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22 1二次函数 基础回顾什么叫函数 在某变化过程中的两个变量x y 当变量x在某个范围内取一个确定的值 另一个变量y总有唯一的值与它对应 这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系 对于上述变量x y 我们把y叫x的函数 x叫自变量 y叫应变量 目前 我们已经学习了那几种类型的函数 二次函数 函数知多少 节日的喷泉给人带来喜庆 你是否注意过水流所经过的路线 它会与某种函数有联系吗 抛物线型桥拱 奥运赛场腾空的篮球 正方体的六个面是全等的正方形 设正方形的棱长为x 表面积为y 显然对于x的每一个值 y都有一个对应值 即y是x的函数 它们的具体关系可以表示为 问题1 y 6x2 亲历知识的发生和发展 多边形的对角线数d与边数n有什么关系 问题2 由图可以想出 如果多边形有n条边 那么它有个顶点 从一个顶点出发 连接与这点不相邻的各顶点 可以作条对角线 n n 3 因为像线段MN与NM那样 连接相同两顶点的对角线是同一条对角线 所以多边形的对角线总数 M N 即 函数 有什么共同点 观察 y 6x2 在上面的问题中 函数都是用自变量的二次式表示的 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 其中x是自变量 a为二次项系数 ax2叫做二次项 b为一次项系数 bx叫做一次项 c为常数项 1 等号左边是变量y 右边是关于自变量x的 3 等式的右边最高次数为 可以没有一次项和常数项 但不能没有二次项 注意 2 a b c为常数 且 4 x的取值范围是任意实数 整式 a 0 2 5 函数的右边是一个整式 二次函数的一般形式 y ax2 bx c 其中a b c是常数 a 0 二次函数的特殊形式 当b 0时 y ax2 c当c 0时 y ax2 bx当b 0 c 0时 y ax2 1 说出下列二次函数的二次项系数 一次项系数 常数项 1 y x2 58x 112 2 y x2 2 指出下列函数y ax bx c中的a b c 1 y 3x2 x 1 3 y x 1 x 2 y 5x2 6 看谁反应快 例题讲解 例1 下列函数中 哪些是二次函数 若是 分别指出二次项系数 一次项系数 常数项 1 y 3 x 1 1 2 y x 3 s 3 2t 4 y x 3 x 5 y x 6 v 8 r 解 y 3 x 1 1 3 x2 2x 1 1 3x2 6x 3 1即 y 3x2 6x 4 是二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 3 6 4 不是二次函数 3 s 3 2t 是二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 2 0 3 4 y x 3 x x2 6x 9 x2即 y 6x 9 不是二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 8 0 0 不是二次函数 6 v 8 r 是二次函数 思考 2 二次函数的一般式y ax2 bx c a 0 与一元二次方程ax bx c 0 a 0 有什么联系和区别 驶向胜利的彼岸 你知道吗 联系 1 等式一边都是ax2 bx c且a 0 2 方程ax2 bx c 0可以看成是函数y ax2 bx c中y 0时得到的 区别 前者是函数 后者是方程 等式另一边前者是y 后者是0 知识运用 例1 下列函数中 哪些是二次函数 1 y 3x 1 2 y 3x2 3 y 3x3 2x2 4 y 2x2 2x 1 5 y x 2 x 6 y x2 x 1 x 不是 是 不是 不是 是 不是 驶向胜利的彼岸 知识运用 m2 2m 1 2m 1 0 m 3 例2 m取何值时 函数y m 1 x m 3 x m是二次函数 解 由题意得 一次函数y kx b k 0 其中包括正比例函数y kx k 0 反比例函数y k 0 二次函数y ax2 bx c a 0 小结 现在我们学习过的函数有 可以发现 这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系 想一想 例题讲解 解 当m2 7 1且m 3 0即m 时是正比例函数 当m2 7 1且m 3 0即m 时是反比例函数 当m2 7 2且m 3 0即m 3时是二次函数 1 一个圆柱的高等于底面半径 写出它的表面积s与半径r之间的关系式 2 n支球队参加比赛 每两队之间进行一场比赛 写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 随堂练习 S 2 r2 2 r2即S 4 r2 即 随堂练习 4 函数y m n x2 mx n是二次函数的条件是 Am n是常数 且m 0Bm n是常数 且n 0Cm n是常数 且m nDm n为任何实数 BC C 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园 和墙垂直的一边长为Xm 菜园的面积为Ym2 求y与x之间的函数关系式 并说出自变量的取值范围 当x 12m时 计算菜园的面积 xm ym2 xm 40 2x m 解 由题意得 Y x 40 2x 即 Y 2x2 40 x 0 x 20 当x 12m时 菜园的面积为 Y 2x2 40 x 2 122 40 12 192 m2 生活问题数学化 九马画山 在美丽的桂林有一处非常有名的景观叫 九马画山 在一处石壁上的一些天然图案酷似各种形态的骏马 传说凡人只能找出两三匹马 谁要是找出其中的九匹马就能当 状元郎 在实践中感悟横看成岭侧成峰 远近高低各不同 变换角度分析问题若函数y x2m n 2xm n 3是以x为自变量的二次函数 求m n的值 2m n 2m n 1 m 1n 0 2m n 1m n 2 m 1n 1 2m n 2m n 2 m 4 3n 2 3 2m n 2m n 0 m 2 3n 4 3 2m n 0m n 2 m 2 3n 2 3