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排列组合应用题解法综述 宁波中学王国梁 排列组合应用题解法综述 计数问题中排列组合问题是最常见的 由于其解法往往是构造性的 因此方法灵活多样 不同解法导致问题难易变化也较大 而且解题过程出现 重复 和 遗漏 的错误较难自检发现 因而对这类问题归纳总结 并把握一些常见解题模型是必要的 基本原理 组合 排列 排列数公式 组合数公式 组合数性质 应用问题 知识结构网络图 两个原理的区别与联系 做一件事或完成一项工作的方法数 直接 分类 完成 间接 分步骤 完成 做一件事 完成它可以有n类办法 第一类办法中有m1种不同的方法 第二类办法中有m2种不同的方法 第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 做一件事 完成它可以有n个步骤 做第一步中有m1种不同的方法 做第二步中有m2种不同的方法 做第n步中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 m3 mn种不同的方法 1 排列和组合的区别和联系 从n个不同元素中取出m个元素 按一定的顺序排成一列 从n个不同元素中取出m个元素 把它并成一组 所有排列的的个数 所有组合的个数 一 把握分类原理 分步原理是基础例1 北京市丰台区高三练习 如图 某电子器件是由三个电阻组成的回路 其中有6个焊接点A B C D E F 如果某个焊接点脱落 整个电路就会不通 现发现电路不通了 那么焊接点脱落的可能性共有 63种 B 64种 C 6种 D 36种 分析 由加法原理可知 由乘法原理可知2 2 2 2 2 2 1 63 小结 本题主要考查了二个原理 分类讨论的思想 以物理问题为背景 或其它背景如以英语单词 的排列 组合应用题 显得小巧有新意 练习1 北京朝阳区高三练习 在今年国家公务员录用中 某市农业局准备录用文秘人员二名 农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名 报考农业局公务人员的考生有10人 则可能出现的录用情况有 种 用数字作答 解法1 解法2 本题考查了乘法原理或先组后排 高考突出考查运算能力 排列 组合的选择填空题都要求以数字作答 同学们千万要注意 二 注意区别 恰好 与 至少 例2 云南省高考模拟试题 从6双不同颜色的手套中任取4只 其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有 A 480种 B 240种 C 180种 D 120种 种 小结 恰好有一个 是 只有一个 的意思 至少有一个 则是 有一个或一个以上 可用分类讨论法求解 它也是 没有一个 的反面 故可用 排除法 解 练习2 云南省高考模拟 从6双不同颜色的手套中任取4只 其中至少有一双同色手套的不同取法共有 种 解 三 特殊元素 或位置 优先安排 例3 西安市高考模拟试题 将5列车停在5条不同的轨道上 其中a列车不停在第一轨道上 b列车不停在第二轨道上 那么不同的停放方法有 A 120种 B 96种 C 78种 D 72种 解 练习3 北京东城区高考模拟试题 从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前 其中有两盆花不宜摆放在正中间 则一共有 种不同的摆放方法 用数字作答 解 小结 1 在 与 不在 可以相互转化 解决某些元素在某些位置上用 定位法 解决某些元素不在某些位置上一般用 间接法 或转化为 在 的问题求解 2 排列组合应用题极易出现 重 漏 现象 而重 漏 错误常发生在该不该分类 有无次序的问题上 为了更好地防 重 堵 漏 在做题时需认真分析自己做题思路 也可改变解题角度 利用一题多解核对答案 四 相邻 用 捆绑 不邻 就 插空 例4 广州市二模 七人排成一排 甲 乙两人必须相邻 且甲 乙都不与丙相邻 则不同的排法有 种960种 B 840种 C 720种 D 600种 解 另解 小结 以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体 即采用 捆绑法 以某些元素不能相邻为附加条件的 可采用 插空法 插空 有同时 插空 和有逐一 插空 并要注意条件的限定 练习4 黄冈5月高考模拟试题 某城新建的一条道路上有12只路灯 为了节省用电而不影响正常的照明 可以熄灭其中三盏灯 但两端的灯不能熄灭 也不能熄灭相邻的两盏灯 可以熄灭的方法共有 A 种 B 种 C 种 D 种 注 上题中熄灭三盏灯 改为将其中三盏灯改成红 黄 绿色灯 且它们从相邻也不在两端如何解 解 解 五 混合问题 先 组 后 排 例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品 一一进行测试 至区分出所有次品为止 若所有次品恰好在第5次测试时全部发现 则这样的测试方法有种可能 解 由题意知前5次测试恰有4次测到次品 且第5次测试是次品 故有 种可能 练习5某学习小组有5个男生3个女生 从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动 每项活动至少有1人参加 则有不同参赛方法 种 解 采用先组后排方法 小结 本题涉及一类重要问题 问题中既有元素的限制 又有排列的问题 一般是先元素 即组合 后排列 六 分清排列 组合 等分的算法区别 例6 1 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲一件 乙二件和丙三件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给三人 其中1人一件1人二件1人三件 有多少种分法 3 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 每份2件 有多少种分法 解 1 2 3 小结 排列与组合的区别在于元素是否有序 m等分的组合问题是非等分情况的 而元素相同时又要另行考虑 练习6 1 今有10件不同奖品 从中选6件分成三份 二份各1件 另一份4件 有多少种分法 2 今有10件不同奖品 从中选6件分给甲乙丙三人 每人二件有多少种分法 解 1 2 七 分类组合 隔板处理 例7从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛 每校至少有1人 这样有几种选法 分析 问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子 盒子不能空的 有几种放法 这类问可用 隔板法 处理 解 采用 隔板法 得 练习7某班45名学生要向希望工程捐书200本 其中30名团员每人至少捐2本 而其余15人可以不捐 若不考虑书的不同种类全班各位同学捐书有几种捐法 解 设30名团员分别捐书本 其余15人分别捐书本则 由 隔板法 知共有种不同捐法 小结 把n个相同元素分成m份每份 至少1个元素 问有多少种不同分法的问题可以采用 隔板法 得出共有种 本课回顾复习了二个计数原理和排列组合数公式 重点分析了排列组合应用题常见的几种模型 以及解决这些问题的几种典型方法 我们还另外附有一组练习题供大家课后参考 谢谢大家