江苏专用2019高考数学二轮复习专题六数列微专题13数列中的探索性问题课件.ppt

微专题13数列中的探索性问题 微专题13数列中的探索性问题题型一新定义数列的探究型问题 例1 2018江苏扬州高三模拟 已知数列 an 中 a1 1 前n项和为Sn 若对任意的n N 均有Sn an k k k是常数 且k N 成立 则称数列 an 为 H k 数列 1 若数列 an 为 H 1 数列 求数列 an 的前n项和Sn 2 若数列 an 为 H 2 数列 且a2为整数 试问 是否存在数列 an 使得 an 1an 1 40对任意n 2 n N 成立 如果存在 求出这样数列 an 的a2的所有可能值 如果不存在 请说明理由 解析 1 因为数列 an 为 H 1 数列 所以Sn an 1 1 故Sn 1 an 1 n 2 两式相减得an 1 2an n 2 在Sn an 1 1中令n 1 则可得a2 2 故a2 2a1 所以 2 n N 所以数列 an 为等比数列 所以an 2n 1 所以Sn 2n 1 2 由题意得Sn an 2 2 故Sn 1 an 1 2 n 2 两式相减得an 2 an 1 an n 2 所以 当n 2时 anan 2 an an 1 an an 1 an 1 an 又因为an 1 an an 1 n 3 所以 anan 2 an 1 an 1 an an 1an 1 所以 anan 2 an 1an 1 n 3 所以当n 3时 数列 an 1an 1 是常数列 所以 an 1an 1 a2a4 n 3 因为a4 a3 a2 所以 an 1an 1 a2a3 n 3 在Sn an 2 2中令n 1 则可得a3 3 所以 9 3a2 40 又n 2时 a1a3 3 40 且a2为整数 所以可解得a2 0 1 2 3 4 5 6 方法归纳 对于新定义数列中的探究性问题 读懂 理解新数列的定义是重点 一般而言 这类题目考查的难点已在新定义中体现 后续反而不会太难 但需要具备举一反三的能力 结合原有数列知识去探求出题目所要求的条件 大胆尝试 总结 1 1 2018泰州中学高三检测 数列 an 对于确定的正整数m 若存在正整数n使得am n am an成立 则称数列 an 为 m阶可分拆数列 1 设 an 是首项为2 公差为2的等差数列 证明 an 为 3阶可分拆数列 2 设数列 an 的前n项和为Sn 2n a a 0 若数列 an 为 1阶可分拆数列 求实数a的值 3 设an 2n n2 12 试探求是否存在m使得若数列 an 为 m阶可分拆数列 若存在 请求出所有m 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 an 2 2 n 1 2n a3 6 则a3 n 2 3 n 6 2n a3 an an 为 3阶可分拆数列 2 Sn 2n a a 0 a1 S1 2 a n 2时 an Sn Sn 1 2n a 2n 1 a 2n 1 数列 an 为 1阶可分拆数列 an 1 a1 an 2n 2 a 2n 1 a 2 2n 1 令n 1时 a 1 3 假设数列 an 为 m阶可分拆数列 则am n am an成立 2n m n m 2 12 2m m2 12 2n n2 12 化为2n m 2mn 2m 2n 12 2m 1 2n 1 2mn 13 可得 m 1 n 3 m 2 n不存在 m 3 n 1 m 4时n不存在 只有两组 m 1 n 3 m 3 n 1 题型二探究数列中是否存在满足条件的项的问题 例2 2018扬州高三考前调研 已知无穷数列 an 的各项都不为零 其前n项和为Sn 且满足an an 1 Sn n N 数列 bn 满足bn 其中t为正整数 1 求a2018 2 若不等式 Sn Sn 1对任意n N 都成立 求首项a1的取值范围 3 若首项a1是正整数 则数列 bn 中的任意一项是否总可以表示为数列 bn 中的其他两项之积 若是 请给出一种表示方式 若不是 请说明理由 解析 1 令n 1 则a1a2 S1 即a1a2 a1 又a1 0 故a2 1 由an an 1 Sn 得an 1 an 2 Sn 1 两式相减得 an 2 an an 1 an 1 又an 1 0 故an 2 an 1 所以数列 a2n 是首项为1 公差为1的等差数列 所以a2018 a2 1 1009 2 由 1 知 数列 a2n 是首项为1 公差为1的等差数列 数列 a2n 1 是首项为a1 公差为1的等差数列 故an 所以Sn 当n是奇数时 Sn Sn 1 即 即 2a1 对任意正奇数n恒成立 所以 2a1 0 即0 a1 2 当n是偶数时 Sn Sn 1 即 即 a1 对任意正偶数n恒成立 所以 a1 1 即 a1 综合 得 0 a1 3 由数列 a2n 是首项为1 公差为1的等差数列 数列 a2n 1 是首项为正整数a1 公差为1的等差数列知 数列 an 的各项都是正整数 设bn bmbk 即 即am 取k n 2 则ak an 1 故am an an 2 t 不妨设m是偶数 则 an an 2 t 一定是整数 故当n是偶数时 方程bn bmbk的一组解是故当n是奇数时 方程bn bmbk的一组解是所以 数列 bn 中的任意一项总可以表示为数列 bn 中的其他两项之积 方法归纳 1 此类问题常与函数 方程 不等式等知识相互关联渗透 解题时注意方程思想 整体思想 分类讨论思想以及数形结合思想等的灵活运用 2 数列中的不等式恒成立问题与函数问题中的不等式恒成立问题的解法一致 即都是利用分离参数转化为求最值 但要注意数列的单调性与函数单调性的研究是有区别的 关键是数列的定义域是正整数集 或其子集 2 1 2018江苏盐城高三期中 已知数列 an 满足a1 1 a2 1 且an 2 an n N 1 求a5 a6的值 2 Sn为数列 an 的前n项的和 求Sn 3 设bn a2n 1 a2n 是否存正整数i j k i j k 使得bi bj bk成等差数列 若存在 求出所有满足条件的i j k 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意 为n为奇数时 an 2 an 当n为偶数时 an 2 an 又a1 1 a2 1 a3 a5 a4 a6 则a5 a6 2 2 当n 2k时 Sn S2k a1 a3 a2k 1 a2 a4 a2k 2 4 2 4 当n 2k 1时 Sn S2k a2k 2 4 2 4 2 4 Sn 3 由 1 得bn a2n 1 a2n 0 仅b1 0且 bn 递增 k j 且k j Z k j 1 当k j 2时 bk bj 2 若bi bj bk成等差数列 则bi 2bj bk 2bj bj 2 2 0 此与bn 0矛盾 故此时不存在这样的等差数列 当k j 1时 bk bj 1 若bi bj bk成等差数列 则bi 2bj bk 2bj bj 1 2 又 i j 且i j Z i j 1 若i j 2 则bi bj 2 得 得 5 0 矛盾 i j 1 从而2bj bj 1 bj 1 得2 化简 得3j 2 1 解得j 2 从而 满足条件的i j k只有唯一一组解 即i 1 j 2 k 3 题型三数列满足条件的参数的存在性问题 例3 2018江苏启东中学高三上学期第二次月考 已知数列 an 为等比数列 a1 1 公比为q 且q 1 Sn为数列 an 的前n项和 1 若a3 a5 20 求 2 若调换a1 a2 a3的顺序后能构成一个等差数列 求q的所有可能值 3 是否存在正常数c q 使得对任意正整数n 不等式 2总成立 若存在 求出q的范围 若不存在 请说明理由 解析 1 因为a1 1 a3 a5 20 所以q4 q2 20 0 所以q2 4或q2 5 舍去 所以 1 q4 17 2 若a2 a1 a3或a3 a1 a2成等差数列 则2a1 a3 a2 q2 q 2 0 解得q 2或1 舍去 若a1 a3 a2或a2 a3 a1成等差数列 则2a3 a1 a2 2q2 q 1 0 解得q 或1 舍去 若a3 a2 a1成等差数列 则2a2 a3 a1 q2 2q 1 0 解得q 1 舍去 综上 q 2或 3 由 2 0 c 0 可得0 所以Sn 1 得到c1时 S2 2 2c不可能成立 当2 得qnlogq 2q 1 因为1 即当n logq 2q 1 时 Sn 2 所以Sn1 c 则当n lo 1 c 时 Sn2总成立 q的取值范围 为 方法归纳 此类问题往往结合整数方程 函数的性质等进行求解 需要在理解题意的基础上不断地尝试探索 往往是从特殊到一般寻找规律 会使用到列举法 特殊值法 代入验证等方法 总之 我们必须仔细审题 合情推理 恰当转化 透过现象看本质 3 1 2018江苏海安高级中学高三月考 已知数列 an 中 首项a1 1 a2 a an 1 k an an 2 对任意正整数n都成立 数列 an 的前n项和为Sn 1 若k 且S18 171 求实数a的值 2 是否存在实数k 使数列 an 是公比不为1的等比数列 且任意相邻三项an an 1 an 2按某顺序排列后成等差数列 若存在 求出所有的k的值 若不存在 请说明理由 3 若k 求Sn 用a n表示 解析 1 当k 时 由an 1 k an an 2 得an 1 an an 2 即an 2 an 1 an 1 an 所以数列 an 为等差数列 公差为d a2 a1 a 1 数列 an 的前n项和为Sn n a 1 由S18 171得171 18 a 1 解得a 2 2 设存在k使数列 an 为等比数列 则其公比为q a an an 1 an 1 an an 2 an 1 an 1为等差中项 则2an 1 an an 2 即2an an 1 an 1 解得a 1 与已知不符 舍去 若an为等差中项 则2an an 1 an 2 即2an 1 an an 1 即a2 a 2 0 解得a 2或a 1 舍 此时由an 1 k an an 2 得an k an 1 an 1 即a k 1 a2 故k 若an 2为等差中项 则2an 2 an an 1 即2an 1 an 1 an 即2a2 a 1 0 解得a 或a 1 舍 仿 得k 综上 满足要求的实数k有且仅有一个 k 3 当k 时 an 1 an an 2 所以an 2 an 1 an 1 an 于是an 3 an 2 an 2 an 1 an 1 an 当n为偶数时 Sn a1 a2 a3 a4 a5 a6 an 1 an a1 a2 当n为奇数时 Sn a1 a2 a3 a4 a5 an 1 an a1 a2 a3 a1 a1 a2 1 a 1 n 2 当n 1时 也适合该式 所以Sn