江苏专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第17讲导数的综合应用课件.ppt

第17讲导数的综合应用 第17讲导数的综合应用1 若函数f x mxsinx m R 若对x f x 的最大值为 则实数m的取值为 答案1 解析因为f x m sinx xcosx 当m 0时 f x 在x 上递减 最大值为f 0 不符合题意 所以m 0 此时f x 在x 上递增 最大值为f m 解得m 1 符合题意 故m 1 2 已知函数f x 当x m 时 f x 的取值范围为 16 则实数m的取值范围是 答案 2 8 解析当x 0时 f x 12 3x2 3 2 x 2 x 由f x 0得x 2 且x 2 时 f x 0 f x 递增 且f 2 16 作出函数f x 的图象 由图象可得当m 2 8 时 f x 16 3 若函数f x 则函数y f x 的零点个数为 答案4 解析当x 1时 f x 则f x 由f x 0得x 当x 1 时 f x 0 f x 递增 x 时 f x 0 且x f x 0 作出函数y f x 的图象如图 由图可得y f x 有4个零点 4 设函数f x a R e为自然对数的底数 若曲线y sinx上存在一点 x0 y0 使得f f y0 y0 则a的取值范围是 答案 1 e 题型一导数与不等式的综合应用 例1 2018南京高三第三次模拟 已知函数f x 2x3 3ax2 3a 2 a 0 记f x 为f x 的导函数 1 若f x 的极大值为0 求实数a的值 2 若函数g x f x 6x 求g x 在 0 1 上取到最大值时x的值 3 若关于x的不等式f x f x 在上有解 求满足条件的正整数a的取值集合 解析 1 因为f x 2x3 3ax2 3a 2 a 0 所以f x 6x2 6ax 6x x a 令f x 0 得x 0或a 当x 0 时 f x 0 f x 单调递增 当x 0 a 时 f x 0 f x 单调递增 故f x 极大值 f 0 3a 2 0 解得a 2 g x f x 6x 2x3 3ax2 6x 3a 2 a 0 则g x 6x2 6ax 6 6 x2 ax 1 x 0 1 当0 a 2时 36 a2 4 0 所以g x 0恒成立 g x 在 0 1 上单调递增 g x 取得最大值时x的值为1 当a 2时 g x 的对称轴为x 1 且 36 a2 4 0 g 1 6 2 a 0 所以g x 在 0 1 上存在唯一零点x0 当x 0 x0 时 g x 0 g x 单调递增 当x x0 1 时 g x 2时 g x 取得最大值时x的值为 3 设h x f x f x 2x3 3 a 2 x2 6ax 3a 2 则h x 0在上有解 h x 6 x2 a 2 x a 6 因为h x 在上单调递减 所以h x h a2 0 所以h x 在上单调递减 所以h 0 即a3 3a2 6a 4 0 设t a a3 3a2 6a 4 a 0 则t a 3a2 6a 6 当a 0 1 时 t a 0 t a 单调递增 因为t 0 4 0 t 1 40 所以t a 存在一个零点n 4 5 所以t a 0的解集为 m n 故满足条件的正整数a的取值集合为 1 2 3 4 方法归纳 1 不等式恒成立与能成立问题的常用解法 分离参数后转化为函数的最值问题 不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下 通过分离参数将原问题转化为函数的最值问题 形如a f x max或a f x min 直接转化为函数的最值问题 在参数难以分离的情况下 直接转化为含参函数的最值问题 常常需要对参数进行分类讨论 2 利用导数证明不等式常见类型及解题策略 构造差函数 根据函数的导函数符号 确定差函数单调性 利用单调性得不等关系 进而证明不等式 根据条件 寻找目标函数 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大 小关系 或利用放缩 等量代换将多元函数转化为一元函数 题型二导数与函数 方程的综合应用 例2 2018江苏扬州中学高三第四次模拟 已知函数f x 1 求函数f x 的单调区间 2 当0 m 时 判断函数g x m x 0 有几个零点 并证明你的结论 3 设函数h x cx2 若函数h x 在 0 上为增函数 求实数c的取值范围 解析 1 f x 所以函数f x 的单调增区间为 0 2 单调减区间为 0 2 2 函数g x m x 0 有2个零点 证明如下 因为00 g 0 m 0 且g x 在 0 2 上单调递增且连续 得g x 在 0 2 上仅有一个零点 由 1 可得x 0时 f x f 2 即 x2 所以g m 由ex x2得 平方得 所以g0 g 0 且g x 在 2 上单调递减且连续得g x 在 2 上仅有一个零点 综上得 函数g x m x 0 有2个零点 3 记函数F x f x x x 0 下面考查F x 的符号 求导得F x 1 x 0 当x 2时F x 0恒成立 当0 x 2时 x 2 x 1 从而F x 1 1 0 F 2 0 x x0 F x 0 h x h x 因为h x 在 0 上单调递增且连续 所以h x 0在 0 x0 x0 上恒成立 当x x0时 2cx 0在 x0 上恒成立 即2c 在 x0 上恒成立 记u x x x0 则u x x x0 当x变化时 u x u x 变化情况如下表 u x min u x 极小 u 3 故2c u x min 即c 当00在 0 x0 上恒成立 综合 1 2 知 实数c的取值范围是c 核心归纳 对于函数零点的个数的相关问题 利用导数和数形结合的数学思想来求解 这类问题求解的通法 构造函数 这是解决此类题的关键点和难点 并求其定义域 求导数 得单调区间和极值点 画出函数草图 数形结合 挖掘隐含条件 确定函数图象与x轴的交点情况进而求解 题型三导数中的探索性问题 例3 2018苏锡常镇四市高三调研 二 已知函数f x x3 ax2 bx 1 a b R 1 若a2 b 0 i a 0时 求函数f x 的极值 用a表示 ii 若f x 有三个相异零点 问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列 若存在 试求出a的值 若不存在 请说明理由 2 函数f x 图象上点A处的切线l1与f x 的图象相交于另一点B 在点B处的切线为l2 直线l1 l2的斜率分别为k1 k2 且k2 4k1 求a b满足的关系式 解析 1 i 由f x 3x2 2ax b及a2 b 0 得f x 3x2 2ax a2 令f x 0 解得x 或x a 由a 0知 x a f x 0 f x 单调递增 x f x 0 f x 单调递增 因此 f x 的极大值为f a 1 a3 f x 的极小值为f 1 ii 当a 0时 b 0 此时f x x3 1不存在三个相异零点 当a 不妨设f x 的三个零点为x1 x2 x3 且x1 x2 x3 则f x1 f x2 f x3 0 f x1 a a2x1 1 0 f x2 a a2x2 1 0 f x3 a a2x3 1 0 得 x2 x1 x1x2 a x2 x1 x2 x1 a2 x2 x1 0 因为x2 x1 0 所以 x1x2 a x2 x1 a2 0 同理 x3x2 a x3 x2 a2 0 得x2 x3 x1 x3 x1 x3 x1 a x3 x1 0 因为x3 x1 0 所以x2 x3 x1 a 0 又x1 x3 2x2 所以x2 所以f 0 即a3 1 因此 存在这样的实数a 满足条件 2 设A m f m B n f n 则k1 3m2 2am b k2 3n2 2an b 又k1 m2 mn n2 a m n b 由此可得3m2 2am b m2 mn n2 a m n b 化简得n a 2m 因此 k2 3 a 2m 2 2a a 2m b 12m2 8am a2 b 所以 12m2 8am b a2 4 3m2 2am b 所以a2 3b 方法归纳 导数与函数部分的探索性问题的解题策略与其他存在性问题的解题策略相同 都是假设存在 由此通过推理 演算 根据结果确定假设是否成立 也可利用分析法 要存在 则需要什么条件 逐步探索条件是否满足