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本章内容1 1矢量代数1 2三种常用的正交曲线坐标系1 3标量场的梯度1 4矢量场的通量与散度1 5矢量场的环流和旋度1 6无旋场与无散场1 7拉普拉斯运算与格林定理1 8亥姆霍兹定理 第一章矢量分析 1 标量和矢量 矢量的大小或模 矢量的单位矢量 标量 一个只用大小描述的物理量 矢量的代数表示 1 1矢量代数 矢量 一个既有大小又有方向特性的物理量 常用黑体字母或带箭头的字母表示 矢量的几何表示 一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意 单位矢量不一定是常矢量 常矢量 大小和方向均不变的矢量 矢量用坐标分量表示 1 矢量的加减法 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线 如图所示 矢量的加减符合交换律和结合律 2 矢量的代数运算 在直角坐标系中两矢量的加法和减法 结合律 交换律 2 标量乘矢量 3 矢量的标积 点积 矢量的标积符合交换律 4 矢量的矢积 叉积 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 若 则 若 则 5 矢量的混合运算 分配律 分配律 标量三重积 矢量三重积 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系 称为正交曲线坐标系 三条正交曲线称为坐标轴 描述坐标轴的量称为坐标变量 1 2三种常用的正交曲线坐标系 1 直角坐标系 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 圆柱坐标系 圆柱坐标系中的线元 面元和体积元 2 圆柱坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 体积元 面元矢量 球坐标系 球坐标系中的线元 面元和体积元 3 球坐标系 直角坐标与圆柱坐标系 圆柱坐标与球坐标系 直角坐标与球坐标系 4 坐标单位矢量之间的关系 如果物理量是标量 称该场为标量场 例如 温度场 电位场 高度场等 如果物理量是矢量 称该场为矢量场 例如 流速场 重力场 电场 磁场等 如果场与时间无关 称为静态场 反之为时变场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应 称在该区域上定义了一个场 标量场和矢量场 1 3标量场的梯度 时变标量场和矢量场可分别表示为 从数学上看 场是定义在空间区域上的函数 静态标量场和矢量场可分别表示为 1 3标量场的梯度 1 标量场的等值面 等值面 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面 等值面方程 常数C取一系列不同的值 就得到一系列不同的等值面 形成等值面族 标量场等值面充满场所在的整个空间 标量场的等值面互不相交 等值面的特点 意义 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态 意义 方向导数表示场沿某方向的空间变化率 概念 u M 沿方向增加 u M 沿方向减小 u M 沿方向无变化 特点 方向导数既与点M0有关 也与方向有关 问题 在什么方向上变化率最大 其最大的变化率为多少 2 方向导数 梯度的表达式 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 意义 描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 概念 其中取得最大值的方向 3 标量场的梯度 gradu或 标量场的梯度是矢量场 它在空间某点的方向表示该点场变化最大 增大 的方向 其数值表示变化最大方向上场的空间变化率 标量场在某个方向上的方向导数 是梯度在该方向上的投影 梯度运算的基本公式 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面 或切平面 梯度的性质 解 1 由梯度计算公式 可求得P点的梯度为 设一标量函数 x y z x2 y2 z描述了空间标量场 求 1 该函数 在点P 1 1 1 处的梯度 以及表示该梯度方向的单位矢量 2 求该函数 沿单位矢量方向的方向导数 并以点P 1 1 1 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较 得出相应结论 例1 2 1 表征其方向的单位矢量 2 由方向导数与梯度之间的关系式可知 沿el方向的方向导数为 而该点的梯度值为 显然 梯度描述了P点处标量函数 的最大变化率 即最大的方向导数 故恒成立 对于给定的P点 上述方向导数在该点取值为 1 矢量线 意义 形象直观地描述了矢量场的空间分布状态 矢量线方程 概念 矢量线是这样的曲线 其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向 1 4矢量场的通量与散度 问题 如何定量描述矢量场的大小 引入通量的概念 通量的概念 面积元的法向单位矢量 穿过面积元的通量 如果曲面S是闭合的 则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外 矢量场对闭合曲面的通量是 2 矢量场的通量 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 有净的矢量线进入 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系 通量的物理意义 为了定量研究场与源之间的关系 需建立场空间任意点 小体积元 的通量源与矢量场 小体积元曲面的通量 的关系 利用极限方法得到这一关系 称为矢量场的散度 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限 3 矢量场的散度 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 散度的有关公式 散度的表达式 由此可知 穿出前 后两侧面的净通量值为 不失一般性 令包围P点的微体积 V为一直平行六面体 如图所示 则 直角坐标系下散度表达式的推导 根据定义 则得到直角坐标系中的散度表达式为 同理 分析穿出另两组侧面的净通量 并合成之 即得由点P穿出该六面体的净通量为 从散度的定义出发 可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分 即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系 在电磁理论中有着广泛的应用 4 散度定理 1 矢量场的环流与旋涡源 例如 流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发 存在另一类不同于通量源的矢量源 它所激发的矢量场的力线是闭合的 它对于任何闭合曲面的通量为零 但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零 1 5矢量场的环流和旋度 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比 即 上式建立了磁场的环流与电流的关系 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零 称该矢量场为无旋场 又称为保守场 矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分 即 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零 称该矢量场为有旋矢量场 能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源 电流是磁场的旋涡源 环流的概念 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系 为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系 引入矢量场的旋度 1 环流面密度 称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度 特点 其值与点M处的方向有关 过点M作一微小曲面 S 它的边界曲线记为C 曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则 当 S 0时 极限 2 矢量场的旋度 而 推导的示意图如图所示 直角坐标下旋度分量的表达式 于是 同理可得 故得 概念 矢量场在M点处的旋度为一矢量 其数值为M点的环流面密度最大值 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向 即 物理意义 旋涡源密度矢量 性质 2 矢量场的旋度 旋度的计算公式 旋度的有关公式 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式 也在电磁理论中有广泛的应用 从旋度的定义出发 可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量 即 3 斯托克斯定理 4 散度和旋度的区别 1 矢量场的源 散度源 是标量 产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于 或正比于 该封闭面内所包围的源的总和 源在一给定点的 体 密度等于 或正比于 矢量场在该点的散度 旋度源 是矢量 产生的矢量场具有涡旋性质 穿过一曲面的旋度源等于 或正比于 沿此曲面边界的闭合回路的环量 在给定点上 这种源的 面 密度等于 或正比于 矢量场在该点的旋度 1 6无旋场与无散场 1 无旋场 性质 线积分与路径无关 是保守场 仅有散度源而无旋度源的矢量场 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如 静电场 2 矢量场按源的分类 2 无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场 即 性质 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如 恒定磁场 3 无旋 无散场 源在所讨论的区域之外 4 有散 有旋场 这样的场可分解为两部分 无旋场部分和无散场部分 1 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式 圆柱坐标系 球坐标系 1 7拉普拉斯运算与格林定理 矢量拉普拉斯运算 概念 即 注意 对于非直角分量 直角坐标系中 如 设任意两个标量场 及 若在区域V中具有连续的二阶偏导数 那么 可以证明该两个标量场 及 满足下列等式 根据方向导数与梯度的关系 上式又可写成 以上两式称为标量第一格林定理 式中S为包围V的闭合曲面 为标量场 在S表面的外法线方向上的偏导数 2 格林定理 基于上式还可获得下列两式 上两式称为标量第二格林定理 格林定理说明了区域V中的场与边界S上的场之间的关系 因此 利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题 此外 格林定理反映了两种标量场之间满足的关系 因此 如果已知其中一种场的分布 即可利用格林定理求解另一种场的分布 格林定理广泛地用于电磁理论 亥姆霍兹定理 若矢量场在无限空间中处处单值 且其导数连续有界 源分布在有限区域中 则当矢量场的散度及旋度给定后 该矢量场可表示为 式中 亥姆霍兹定理表明 在无界空间区域 矢量场可由其散度及旋度确定 1 8亥姆霍兹定理 有界区域 在有界区域 矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关 还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关 TheEnd