概率论与数理统计(VIII).ppt

统计学的分科 统计学的分科 按统计方法的构成 按统计方法研究和应用 描述统计学 推断统计学 理论统计学 应用统计学 统计方法 描述统计 推断统计 假设检验 数理统计不同于一般的资料统计 它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集 整理和分析 因此 数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的 概括起来可以归纳成两大类 参数估计 根据数据 对分布中的未知参数进行估计 假设检验 根据数据 对分布的未知参数的某种假设进行检验 参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式 这两种推断渗透到了数理统计的每个分支 第六章数理统计基础 基本概念三个常见分布正态总体下统计量的分布 总体 个体一个统计问题总有它明确的研究对象 总体 研究对象的全体 个体 总体中每个成员 总体的容量 总体中所包含的个体的个数 数理统计中的几个概念 总体 有限总体 无限总体 对一个总体 如果用X表示其数量指标 由于每个个体的出现是随机的 所以相应的数量指标的出现也带有随机性 所以 X的值对不同的个体就取不同的值 因此 如果我们随机地抽取个体 则X的值也就随着抽取个体的不同而不同 所以 X是一个随机变量 既然总体是随机变量X 自然就有其概率分布 我们把X的分布称为总体分布 总体的特性是由总体分布来刻画的 因此 常把总体和总体分布视为同义语 简单随机样本数理统计是利用样本信息 对总体进行分析 估计 推断 故要求样本应具有很好的代表性 简单随机抽样 采用独立 重复的随机抽样 而抽得的这n个个体称为一个简单随机样本 常表示为X1 X2 Xn或者 X1 X2 Xn 样本在抽样前 是一个n维随机变量X1 X2 Xn 在抽样后 是一组数据x1 x2 xn 称为样本的观测值 n为样本容量 简单随机样本的性质简单随机样本X1 X2 Xn来自于总体X 具有以下两条性质 独立性 X1 X2 Xn相互独立同分布性 X1 X2 Xn与总体X具有相同的分布 说明 当我们说到总体及样本时 既指研究对象又指它们的某项数量指标 由样本推断总体的某些情况时 需要对样本进行 加工 构造出若干个样本的已知 确定 的函数 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 把不含任何未知参数的样本的函数称为统计量 它是完全由样本所决定的量 即称样本X1 Xn的函数g X1 Xn 是总体X的一个统计量 如果g X1 Xn 不含未知参数 统计量 几个常见统计量 样本均值样本方差样本标准差 反映总体均值的信息 反映总体方差的信息 设总体为X 样本为X1 Xn 样本观测值为x1 xn 它们的观测值用相应的小写字母x1 xn表示 k 1 2 反映总体k阶矩的信息 反映总体k阶中心矩的信息 样本k阶原点矩样本k阶中心矩 几个常见统计量 它们的观测值用相应的小写字母x1 xn表示 总体均值E X 是常数 而样本均值是随机变量 是两个不同的概念 不能混淆 当然两者之间有一定的关系 同样 总体方差D X 与样本方差S2 总体矩与样本矩也是不同的概念 一些关系式 几点说明 数理统计中常用的分布除正态分布外 还有三个非常有用的连续型分布 即 数理统计的三大分布 都是连续型 它们都与正态分布有密切的联系 在本章中特别要求掌握对正态分布 2分布 t分布 F分布的一些结论的熟练运用 它们是后面各章的基础 数理统计中常用的三个分布 2分布构造 设X1 X2 Xn相互独立 且都服从标准正态分布N 0 1 则称随机变量服从自由度为n的卡方分布 记成X 2 n 反之 若X 2 n 则X可以分解成n个相互独立的标准正态随机变量的平方和 数理统计中常用的三个分布 自由度是指独立随机变量的个数 df n 图形 2分布的概率密度函数f x 曲线 2分布 图形随自由度的不同而有所改变 性质 期望与方差 若X 2 n 则E X n D X 2n可加性 若X 2 n Y 2 m 且相互独立 则X Y 2 n m 补充 设X1 X2 Xn为取自正态总体X N 2 的样本 则 2分布 分位点 设X 2 n 若对于 0 1 满足的点 2 n 为 2分布的上侧分位点 2分布 2分布的单侧分位点 2 n 2分布的双侧分位点 P a X b 1 2分布 t分布构造 若X N 0 1 Y 2 n X与Y独立 则称随机变量服从自由度为n的t分布 记成T t n 反之 若T t n 则有相互独立的X N 0 1 Y 2 n 使 数理统计中常用的三个分布 图形 t分布的概率密度函数f x 曲线 t分布 图形随自由度的不同而有所改变 性质 极限分布 即t分布的极限分布是标准正态分布期望和方差 若X t n 则E X 0 因为f x 关于y轴对称 D X 1 因为t分布的概率密度比标准正态分布的图形要平坦一些当n 45时 可用N 0 1 代替t分布 t分布 单侧分位点 设X t n 若对于 0 1 满足的点t n 为t分布的上侧分位点 t分布 双侧分位点 设X t n 若满足P a X b 1 注 t分布 F分布构造 若X 2 n1 Y 2 n2 X与Y独立 则称随机变量服从第一自由度为n1 第二自由度为n2的F分布 记成F F n1 n2 反之 若F F n1 n2 则有相互独立的X 2 n1 Y 2 n2 使 数理统计中常用的三个分布 图形 t分布的概率密度函数f x 曲线 F分布 图形随自由度的不同而有所改变 F n m 的密度曲线 单侧分位点 设X F n1 n2 若对于 0 1 满足的点F n1 n2 为F分布的上侧分位点 F分布 双侧分位点 设X F n1 n2 若满足P a X b 1 F分布 由F分布的定义 证明 由F F n1 n2 可得 得证 性质 若F F n1 n2 则 可从F分布表中查到 在通常F分布表中 只对 比较小的值 如 0 01 0 05 0 025及0 1等列出了分位点 但有时我们也需要知道 比较大的分位点 它们在F分布表中查不到 这时我们就可利用分位点的关系式把它们计算出来 F分布 例 对n1 12 n2 9 0 95 我们在F分布表中查不到F0 95 12 9 但由上式 知 单侧分位点 设X N 0 1 若对于 0 1 满足的点u 为N 0 1 的上侧分位点 双侧分位点 设X N 0 1 满足P a X b 1 正态分布的分位点 例1 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 试问下列统计量各服从什么分布 解 1 因为Xi N 0 1 i 1 2 n 所以X1 X2 N 0 2 t 2 例1 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 试问下列统计量各服从什么分布 解 2 因为Xi N 0 1 所以 t n 1 例1 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 试问下列统计量各服从什么分布 解 3 因为所以 F 3 n 3 例2 若T t n 问T2服从什么分布 解 因为T t n 可以认为 其中V 2 n U N 0 1 U2 2 1 F 1 n 一个正态总体下的三个统计量的分布 设总体为X N 2 样本为X1 Xn 样本均值和样本方差为 证明 是n个独立的正态随机变量的线性组合 故服从正态分布 设总体为X N 2 样本为X1 Xn定理6 1 正态总体下的统计量的分布 和 2已知 设总体为X N 2 样本为X1 Xn 则 正态总体下的统计量的分布 设总体为X N 2 样本为X1 Xn定理6 2 正态总体下的统计量的分布 从表面上看 是n个正态随机变量的平方和 但实际上它们不是独立的 它们之间有一种线性约束关系 这表明 当这n个正态随机变量中有n 1个取值给定时 剩下的一个的取值就跟着唯一确定了 故在这n项平方和中只有n 1项是独立的 所以上式的自由度是n 1 上式的自由度为什么是n 1 未知 2已知 设总体为X N 2 样本为X1 Xn定理6 2 正态总体下的统计量的分布 对比 未知 2已知 和 2已知 设总体为X N 2 样本为X1 Xn定理6 3 正态总体下的统计量的分布 证明 由定理6 1和定理6 2 且U与V独立 根据t分布的构造 得证 2未知 已知 设总体为X N 2 样本为X1 Xn定理6 3 正态总体下的统计量的分布 2未知 已知 对比 和 2已知 设总体为X N 2 样本为X1 Xn结论 一个正态总体下的统计量的分布 例 设总体X N 42 X1 X2 X10是n 10简单随机样本 S2为样本方差 已知P S2 0 1 求 解 因为n 10 n 1 9 2 42 所以 所以 14 684 小结 本讲首先介绍数理统计中三个常用的重要统计量的分布 2分布 t分布和F分布 然后以定理的形式给出了正态总体样本均值与样本方差的分布及其相关结论