50m2 2 设应安排甲队工作y天 根据题意得 0 4y 0 25 8 解得 y 10 答 至少应安排甲队工作10天 随堂检测1 某市为进一步缓解交通拥堵现象 决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路 实际施工时 每月的工效比原计划提高了20 结果提前5个月完成这一工程 原计划完成这一工程的时间是个月 2 2014广州 从广州到某市 可乘坐普通列车或高铁 已知高铁的行驶路程是400千米 普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1 3倍 1 求普通列车的行驶路程 2 若高铁的平均速度 千米 时 是普通列车平均速度 千米 时 的2 5倍 且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时 求高铁的平均速度 30 解 1 根据题意得 400 1 3 520 千米 答 普通列车的行驶路程是520千米 2 设普通列车平均速度是x千米 时 则高铁平均速度是2 5x千米 时 根据题意得 3 解得 x 120 经检验x 120是原方程的解 则高铁的平均速度是120 2 5 300 千米 时 答 高铁的平均速度是300千米 时 3 2014泰安 某超市用3000元购进某种干果销售 由于销售状况良好 超市又调拨9000元资金购进该种干果 但这次的进价比第一次的进价提高了20 购进干果数量是第一次的2倍还多300千克 如果超市按每千克9元的价格出售 当大部分干果售出后 余下的600千克按售价的8折售完 1 该种干果的第一次进价是每千克多少元 2 超市销售这种干果共盈利多少元 解 1 设该种干果的第一次进价是每千克x元 则第二次进价是每千克 1 20 x元 由题意 得 2 300 解得x 5 经检验x 5是方程的解 答 该种干果的第一次进价是每千克5元 2 600 9 600 9 80 3000 9000 600 1500 600 9 4320 12000 1500 9 4320 12000 13500 4320 12000 5820 元 答 超市销售这种干果共盈利5820元