高考数学-行列式

2行列式的性质及计算 行列式称为行列式的转置行列式 记 性质1行列式与它的转置行列式相等 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 例1计算上三角形行列式 主对角线下侧元素都为0 四个结论 1 对角行列式 2 3 上三角形行列式 主对角线下侧元素都为0 4 下三角形行列式 主对角线上侧元素都为0 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 验证 于是 推论如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 有 所以 备注 交换第行 列 和第行 列 记作 验证 我们以三阶行列式为例 记 备注 第行 列 乘以 记作 性质3行列式中某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 验证 我们以4阶行列式为例 性质4行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 则 性质5若行列式中某一行 列 元素均为两数之和 则行列式可按照该行分拆成两个行列式之和 其他各行保持不变 每次只能按照一行或者一列分拆 性质6把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 则 验证 我们以三阶行列式为例 记 备注 以数乘第行 列 加到第行 列 上 记作 例4 性质6的应用举例 计算行列式常用方法一 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 解 性质7行列式按行 列 展开定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 行列式计算的方法之二 利用性质将行列式的某一行 列 多化一些零 然后按该行 列 将行列式展开 例5 划边使得代数余子式易于辨认 例8 例9证明n阶行列式 例11计算阶行列式 解 将第列都加到第一列得 例12 例13 证明用数学归纳法 例14证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 所以n 2时 1 式成立 假设 1 对于n 1阶范德蒙行列式成立 从第n行开始 后行减去前行的倍 按照第1列展开 并提出每列的公因子 就有 n 1阶范德蒙德行列式 练习 例15 总结计算行列式的常用方法 利用性质6将其化为上三角形行列式 在行列式中多化一些零 再利用按行按列展开定理 3 利用典型行列式进行计算 如爪型 范德蒙 按边展开等 例16 性质7之推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 分析以3阶行列式为例 把第1行的元素换成第2行的对应元素 则 综上所述 有 同理可得 例16设 的元的余子式和代数余子式依次记作和 求 分析利用 及 解 性质8设 证明