简谐振动(黄颂翔).ppt

第十五章习题分析习题类型 1 证明系统作简谐振动并求振动周期 2 已知振动表达式 求各物理量 3 根据已知条件 建立振动表达式 4 力学综合性问题 5 有关振动叠加的问题 简谐振动例题 例题1有一轻弹簧 当下端挂m1 10g的物体而平衡时 伸长量为4 9cm 用这个弹簧和m2 16g的物体连成一弹簧振子 若取平衡位置为原点 向上为x轴的正方向 将m2从平衡位置向下拉2cm后 给予向上的初速度v0 5cm s并开始计时 试求m2的振动周期和振动表达式 分析 振动系统的周期 或角频率 由系统本身性质决定 要求系统的振动表达式 即要写出振幅 圆频率和初相这三个物理量 解 设弹簧原长为l 悬挂m1后伸长 l达到平衡 则 取坐标轴向上为正 取下m1挂上m2后 系统的角频率为 能同时满足初始位移和初始速度的初相为 一般将初相表示为弧度形式 于是 振动表达式为 问 如果取坐标轴向下为正 则初相变化否 例题3边长l 25cm的正方形木块 密度 0 80克 厘米3 将木块刚好完全浸入水中后放手 求其运动形式及运动方程 振动表达式为 解 木块受浮力及重力作用 取竖直向下为坐标轴正方向 水面处为坐标原点 设木块平衡时浸入水中深度为b 则达平衡时有 如图 当C点离O点为y时 作用在木块上的合力为 由牛顿第二定律 符合简谐振动的运动学判据 即木块作简谐振动 即初始时刻在最大位移处 振动表达式为 例题4劲度系数为k的弹簧下端固定于地面 压上一重物后弹簧压缩b 9 8cm 给重物m以冲击力使其具有向下的初速v0 1米 秒 分析其运动及运动方程 解 取竖直向下为y轴正向 弹簧原长上端为原点O 当m在y位置时 受重力mg向下 弹性力 ky向上 由牛顿第二定律 当重物的重力与弹性力平衡时 弹簧压缩量为b 此时弹簧处于平衡点O mg kb 代入上式得 即有 可见物体作简谐振动 从这里看到 当物体除受回复力作用外 还受恒力作用时 仍然作简谐振动 在新坐标系中 求得 由初始条件 运动方程为 由此可知 应注意初位相的确定与坐标轴的正向有关 解 1 设这一简谐振动的表式为 由初始速度条件 简谐振动的表式为 由旋转矢量方法易求得初相 2 由位移的表式得 因为物体向x轴负向运动 v 0 所以不取4 3 求得 由旋转矢量能直观地看出 第一次回到平衡位置时旋转矢量转过的角度为 因而所需时间为 例题6一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm 现将物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体 它们的总质量为4kg 待其静止后再把物体向下拉10cm 然后由静止释放 问 1 此小物体是停在振动物体上面还是离开它 2 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离 则振幅A满足何条件 二者在何位置开始分离 解 小物体受力如图 设小物体随振动物体的运动加速度为a 按牛顿第二定律 取坐标轴向下为正 有 即 系统的最大加速度 例题7 单摆 数学摆 由牛顿第二定律有 表示切向分力矩的指向恒与角位移方向相反 振动表式为 例题8 复摆 物理摆 式中负号表示力矩的转向与角位移的转向相反 当摆角很小时 近似有 根据转动定律 或 周期为 k为复摆的回转半径 利用复摆可正确测定重力加速度的值 不同地质结构处的重力加速度不同 可进行地质探矿 单摆 复摆的振动表达式 速度 角速度 表达式 加速度 角加速度 振幅 角振幅 及初位相的表达式与弹簧振子的情况相似 圆频率与周期又可表示为 问题 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为1 4周期吗 走过该距离的一半所需的时间为多少 是1 8周期吗 振子从平衡位置出发经历1 8周期时运动的位移是多少 辨析 振子作简谐运动时 从平衡位置运动到最远点所需的时间是1 4周期 因振子的运动速度不是常数 振子作变速直线运动 所以走过该距离的一半所需的时间不是1 8周期 从旋转矢量图可以看出 振子从平衡位置P运动到A 2处M点时 相应的振幅矢量转过了 6的角度 即 所以 也就是说 振子从平衡位置O运动到A 2处所用的时间为T 12 而不是T 8 而振子从A 2处运动到最远点的时间为 振子从平衡位置O出发 经过T 8时 位移为 问题 一水平放置的弹簧振子 如图a所示 当其从A 2运动到 A 2时 所需的最短时间为1s 现将该弹簧振子竖直挂起 并让其振动 那么它的振动周期为多少 辨析 应当明确 弹簧振子的谐振周期 或圆频率 决定于系统本身的性质 即由弹簧的劲度系数和振子的质量来决定 只要k和m确定后 无论系统作怎样的简谐振动 周期都相同 即 按题意作旋转矢量图 当振子从A 2运动到 A 2时 相当于振幅矢量A从 1 3旋转到 2 2 3 即转过了 3的角度 因而转过 3角度所用的时间是T 6 即T 6 1 T 6s 例1 如图所示 有两个完全相同的弹簧振子a和b 并排放在光滑的水平桌面上 测得它们的振动周期都是2s 现将两物体都从平衡位置向右拉开5cm 然后先释放a振子 经过0 5s后 再释放b振子 如果从b释放时开始计时 求两振子的振动表达式 在同一坐标系中画出两者的振动曲线 并用旋转矢量表示这两个振动 解 因两振子的周期相同 所以圆频率也相同 其值为 这就是说 a振子的振动相位要比b振子超前 2 它们的振动曲线如图 a 所示 用旋转矢量表示 则如图 b 所示 例2 一质量可忽略不计的弹簧下端 悬挂质量为4kg的物体 弹簧伸长20cm 再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm 然后由静止释放并开始计时 试证明此振动为简谐振动 并求 1 物体的振动方程 2 物体在平衡位置上方5cm处弹簧对物体的拉力 3 物体从第一次越过平衡位置时刻起 到它运动到平衡位置上方5cm处所需要的最短时间 解 如图所示 以平衡位置为原点 向下为x轴的正方向 在挂物体达平衡位置时有 当物体离开平衡位置x距离时 弹簧实际的伸长量为 x l0 则物体所受到的合外力为 可见 物体所受到的合外力与水平放置的弹簧振子是相同的 因此 该振动是简谐振动 1 由已知条件可知 振动的圆频率 t 0时 x0 0 1m v0 0 可得 则振动方程为 再设t2时刻物体在平衡位置上方0 05m处 此时x 0 05m 即 例3 已知某质点作简谐振动的振动曲线如图 a 所示 试求该质点的振动方程 解 要求质点的振动方程 即要求出振幅 圆频率和初相 由振动曲线易看出振幅A 角频率和初相可根据振动曲线用旋转矢量法或解析法求出 下面分别用两种方法求解 方法1 旋转矢量法 由图可见 t 0时刻质点的振动状态为 所对应的旋转矢量OM如图 b 所示 由图可见 质点在t 0时的振动初相为 且有 由图 a 可见 t 0 5s时质点的振动状态为x 0 v 0 对应的旋转矢量为OP 即历时 t 0 5s 旋转矢量从OA转到了OP 共转过了 4 所以 方法2 解析法 由图 a 可知 t 0时质点离开平衡位置的位移变小了 因此t 0时刻质点的速度向着平衡位置 是正的 即 所以 取 初相已求出 故该质点的振动方程为 例4 如图所示 一质点作简谐振动 在一个周期内相继通过距离为12cm的两点A B 历时2s 并且在A B两点处具有相同的速度 再经过2s后 质点又从另一方向通过B点 试求该质点运动的周期和振幅 解 取坐标Ox沿AB连线 坐标原点处在A B连线中点 如图所示 设质点的振动方程为 由于 且 所以A B两点坐标为 用旋转矢量法求振幅 质点从O点运动到B点所经历的时间为 t 1s 旋转矢量从P0点旋转到PB点 转过的角度为 t 4 如图所示 在 OPBB中 有 所以振幅 由连续两次从相反方向通过B点历时2s知 T 4 2 T 8s 例5 如图所示 一弹簧振子沿x轴作简谐振动 振子质量m 2 5kg 弹簧的劲度系数k 250N m 当振子处于平衡位置右方且向x轴的负方向运动时开始计时 t 0 此时的动能Ek 0 2J 势能Ep 0 6J 试求 1 t 0 时 振子的位移和速度 2 系统的振动表达式 解 1 由t 0时Ep 0 6J知 得 待续