数学建模课件-初等模型.ppt

第二章初等模型 2 1公平的席位分配2 2录像机计数器的用途2 3双层玻璃窗的功效2 4汽车刹车距离2 5划艇比赛的成绩2 6实物交换2 7核军备竞赛2 8启帆远航2 9量纲分析与无量纲化 2 1公平的席位分配 问题 三个系学生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表会议共20席 按比例分配 三个系分别为10 6 4席 现因学生转系 三系人数为103 63 34 问20席如何分配 若增加为21席 又如何分配 比例加惯例 对丙系公平吗 公平 分配方法 衡量公平分配的数量指标 当p1 n1 p2 n2时 分配公平 p1 n1 p2 n2 对A的绝对不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者对A的不公平程度已大大降低 虽二者的绝对不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 对不公平 A p1 n1 p2 n2 5 公平分配方案应使rA rB尽量小 设A B已分别有n1 n2席 若增加1席 问应分给A 还是B 不妨设分配开始时p1 n1 p2 n2 即对A不公平 对A的相对不公平度 将绝对度量改为相对度量 类似地定义rB n1 n2 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定义 1 若p1 n1 1 p2 n2 则这席应给A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 应计算rB n1 1 n2 应计算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 则这席应给 应讨论以下几种情况 初始p1 n1 p2 n2 问 p1 n1 p2 n2 1 是否会出现 A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 则这席应给B 当rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 该席给A 该席给A 否则 该席给B 推广到m方分配席位 该席给Q值最大的一方 Q值方法 三系用Q值方法重新分配21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席给丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配结果 公平吗 Q1最大 第20席给甲系 进一步的讨论 Q值方法比 比例加惯例 方法更公平吗 席位分配的理想化准则 已知 m方人数分别为p1 p2 pm 记总人数为P p1 p2 pm 待分配的总席位为N 设理想情况下m方分配的席位分别为n1 n2 nm 自然应有n1 n2 nm N 记qi Npi P i 1 2 m ni应是N和p1 pm的函数 即ni ni N p1 pm 若qi均为整数 显然应ni qi qi Npi P不全为整数时 ni应满足的准则 记 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 qi方向取整 1 qi ni qi i 1 2 m 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm i 1 2 m 即ni必取 qi qi 之一 即当总席位增加时 ni不应减少 比例加惯例 方法满足1 但不满足2 Q值方法满足2 但不满足1 令人遗憾 问题 在一次使用中录像带已经转过大半 计数器读数为4450 问剩下的一段还能否录下1小时的节目 要求 不仅回答问题 而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系 思考 计数器读数是均匀增长的吗 2 2录像机计数器的用途 经试验 一盘标明180分钟的录像带从头走到尾 时间用了184分 计数器读数从0000变到6061 录像机计数器的工作原理 录像带运动 问题分析 观察 计数器读数增长越来越慢 模型假设 录像带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比 记m kn 录像带厚度 加两圈间空隙 为常数w 空右轮盘半径记作r 时间t 0时读数n 0 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 设v k w r为已知参数 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1 右轮盘转第i圈的半径为r wi m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt 所以 2 考察右轮盘面积的变化 等于录像带厚度乘以转过的长度 即 3 考察t到t dt录像带在右轮盘缠绕的长度 有 模型建立 思考 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别 请解释 模型中有待定参数 一种确定参数的办法是测量或调查 请设计测量方法 思考 参数估计 另一种确定参数的方法 测试分析 将模型改记作 只需估计a b 理论上 已知t 184 n 6061 再有一组 t n 数据即可 实际上 由于测试有误差 最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据 用最小二乘法可得 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型 模型应用 回答提出的问题 由模型算得n 4450时t 116 4分 剩下的录像带能录184 116 4 67 6分钟的节目 揭示了 t与n之间呈二次函数关系 这一普遍规律 当录像带的状态改变时 只需重新估计a b即可 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 减少多少热量损失 假设 热量传播只有传导 没有对流 T1 T2不变 热传导过程处于稳态 材料均匀 热传导系数为常数 建模 热传导定律 Q 单位时间单位面积传导的热量 T 温差 d 材料厚度 k 热传导系数 2 3双层玻璃窗的功效 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta 内层玻璃的外侧温度 Tb 外层玻璃的内侧温度 建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计 取k1 k2 16 建模 模型应用 取h l d 4 则Q1 Q2 0 03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比 可减少97 的热量损失 结果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于层间空气极低的热传导系数k2 而这要求空气非常干燥 不流通 房间通过天花板 墙壁 损失的热量更多 双层窗的功效不会如此之大 2 4汽车刹车距离 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则 背景与问题 正常驾驶条件下 车速每增10英里 小时 后面与前车的距离应增一个车身的长度 实现这个规则的简便办法是 2秒准则 后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志 而不管车速如何 判断 2秒准则 与 车身 规则是否一样 建立数学模型 寻求更好的驾驶规则 问题分析 常识 刹车距离与车速有关 10英里 小时 16公里 小时 车速下2秒钟行驶29英尺 9米 车身的平均长度15英尺 4 6米 2秒准则 与 10英里 小时加一车身 规则不同 刹车距离 反应时间 司机状况 制动系统灵活性 制动器作用力 车重 车速 道路 气候 最大制动力与车质量成正比 使汽车作匀减速运动 车速 假设与建模 1 刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和 2 反应距离d1与车速v成正比 3 刹车时使用最大制动力F F作功等于汽车动能的改变 Fd2 mv2 2 F m t1为反应时间 且F与车的质量m成正比 反应时间t1的经验估计值为0 75秒 参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合k 模型 最小二乘法 k 0 06 2秒准则 应修正为 t秒准则 模型 2 5划艇比赛的成绩 对四种赛艇 单人 双人 四人 八人 4次国际大赛冠军的成绩进行比较 发现与浆手数有某种关系 试建立数学模型揭示这种关系 问题 准备 调查赛艇的尺寸和重量 问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 浆手的划浆功率 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 对浆手体重 功率 阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型 模型假设 1 艇形状相同 l b为常数 w0与n成正比 2 v是常数 阻力f与sv2成正比 符号 艇速v 浸没面积s 浸没体积A 空艇重w0 阻力f 浆手数n 浆手功率p 浆手体重w 艇重W 艇的静态特性 艇的动态特性 3 w相同 p不变 p与w成正比 浆手的特征 模型建立 fsv2 pw s1 2A1 3 AW w0 nw n npfv 模型检验 利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型tn 1 9进行检验 与模型巧合 问题 甲有物品X 乙有物品Y 双方为满足更高的需要 商定相互交换一部分 研究实物交换方案 用x y分别表示甲 乙 占有X Y的数量 设交换前甲占有X的数量为x0 乙占有Y的数量为y0 作图 若不考虑双方对X Y的偏爱 则矩形内任一点p x y 都是一种交换方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 6实物交换 甲的无差别曲线 分析与建模 如果甲占有 x1 y1 与占有 x2 y2 具有同样的满意程度 即p1 p2对甲是无差别的 线上各点的满意度相同 线的形状反映对X Y的偏爱程度 比MN各点满意度更高的点如p3 在另一条无差别曲线M1N1上 于是形成一族无差别曲线 无数条 无差别曲线族的性质 单调减 x增加 y减小 下凸 凸向原点 互不相交 在p1点占有x少 y多 宁愿以较多的 y换取较少的 x 在p2点占有y少 x多 就要以较多的 x换取较少的 y 甲的无差别曲线族记作 f x y c1 c1 满意度 f 等满意度曲线 乙的无差别曲线族g x y c2具有相同性质 形状可以不同 双方的交换路径 乙的无差别曲线族g c2 坐标系x O y 且反向 甲的无差别曲线族f c1 双方满意的交换方案必在AB 交换路径 上 因为在AB外的任一点p 双方 满意度低于AB上的点p 两族曲线切点连线记作AB p 交换方案的进一步确定 交换方案 交换后甲的占有量 x y 0 x x0 0 y y0矩形内任一点 交换路径AB 等价交换原则 X Y用货币衡量其价值 设交换前x0 y0价值相同 则等价交换原则下交换路径为 x0 0 0 y0 两点的连线CD AB与CD的交点p 设X单价a Y单价b 则等价交换下ax by s s ax0 by0 2 7核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全 实行 核威慑战略 核军备竞赛不断升级 随着前苏联的解体和冷战的结束 双方通过了一系列的核裁军协议 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张 而存在暂时的平衡状态 当一方采取加强防御 提高武器精度 发展多弹头导弹等措施时 平衡状态会发生什么变化 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量 这个数量受哪些因素影响 背景 以双方 战略 核导弹数量描述核军备的大小 假定双方采取如下同样的核威慑战略 认为对方可能发起所谓第一次核打击 即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地 乙方在经受第一次核打击后 应保存足够的核导弹 给对方重要目标以毁灭性的打击 在任一方实施第一次核打击时 假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地 摧毁这个基地的可能性是常数 它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定 模型假设 图的模型 y f x 甲方有x枚导弹 乙方所需的最少导弹数 x g y 乙方有y枚导弹 甲方所需的最少导弹数 当x 0时y y0 y0 乙方的威慑值 y0 甲方实行第一次打击后已经没有导弹 乙方为毁灭甲方工业 交通中心等目标所需导弹数 P xm ym 乙安全区 甲安全区 双方安全区 P 平衡点 双方最少导弹数 乙安全线 精细模型 乙方残存率s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地 基地未被摧毁的概率 sx个基地未摧毁 y x个基地未攻击 x y 甲方以x攻击乙方y个基地中的x个 y0 sx y x x y y0 sy 乙的x y个被攻击2次 s2 x y 个未摧毁 y x y 2y x个被攻击1次 s 2y x 个未摧毁 y0 s2 x y s 2y x x 2y y0 s2y y x 2y a 交换比 甲乙导弹数量比 x ay 精细模型 x y y y0 s x 2y y y0 s2 y0 威慑值 s 残存率 y是一条上凸的曲线 y0变大 曲线上移 变陡 s变大 y减小 曲线变平 a变大 y增加 曲线变陡 x y y y0 1 s x y x 2y 甲方增加经费保护及疏散工业 交通中心等目标 乙方威慑值y0变大 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级 其它因素不变 乙安全线y f x 上移 模型解释 平衡点P P 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y f x 不变 甲方残存率变大 威慑值x0和交换比不变 x减小 甲安全线x g y 向y轴靠近 模型解释 甲方这种单独行为 会使双方的核导弹减少 P P 双方发展多弹头导弹 每个弹头可以独立地摧毁目标 x y仍为双方核导弹的数量 双方威慑值减小 残存率不变 交换比增加 y0减小 y下移且变平 a变大 y增加且变陡 双方导弹增加还是减少 需要更多信息及更详细的分析 模型解释 乙安全线y f x 帆船在海面上乘风远航 确定最佳的航行方向及帆的朝向 简化问题 海面上东风劲吹 设帆船要从A点驶向正东方的B点 确定起航时的航向 2 8启帆远航 模型分析 风 通过帆 对船的推力w 风对船体部分的阻力p 推力w的分解 阻力p的分解 p p1 p2 模型假设 w与帆迎风面积s1成正比 p与船迎风面积s2成正比 比例系数相同且s1远大于s2 f1 航行方向的推力 p1 航行方向的阻力 w1 wsin f1 w1sin wsin sin p1 pcos 模型假设 w2与帆面平行 可忽略 f2 p2垂直于船身 可由舵抵消 模型建立 w ks1 p ks2 船在正东方向速度分量v1 vcos 航向速度v与力f f1 p1成正比 v k1 f1 p1 2 令 2 v1 k1 w 1 cos 2 pcos cos 求 使v1最大 w ks1 p ks2 1 当 固定时求 使f1最大 f1 w cos 2 cos 2 k1 f1 p1 cos f1 w1sin wsin sin p1 pcos 求 使v1最大 模型建立 v1 vcos 模型求解 60 75 1 t 2 备注 只讨论起航时的航向 是静态模型航行过程中终点B将不在正东方 记t 1 2s2 s1 k2 k1w 2 k1w 2 1 1 2p w cos cos w ks1 p ks2 1 4 cos 1 2 模型求解 v1 k1 w 1 cos 2 pcos cos s1 s2 2 9量纲分析与无量纲化 物理量的量纲 长度l的量纲记L l 质量m的量纲记M m 时间t的量纲记T t 动力学中基本量纲L M T 速度v的量纲 v LT 1 导出量纲 加速度a的量纲 a LT 2 力f的量纲 f LMT 2 引力常数k的量纲 k 对无量纲量 1 L0M0T0 2 9 1量纲齐次原则 f l 2 m 2 L3M 1T 2 量纲齐次原则 等式两端的量纲一致 量纲分析 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 例 单摆运动 求摆动周期t的表达式 设物理量t m l g之间有关系式 1 2 3为待定系数 为无量纲量 1 的量纲表达式 对比 对x y z的两组测量值x1 y1 z1和x2 y2 z2 p1 f x1 y1 z1 p2 f x2 y2 z2 为什么假设这种形式 设p f x y z x y z的量纲单位缩小a b c倍 单摆运动中t m l g的一般表达式 设f q1 q2 qm 0 ys ys1 ys2 ysm T s 1 2 m r F 1 2 m r 0与f q1 q2 qm 0等价 F未定 Pi定理 Buckingham 是与量纲单位无关的物理定律 X1 X2 Xn是基本量纲 n m q1 q2 qm的量纲可表为 量纲矩阵记作 g LT 2 l L L 3M v LT 1 s L2 f LMT 2 量纲分析示例 波浪对航船的阻力 航船阻力f 航船速度v 船体尺寸l 浸没面积s 海水密度 重力加速度g m 6 n 3 Ay 0有m r 3个基本解 rankA 3 rankA r Ay 0有m r个基本解 ys ys1 ys2 ysm Ts 1 2 m r F 1 2 3 0与 g l v s f 0等价 为得到阻力f的显式表达式 F 0 未定 F 1 2 m r 0与f q1 q2 qm 0等价 量纲分析法的评注 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 0中包括哪些物理量是至关重要的 基本量纲个数n 选哪些基本量纲 有目的地构造Ay 0的基本解 方法的普适性 函数F和无量纲量未定 不需要特定的专业知识 2 9 2量纲分析在物理模拟中的应用 例 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数 均已知 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 原型船的参数 f1未知 其他已知 注意 二者的 相同 按一定尺寸比例造模型船 量测f 可算出f1 物理模拟 2 9 3无量纲化 例 火箭发射 星球表面竖直发射 初速v 星球半径r 表面重力加速度g 研究火箭高度x随时间t的变化规律 t 0时x 0 火箭质量m1 星球质量m2 牛顿第二定律 万有引力定律 3个独立参数 用无量纲化方法减少独立参数个数 用参数r v g的组合 分别构造与x t具有相同量纲的xc tc 特征尺度 无量纲变量 如 令 xc tc的不同构造 1 令 为无量纲量 3 令 2 令 1 2 3 的共同点 重要差别 考察无量纲量 在1 2 3 中能否忽略以 为因子的项 1 无解 2 3 原问题 是原问题的近似解 为什么3 能忽略 项 得到原问题近似解 而1 2 不能 3 令 火箭到达最高点时间为v g 高度为v2 2g 大体上具有单位尺度 林家翘 自然科学中确定性问题的应用数学