2013秋季第8讲换面.ppt

问题 如何求异面直线的公垂线 Problem Howtoconstructcommonperpendiculartoskewlines 如果其中一条直线是投射线 Whatifoneoftheskewlinesperpendiculartoprojectionplane O X Y Z H V a A a C W a b B b c c c b 问题 如何求一般位置平面真形 Problem Howtogetthetrueshapeofaninclinedplane 第八讲投影变换Lesson8 Projectiontransformation 1 问题的提出Problems 如何求倾斜平面的真实形状 Howtogetthetruesizeofaninclinedplane 换面法Projectiontransformation 物体本身在空间的位置不动 而用某一新投影面 辅助投影面 代替原有投影面 使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置 然后将物体向新投影面进行投射 Withtheobjectstayingwhereitis usinganewprojectionplane auxiliaryprojectionplane toreplacetheoldprojectionplanesuchthattheproblemcanbesolvedbythenewprojectionoftheobject 解决方法 更换投影面Solutions Auxiliaryprojectionplane 2 新投影面的选择原则Auxiliaryprojectionplanesetting 1 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置 Thenewprojectionplanemustbeplacedpurposelyinordertosolvetheproblem 平行于新的投影面Paralleltothenewprojectionplane垂直于新的投影面Perpendiculartothenewprojectionplane 2 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系 Thenewprojectionplanemustbeperpendiculartooneoldprojectionplanewhichiskeptsothattheycanconstituteanewperpendicularprojectionsystem 1 更换一次投影面Firstprojectiontransformation A点的两个投影 a a TwoprojectionsofpointA a a A点的两个投影 a a1TwoprojectionsofpointA a a1 i 新投影体系的建立Theconstructionofnewprojectionsystem 3 点的投影变换规律Theruleofpointprojectiontransformation ax1 V H X P1 H X1 a a a1 V H A a ax X a1 ax1 ii 新旧投影之间的关系Therelationshipofoldandnewprojections aa1 X1 a1ax1 a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 ax a 一般规律 点的新投影和与它有关的原投影的连线 必垂直于新投影轴 更换H面replacingH iii 求新投影的作图方法Drawingofnewprojection V H X 由点的不变投影向新投影轴作垂线 并在垂线上量取一段距离 使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 Drawlineperpendiculartonewaxisfromtheunchangedprojection extendthelinesamedistanceasfromthereplacedprojectiontotheoldaxis a a ax ax1 ax1 更换V面replacingV 作图规律 4 直线的换面Projectiontransformationofline 1 把一般位置直线变换成投影面平行线Turningobliquelineintolineparalleltoaprojectionplane 用P1面代替V面 在P1 H投影体系中 AB P1 ReplacingVwithP1 AB P1 空间分析 换H面行吗 DoesreplacingHwork 不行 No 作图 新投影轴的位置 Thepositionofnewaxis 与ab平行Paralleltoab 2 把面平行线变换成投射线Turningparallellineintoperpendiculartoaprojectionplane 可以通过投影面变换换将一般位置直线转化为面平行线 将面平行线转换为投射线 Now obliquelinecanbeturnedintoparallellineandparallellinecanbeturnedintoperpendiculartoprojectionplane 问 是否可将一般位置直线转换为投射线 Question Canobliquelinebeturnedintoperpendiculartoprojectionplane 答 用一次换面不可以 为什么 Answer Onlyonetransformationcannotmakeit Why 可用二次换面实现 Withsecondauxiliaryprojectionplane 二次换面Secondaryauxiliaryview 3 更换两次投影面Secondauxiliaryprojectionplane i 新投影体系的建立Constructionofnewprojectionsystem 按次序更换Transforminginsequence A a V H a ax X a a X V H ii 求新投影的作图方法Stepsofdrawing 作图规律a2a1 X2轴a2ax2 aax1 ax 1 把一般位置平面变换成投影面垂直面Transformingobliqueplaneintoplaneperpendiculartoprojectionplane 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线 那么该平面则变换成新投影面的垂直面 Ifalineinoneplanecanbetransformedintoalineperpendiculartonewprojectionplane thatplanethenhasbeentransformedintoplaneperpendiculartonewprojectionplane 空间分析Spatialanalysis 两平面垂直需满足什么条件 Whenaretwoplanesperpendiculartoeachother 5 平面的换面Projectiontransformationofplane 一般位置直线变换成投影面垂直线 需经几次变换 Howmanytransformationsshouldbeneededtoturnoneobliquelineintooneperpendiculartoprojectionplane 在平面内取一条投影面平行线 经一次换面后变换成新投影面的垂直线 则该平面变成新投影面的垂直面 ConstructonehorizontallineintheplaneandturnitintooneperpendiculartothenewVerticalplaneafteronetransformation andtheplanebeperpendiculartothenewVerticalplane 能否只进行一次变换 Coulditbedonebyonlyonetransformation 思考 若变换H面 需在面内取什么位置直线 WhatkindoflineshouldbedrawnintheplaneifonenewHorizontalplaneneeded 正平线 Frontalline a b c a c b X V H 例 把三角形ABC变换成投影面垂直面 TurnthetriangleABCintoplaneperpendiculartoprojectionplane 在平面内取一条水平线AD DrawahorizontallineADinABC 将AD变换成新投影面的垂直线 TurnADintolineperpendiculartonewprojectionplane 反映平面对哪个投影面的夹角 istheanglebetweenABCandwhichplane 2 将投射面换为面平行面Turnperpendicularplaneintoparalleltoprojectionplane 能否将一般位置平面换为面平行面 Canweturnanobliqueplaneintooneparalleltoaprojectionplane b a c a b c b1 c1 a1 ABC真形 例 把三角形ABC变换成投影面平行面 TurningTriangleABCintoplaneparalleltoaprojectionplane X V H 一次换面 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面 Firsttransformationofprojectionplaneturnstheobliqueplaneintoperpendicularone 二次换面 再变换成新投影面的平行面 Secondtransformationofprojectionplaneturnstheperpendicularplaneintoparallelone 3 把一般位置平面变换成投影面平行面Turnanobliqueplaneintooneparalleltoprojectionplane a b a c b X V H c 作图Procedure AB是水平线AB H X2轴的位置 PositionofaxisX2 平面的实形Trueshapeoftheplane 与其平行Paralleltothis 例1求角平分线的投影Ex3 Findingthebisectorofanangle ABC 6 换面法的应用Applicationoftransformationofprojectionplane ABD CBD但 but a b d c b d 例1求角平分线的投影Ex1 Findingtheprojectionsofthebisectorofanangle ABC 作为特殊情况 当分角线平行于投影面时 这条分角线的投影也就是该角投影的分角线 Asaspecialcase whenthebisectorofanangleisparalleltoaprojectionplane theprojectionofthisbisectorwillalsobethebisectoroftheprojectionoftheangle 水平线Horizontalline 距离Distance d1 如下图 当直线AB垂直于投影面时 CD平行于投影面 其投影反映实长 Asthefigurebelowshows IfAB P thenCD P anditsprojectionofPisthetruelength 求C点到直线AB的距离 就是求垂线CD的实长 TherequireddistanceisthetruelengthofperpendicularlineCD 过作线平行于x2轴 Drawlineparalleltox2throughc1 如何确定d1 点的位置 Howtodeterminethepositionofpointd1 例3 求两异面直线的距离 a c b a b c d d O VH HX1P1 a1 b1 c1 d1 P1P2X2 c2 d2 a2 b2 n2 m2 m1 n1 m2n2为距离实长 n1的位置 MN为何种位置线 分析 只需将其中的一条直线变换为投影面垂直线即可 继续 返回到原投影 X MN为P2的平行线 m1n1 O2X2轴 O1 O2 b a a b c d 例4 已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN 且AB为水平线 求CD及MN的投影 Given ThelengthofcommonperpendicularofskewlinesABandCDisMN AB HReq d CompletetheprojectionsofCDandMN V H X 圆半径 MNTheradiusofcircle MN 思考题1 用一根水平位置的管子连接空间两管路AB和CD 确定最短的水平连接管的位置及长度 N C D Q S H G F L 作水平面S 作平面P 含AB 平面Q 含CD 得 水平线EF GH L为水平最短距离实长 I L MN为所求 P M B E K A KL为所求 否 AB CD有无数条水平连线 只有一条为题解要求的最短距离 H PH PQ 过已知直线作两平行平面 用一水平面截此两平面 截得的两平行线间的距离即为水平最短距离的长度 此距离垂直于此两平行线水平连线的方向已知 求与其平行且与M N相交的线即为所求 AB与CD都平行于投影面时 其投影的夹角才反映真形 60 因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面 Theangleistruesize 60 whenbothABandCDareparalleltoprojectionplane SoturntheplanedeterminedbyABandCintooneparalleltoprojectionplane 例5 过C点作直线CD与AB相交成60 角 ConstructlineCD requiredtheanglebetweenCDandABis60 a b a c b X V H c 几个解 Howmanysolutions 两个解 Two D点的投影如何返回 HowtogobacktheprojectionsofpointD 思考题2 求直线与平面的夹角 的实际大小 提示 如果ABC是投射面 m n n m a c b a b c O c1 思考题3 已知入射光线AK方向 反射光线KB方向 确定反射镜面的位置及其投影 镜面以K为中心的正方形表示 边长为20mm 其中两边是水平线 a b a b k k 例6相交两直线间的夹角 AngleBetweenTwoIntersectingLines 由于相交两直线形成一平面 因此相交两直线之间的真实夹角可在该平面表现为实形的投影中求得 Sincetwointersectinglinesformaplane thetrueanglebetweentheintersectinglinesmaybefoundinaprojectionwheretheplaneappearsastrueshape V H X 例7 求平面ABC和平面ABD之间的夹角 FindtheanglebetweenplaneABCandABD 在投影图中 两平面的交线垂直于投影面时 则两平面垂直于该投影面 它们的投影积聚成直线 直线间的夹角为所求 Iftheintersectinglineoftwoplanesisperpendiculartoaprojectionplane bothofplanesareaccumulatedtotwolineswhichtheanglebetweenthemistheanglerequired 思考题4 已知飞机座舱的挡风玻璃 求其中平面M与N M与K的两面角的真实大小 m n k k m n 作业Homework P29 1 2 3 4 6P30参考Referto P161 P165