江苏专用2019高考数学二轮复习专题六数列微专题14数列中的创新性问题课件.ppt

微专题14数列中的创新性问题 微专题14数列中的创新性问题题型一新定义数列的创新型问题 例1 2017江苏 19 16分 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 P k 数列 1 证明 等差数列 an 是 P 3 数列 2 若数列 an 既是 P 2 数列 又是 P 3 数列 证明 an 是等差数列 证明 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 P 3 数列 2 数列 an 既是 P 2 数列 又是 P 3 数列 因此 当n 3时 an 2 an 1 an 1 an 2 4an 当n 4时 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 由 知 an 3 an 2 4an 1 an an 1 an 2 an 3 4an 1 an 1 an 将 代入 得an 1 an 1 2an 其中n 4 所以a3 a4 a5 是等差数列 设其公差为d 在 中 取n 4 则a2 a3 a5 a6 4a4 所以a2 a3 d 在 中 取n 3 则a1 a2 a4 a5 4a3 所以a1 a3 2d 所以数列 an 是等差数列 方法归纳 解决数列新定义运算型创新问题时 对新定义信息的提取和化归转化是解题的关键 也是解题的难点 1 1 2017江苏泰州中学模拟 若数列 an 中不超过f m 的项的个数恰为bm m N 则称数列 bm 是数列 an 的生成数列 称相应的函数f m 是数列 an 生成 bm 的控制函数 1 已知an n2 且f m m2 写出b1 b2 b3 2 已知an 2n 且f m m 求 bm 的前m项和Sm 解析 1 b1 1 b2 2 b3 3 2 m为偶数时 an 中有项满足题意 则bm m为奇数时 an 中有项满足题意 则bm 故bm m为偶数时 Sm b1 b2 bm 1 2 m m为奇数时 Sm Sm 1 bm 1 故Sm 题型二新定义性质型创新问题 例2 2018南师附中 天一 海门 淮阴四校联考 设数列 an 的首项为1 前n项和为Sn 若对任意的n N 均有Sn an k k k是常数且k N 成立 则称数列 an 为 P k 数列 1 若数列 an 为 P 1 数列 求数列 an 的通项公式 2 是否存在数列 an 既是 P k 数列 也是 P k 2 数列 若存在 求出符合条件的数列 an 的通项公式及对应的k的值 若不存在 请说明理由 3 若数列 an 为 P 2 数列 a2 2 设Tn 证明 Tn 3 解析 1 数列 an 为 P 1 数列 则Sn an 1 1 故Sn 1 an 2 1 两式相减得an 2 2an 1 又n 1时 a1 a2 1 所以a2 2 故an 1 2an对任意的n N 恒成立 即 2 常数 故数列 an 为等比数列 其通项公式为an 2n 1 n N 2 假设存在这样的数列 an 则有Sn an k k 故有Sn 1 an k 1 k 两式相减得an 1 an k 1 an k 故有an 3 an k 3 an k 2 同理由 an 是 P k 2 数列 可得 an 1 an k 3 an k 2 所以an 1 an 3对任意n N 恒成立 所以Sn an k k an k 2 k Sn 2 即Sn Sn 2 又Sn 2 an k 2 k 2 Sn 2 即Sn 2 Sn 2 两者矛盾 故不存在这样的数列 an 既是 P k 数列 也是 P k 2 数列 3 证明 因为数列 an 为 P 2 数列 所以Sn an 2 2 所以Sn 1 an 3 2 故有 an 1 an 3 an 2 又n 1时 a1 a3 2 故a3 3 满足a3 a2 a1 所以an 2 an 1 an对任意正整数n恒成立 数列的前几项为 1 2 3 5 8 故Tn 所以Tn 两式相减得 Tn Tn 2 显然Tn 20 故Tn Tn 即Tn 3 方法归纳 解决数列新定义性质型创新问题时 需要细细品味新定义的概念 法则 对新定义的信息进行加工 探求解决方法 有时可以寻找相近知识点 明确它们的共同点和不同点