江苏专用2019高考数学二轮复习专题六数列第18讲等差数列等比数列的基本问题课件.ppt

专题六数列第18讲等差数列 等比数列的基本问题 第18讲等差数列 等比数列的基本问题1 已知 an 是公差不为0的等差数列 Sn是其前n项和 若a2a3 a4a5 S9 27 则a1的值是 答案 5 解析设等差数列 an 的公差为d d 0 S9 9a5 27 a5 3 则由a2a3 a4a5得 3 3d 3 2d 3 3 d 解得d 2 则a1 a5 4d 3 8 5 2 已知等差数列 cn 的首项c1 1 若 2cn 3 为等比数列 则c2017 答案1 解析设等差数列 cn 的公差为d 因为c1 1 则2c1 3 5 2c2 3 2d 5 2c3 3 4d 5 由 2cn 3 为等比数列得 2c1 3 2c3 3 2c2 3 2 则5 4d 5 2d 5 2 解得d 0 则c2017 c1 1 3 等差数列 an 的前m项 m为奇数 之和为77 其中偶数项之和为33 且a1 am 18 则 an 的通项公式为 答案an 3n 23 4 已知数列 an 中 a1 1 a2 4 a3 10 若 an 1 an 是等比数列 则ai 答案3049 解析a2 a1 3 a3 a2 6 则等比数列 an 1 an 的公比是2 则an 1 an 3 2n 1 则an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 3 1 2 22 2n 2 1 3 3 2n 1 2 则ai 3 1 2 22 29 20 3 20 3 210 1 20 3049 5 数列 an 中 a1 8 a4 2 且满足an 2 2an 1 an n N Sn a1 a2 an 则Sn 答案 解析由an 2 2an 1 an n N 可得数列 an 是等差数列 又a1 8 a4 2 则公差d 2 an 8 2 n 1 10 2n 当an 0时 即10 2n 0时 n 5 所以当1 n 5 n N 时 Sn a1 a2 an n2 9n 当n 6时 Sn a1 a5 a6 an n2 9n 40 综上可得 Sn 题型一等差 等比数列的运算 例1 1 2018徐州高三考前模拟 设Sn为等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 a7 a9 10 36 则S10的值为 2 2018扬州高三第三次调研 已知 an 是等比数列 Sn是其前n项和 若a3 2 S12 4S6 则a9的值为 答案 1 2 2或6 解析 1 因为 an 是等差数列 所以a1 a3 a5 a7 a9 5a5 10 即a5 2 设公差为d 则 a8 a2 a8 a2 2a5 6d 24d 36 d 则a6 a5 d S10 5 a5 a6 2 由S12 4S6得等比数列的公比q 1 则 化简得1 q12 4 1 q6 解得q6 1或q6 3 又a3 2 则a9 a3q6 2或6 方法归纳 1 灵活应用等差数列 等比数列的性质可简化运算 如 an 是等差数列 且m n p q m n p q N 则am an ap aq 特别地 m n 2p m n p N 则am an 2ap 如 an 是等比数列 且m n p q m n p q N 则aman apaq 特别地 m n 2p m n p N 则aman 2 通项公式中含参数的数列成等差数列或等比数列时 一般利用特殊值法建立方程求参数的值 3 进行运算求解时要注意等价 如本例 2 容易漏解 判断出q 1后从 1 q12 4 1 q6 两边同时约去1 q6导致遗漏2 即q 1的情况 所以在约分时要慎重 1 1 2015江苏扬州中学高三第四次模拟 已知数列 an 与 n N 均为等差数列 且a1 2 得a10 答案20 解析设等差数列 an 的公差为d 则由 n N 为等差数列 且a1 2 得 4 成等差数列 则4 2 解得d 2 故a10 a1 9d 20 题型二等差 等比数列的证明 例2 2018江苏五校高三学情检测 已知数列 an bn 满足 bn an 3an 1 n N 1 若bn n a2 a3 0 求a1的值 2 设an bn bn 1 a1 1 a2 求证 数列 bn 从第2项起成等比数列 3 若数列 bn 成等差数列 且b1 5a2 a3 试判断数列 an 是否成等差数列 并证明你的结论 解析 1 当n 1 2时 可得a1 3a2 1 a2 3a3 2 又a2 a3 0 从而可得a1 4 2 证明 由a1 1 a2 可得b1 a1 3a2 b2 a1 b1 又因为bn an 3an 1 an bn bn 1 所以bn bn bn 1 3 bn 1 bn 2 即4bn 1 3bn 2 n N 又b2 0 所以bn 1 bn n N 且n 2 所以数列 bn 从第2项起成等比数列 3 an 成等差数列 证明如下 由b1 5a2 a3可得a1 3a2 5a2 a3 即a3 2a2 a1 0 由bn an 3an 1可得bn 1 an 1 3an 2 bn 2 an 2 3an 3 又因为数列 bn 成等差数列 从而bn 2 bn 1 bn 1 bn 即bn 2 2bn 1 bn 0 从而bn 2 2bn 1 bn an 2 3an 3 2 an 1 3an 2 an 3an 1 0 即an 2 2an 1 an 3 an 3 2an 2 an 1 所以an 2 2an 1 an an 1 a3 2a2 a1 0 故an 2 an 1 an 1 an 所以数列 an 成等差数列 方法归纳 判断或证明数列是等差 等比 数列的两种方法 定义法 对于任意自然数n n 1 验证an 1 an为同一常数 中项公式法 若2an an 1 an 1 n N n 2 则 an 为等差数列 若 an 1 an 1 an 0 n N n 2 则 an 为等比数列 利用递推公式证明等差或等比数列 一般利用等差 等比中项法 利用通项公式证明等差或等比数列 一般利用定义法 2 1 2018南通高三第二次调研 设等比数列a1 a2 a3 a4的公比为q 等差数列b1 b2 b3 b4的公差为d 且q 1 d 0 记ci ai bi i 1 2 3 4 1 求证 数列c1 c2 c3不是等差数列 2 设a1 1 q 2 若数列c1 c2 c3是等比数列 求b2关于d的函数关系式及其定义域 3 数列c1 c2 c3 c4能不能为等比数列 并说明理由 解析 1 证明 假设数列c1 c2 c3是等差数列 则2c2 c1 c3 即2 a2 b2 a1 b1 a3 b3 因为b1 b2 b3是等差数列 所以2b2 b1 b3 从而2a2 a1 a3 又因为a1 a2 a3是等比数列 所以 a1a3 所以a1 a2 a3 这与q 1矛盾 从而假设不成立 所以数列c1 c2 c3不是等差数列 2 因为a1 1 q 2 所以an 2n 1 n 1 2 3 4 因为 c1c3 所以 2 b2 2 1 b2 d 4 b2 d 即b2 d2 3d 由c2 2 b2 0 得d2 3d 2 0 所以d 1且d 2 又d 0 所以b2 d2 3d 定义域为 d R d 1 d 2 d 0 3 设c1 c2 c3 c4成等比数列 其公比为q1 则 将 2 得 a1 q 1 2 c1 q1 1 2 将 2 得 a1q q 1 2 c1q1 q1 1 2 因为a1 0 q 1 得c1 0 q1 1 由 得q q1 从而a1 c1 代入 得b1 0 再代入 得d 0 与d 0矛盾 所以c1 c2 c3 c4不成等比数列 题型三等差 等比数列的综合问题 例3 2018江苏 14 5分 已知A x x 2n 1 n N B x x 2n n N 将A B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an 记Sn为数列 an 的前n项和 则使得Sn 12an 1成立的n的最小值为 答案27 则Tl 22l 2 2l 1 2 则l Tl n an 1的对应关系为 观察到l 5时 Tl S2112a39 则n 22 38 n N 时 存在n 使Sn 12an 1 此时T5 A1 A2 A16 B1 B2 B3 B4 B5 则当n 22 38 n N 时 Sn T5 n2 10n 87 an 1 An 1 5 An 4 12an 1 12 2 n 4 1 24n 108 Sn 12an 1 n2 34n 195 n 17 2 94 则n 27时 Sn 12an 1 0 即nmin 27 方法归纳 等差数列与等比数列交汇的问题 常用 基本量法 求解 但有时灵活地运用数列的性质 可使运算简便 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知量和未知量是常用方法 3 1设数列 an bn 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列 1 已知b1 1 b2b3 b2 6 0 求数列 bn 的前n项和Sn 2 已知数列 an 的公差为d d 0 且a1b1 a2b2 anbn n 1 2n 1 2 求数列 an bn 的通项公式 用含n d的式子表达 解析 1 设 bn 的公比为q 则有q3 q 6 0 即 q 2 q2 2q 3 0 所以q 2 从而Sn 2 由a1b1 a2b2 anbn n 1 2n 1 2得a1b1 a2b2 an 1 bn 1 n 2 2n 2 两式两边分别相减得anbn n 2n 所以an 1bn 1 n 1 2n 1 两式两边分别相除得 q n 2 其中q是等比数列 bn 的公比 所以 q n 3 上面两式两边分别相除得 n 3 所以 即 解得a1 d或a1 3d 若a1 3d 则a4 0 有4 24 a4b4 0矛盾 所以a1 d满足条件 所以an dn bn