数学建模的概念和方法.ppt

教师 冯弢办公室 机械楼N202Email tfeng 1 数学建模的概念和步骤 1 1 数学建模的概念1 2 数学建模的步骤1 3 一个数学建模实例1 4 数学模型的分类1 5 数学建模竞赛介绍 数学建模 简单地讲就是用数学的知识和方法去解决实际问题 一个简单的例 甲乙两地相距750公里 船从甲到乙顺水航行要30小时 从乙到甲逆水航行要50小时 问船速 水速是多少 解 设x为船速 y为水速 有 x y 30 750 x y 50 750解之x 20 y 5 1 1数学建模的概念 原型 人们在现实世界中关心 研究 或从事生产 管理的实际对象 模型 为了某个特定的目的 将原型的某一部分信息进行简化 提炼而构成的原型替代物 模型可以有很多类型 直观模型 物理模型 思维模型 数学模型等 数学模型 由数字 字母或其他数学符号组成 描述实际对象数量规律的数学公式 图形或算法注 并非所有实际问题都可通过数学建模求解 几个相关的概念 现实对象信息 数学模型 数学模型的解答 现实对象的解答 求解 演绎 解释 验证 现实对象与数学模型的关系 基于合理的假设通过数学语言来 描述实际现象 近似实际问题 建模的目的是解决实际问题 实践是检验模型好坏的唯一标准 另一个简单的例 一个笼子装有鸡和兔若干只 已知它们共有8个头和22只脚 问该笼子中有多少只鸡和多少只兔 解 设笼中有鸡x只 有兔y只 有x y 82x 4y 22解之x 5 y 3 1 2数学建模的步骤 根据问题的背景和建模的目的做出假设用字母表示要求的未知量根据已知的常识列出数学式或图形等求出数学式子的解答验证所得结果的正确性 数学建模的步骤 模型准备 模型假设 模型构成 模型验证 模型分析 模型求解 模型应用 数学建模的步骤 椅子能在不平的地面上放稳吗 把椅子往不平的地面上一放 通常只有三只脚着地 放不稳 然而只需稍挪动几次 就可以使四只脚同时着地 放稳了 使用数学的语言 解释这种现象 1 3一个数学建模实例 模型假设 1 椅子有四条腿且四条腿一样长 椅子脚与地面接触可以视为一个点 四脚连线是正方形 对椅子的假设 2 地面高度是连续变化的 沿任何方向都不出现间断 没有像台阶那样的情况 即地面可视为数学上的连续曲面 对地面的假设 3 地面相对平坦 椅子放在地面上总至少可以有三只脚同时着地 对椅子和地面之间关系的假设 模型构成 首先用变量表示 椅子的位置 正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变 于是可以用旋转角度这一变量表示 椅子的位置 图中A B C D为椅子的四只脚 坐标系原点选为椅子中心 坐标轴选为其对角线 模型构成 其次要用数学符号表示 椅脚着地 椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离不同 所以这个距离是椅子位置变量 的函数 虽然椅子有四只脚 因而有四个不同的距离 但由于正方形的对称性 只要设两个距离就行了 记f 为A C两脚与地面的距离之和 g 为B D两脚与地面的距离之和 模型构成 f A C两脚与地面的距离之和 g B D两脚与地面的距离之和 f 0 g 0 都是 的连续函数 由假设2 对任意 有f g 中至少有一个为0 由假设3 不妨设当 0时 f 0 g 0故此本问题归为证明如下数学命题 数学命题 本问题的数学模型 已知f g 都是关于 的非负连续函数 如果对任意的 都有f g 0 且f 0 0 g 0 0 则存在 0 使f 0 g 0 0 模型求解 证明 令h f g 由于h 是闭区间 0 2 上的连续函数 必存在 0 0 2 使h 0 0 即存在 0 使f 0 g 0 0 由f 0 0 g 0 0 有h 0 0 将椅子旋转90 使得对角线AC与BD互换 有f 2 0 g 2 0 因此 h 2 0 1 按变量的性质分 2 按时间变化对模型的影响分 1 4数学模型的分类 3 按模型的应用领域 或所属学科 分 人口模型 交通模型 生态模型 城镇规划模型 水资源模型 再生资源利用模型 污染模型 生物数学模型 医学数学模型 地质数学模型 数量经济学模型 数学社会学模型等 4 按建立模型的数学方法 或所属数学分支 分 初等模型 几何模型 线性代数模型 微分方程模型 图论模型 马氏链模型 运筹学模型等 5 按建模目的分 描述性模型 分析模型 预报模型 优化模型 决策模型 控制模型等 6 按对模型结构的了解程度分 白箱模型 其内在机理相当清楚的学科问题 包括力学 热学 电学等 灰箱模型 其内在机理尚不十分清楚的现象和问题 包括生态 气象 经济 交通等 黑箱模型 其内在机理 数量关系 很不清楚的现象 如生命科学 社会科学等 1983年 美国一些有识之士探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性 经过论证 争论 争取资金等过程 1985年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛 它由美国工业与应用数学学会和美国运筹学学会联合主办 从1985年起 每年举行一届 时间定为每年的二月的某个星期五到星期一举行 美国大学生数学建模竞赛欢迎其他国家的大学组队参加 因此 在某种意义上它已经是国际赛事了 1 5数学建模竞赛介绍 通过数学建模竞赛活动 提高学生运用数学理论和方法 利用文献 计算机等工具分析和解决实际问题的能力 鼓励学生踊跃参加课外科技活动 开拓知识面 丰富校园学术氛围 培养学生的创新思维 合作精神 促进学科交叉 数学建模竞赛宗旨 中国大学生数学建模竞赛 1992年中国工业与应用数学学会 CSIAM 开始组织 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办 每年9月 网址 奖励 全国一等奖 约2 全国二等奖 约7 教育部高教司和CSIAM共同签章 1999年起竞赛分为甲组 本科 乙组 高职高专组 优秀论文刊登于次年 工程数学学报 2000年前为 数学的实践与认识 内容 赛题 工程 管理中经过简化的实际问题 答卷 一篇包含问题分析 模型假设 建立 求解 通常用计算机 结果分析和检验等的论文 形式 3名大学生组队 在3天内完成的通讯比赛 可使用任何材料 图书 互联网 软件等 但不得与队外任何人讨论 包括上网讨论 宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争 标准 假设的合理性 建模的创造性 结果的正确性 表述的清晰性 数学建模竞赛内容与形式 2003 2008年数学建模竞赛题目 北京交通大学的数学建模竞赛 一年有4次 校内竞赛 每年5月下旬进行全国大学生建模竞赛 每年9月下旬进行电工数学建模竞赛 每年11月底进行美国大学生数学建模竞赛 每年2月进行 报名参赛时间 每年4月20日至5月27日 在学校的数学建模网站上报名 思考题安全渡河问题 三名商人各带一名随从乘船渡河 一只小船只能容纳二人 由他们自己划行 随从们密约 在河的任一岸 一旦随从的人数比商人多 就杀人越货 但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中 商人们怎样才能安全渡河呢 模型假设 问题已经理想化了 模型构成 xk 第k次渡河前此岸的商人数 yk 第k次渡河前此岸的随从数 xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允许状态集合 求dk D k 1 2 n 使sk S 并按转移律由s1 3 3 到达sn 1 0 0 当然n越小越好 故本问题归为求解如下数学问题 uk 第k次渡船上的商人数 vk 第k次渡船上的随从数 dk uk vk 决策 D u v u v 1 2 允许决策集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 状态转移律 模型求解 结论 共有四种最佳方案 经过11次可安全过河 此作法可进行推广 有多名商人和随从时 利用计算机编程来实现 这是一个多步决策问题