2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 不等式的证明 1.4.1 比较法、分析法课件 北师大版选修4-5.ppt

4不等式的证明 第1课时比较法 分析法 1 理解用比较法 分析法证明不等式的一般方法和步骤 并能证明具体的不等式 2 理解不等式证明方法的意义 并掌握不等式中取得等号的条件 1 比较法 1 求差比较法 理论依据 a b a b 0 a b a b 0 证明步骤 作差 变形 判断符号 下结论 2 求商比较法 证明步骤 作商 变形 判断与1的大小关系 下结论 做一做1 1 已知x y R M x2 y2 1 N x y xy 则M与N的大小关系是 A M NB M NC M ND 不能确定 答案 A 答案 P Q 2 分析法 1 定义 从所要证明的结论出发 分析使此不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判断这些充分条件是否成立的问题 如果能够使这些充分条件都具备 那么就可以断定原不等式成立 这种证明方法叫作分析法 2 思路 执果索因 的证明方法 即从求证的不等式出发 不断地用充分条件来代替前面的不等式 直到找到已知不等式为止 名师点拨分析法的特点是 执果索因 即从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其优点是利于思考 因为它方向明确 思路自然 易于掌握 一般来说 如果已知条件信息量较小 或已知与结论间的直接联系不明显 距离 较大 可用分析法来证明 分析 利用分析法来考虑 容易找到证明思路 题型一 题型二 题型三 题型一用求差比较法证明不等式 例1 已知a b R 且a b 1 求证 ax2 by2 ax by 2 分析 利用作差 变形 定号 结论的步骤去证明 证明 a b 1 ax2 by2 ax by 2 ax2 by2 a2x2 2abxy b2y2 a 1 a x2 b 1 b y2 2abxy abx2 aby2 2abxy ab x y 2 又 a b R ab x y 2 0 ax2 by2 ax by 2 反思利用求差比较法来证明不等式时 为了说明差式的符号 有下列三种常用的方法 1 将差式分解因式 2 将差式通过配方写成一些正 负 数的和 3 构造新函数 证明函数恒正或恒负 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知a b 0 n N 求证 a b an bn 2 an 1 bn 1 证明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 an b a bn a b a b bn an 当a b 0时 a b 0 bn ana 0时 a b0 有 a b bn an 0时 a b 0 有 a b bn an 0 即 a b bn an 0 故 a b an bn 2 an 1 bn 1 题型一 题型二 题型三 题型二用求商比较法证明不等式 分析 因为a b均为正数 所以左边和右边都是正数 故可以用求商比较法进行比较 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知0 loga 1 x 其中a 0 且a 1 题型一 题型二 题型三 题型三用分析法证明不等式 分析 本题证明关系比较复杂 直接证明不易观察出因果关系 因此可以用分析法找出证明思路 题型一 题型二 题型三 反思利用分析法论证 若A 则B 这类命题的模式是 欲证命题B为真 只需证明命题B1为真 从而又只需证明命题B2为真 从而又 只需证明命题A为真 又已知A为真 故B为真 可简写成B B1 B2 Bn A 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知a b c R 且ab bc ca 1 求证 a b c 1 2 3 4 5 1下列关系中 对任意a b 0的实数都成立的是 A a2 b2B lgb2 lga2 答案 B 1 2 3 4 5 答案 C 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5