连续周期信号时域采样频谱分析程序设计定稿

连续周期信号时域采样频谱分析程序设计摘要采用傅里叶级数展开方法分析已知变化规律的周期信号频谱，并探索了快速表示、计算展开系数的技巧性方法，以及对于变化规律和周期都未知的周期信号使用FFT的方法来分析周期信号频谱，使用Mathematica程序实现连续周期信号的时域采样频谱分析。关键词连续周期信号；频谱分析；傅里叶级数；快速傅里叶变换FFT；Mathematica软件Continuous periodic signal spectrum analysis in time domain sampling program designAbstract: Fourier series expansion method for analyzing the known variation of cycle signal spectrum, and explores the fast, said the expansion coefficients of tricky calculation method, and the variation of the unknown and the cycle of the periodic signal using the FFT method to analyze the cycle signal spectrum, using Mathematica program to achieve continuous periodic signals in time domain sampling spectrum analysis.Keywords: Continuous periodic signal; Spectrum Analysis; Fourier series; Fast Fourier Transform Mathematica software目 录1 引言12 已知变化规律的周期信号频谱分析方法12.1周期信号的分解12.2傅里叶级数展开条件22.3指数形式傅里叶级数22.4周期信号傅里叶级数展开的技巧性方法32.4.1平移方法32.4.2求导方法32.5已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法43 未知变化规律的周期信号的频谱分析方法43.1用FFT计算未知变化规律的周期信号的频谱的思路53.2未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法54 周期信号频谱分析的 Mathematica程序设计思路65 周期信号频谱分析的Mathematica程序应用实例66 结语8致谢8参考文献9附录A10附录B101 引言在现实生活中对于信号进行频谱分析具有重要的意义。通过对信号频谱的分析，可以得到信号的频率结构，了解信号的频率成分或系统的特征。在此基础之上，可实现对信号的跟踪控制，从而实现对系统状态的早期预测，发现潜在的危险并诊断可能发生故障的原因，对系统参数进行识别及校正。因此，频谱分析是揭示信号特征的重要方法，也是处理信号的重要手段1。对于已知变化规律的周期信号做频谱分析，可采用傅里叶级数展开方法和时域采样频谱分析方法。使用时域采样频谱分析方法时，对采样得到的数据进行快速傅里叶变换，然后利用快速傅里叶变换的数据来计算出信号的频谱的每个频率成分的振幅、频率、初相位。对于未知变化规律的周期信号做频谱分析只有唯一一种方法，即利用信号的时域采样数据取FFT来得到信号的频谱的方法2。在工程领域中，Mathematica软件是一种倍受程序开发人员青睐的语言，对于一些需要做大量数据运算处理的复杂应用Mathematica软件显得游刃有余3。2 已知变化规律的周期信号频谱分析方法2.1周期信号的分解设有周期信号，他的周期是T，角频率,它可分解为 (2.1-1)式(2.1-1)中的系数，称为傅里叶系数4。它可由式 (2.1-2)求得。为简便，式(2.1-2)的积分区间取为或。由式(2.1-2)可得傅里叶系数 n=0，1，2， (2.1-3) n=0，1，2， (2.1-4)式中T为函数的周期，为角频率。由式(2.1-3)和式(2.1-4)可见，傅里叶系数和都是n的函数，其中是n的偶函数，即；而是n的奇函数，即有.将式（2.1-1）中同频率项合并，可写成如下形式 (2.1-5)式中,n=1，2， (2.1-6)如将式（2.1-4）的形式转化为式（2.1-1）的形式，他们系数之间的关系为 n=1，2， (2.1-7)由式（2.1-6）可见，是n的偶函数，即有；而是n的奇函数，即有。傅里叶系数的这些重要性质是很有用的。2.2傅里叶级数展开条件周期信号应满足狄里赫利条件，即：（1）在其一个周期内绝对可积；（2）在其一个周期内只有有限个有限的不连续点；（3）在其一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2），（3）是必要条件但不是充分条件5。2.3指数形式傅里叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为 (式2.8)其中 (式2.9)两项的基波频率为，两项合起来称为信号的基波分量；的基波频率为2，两项合起来称为信号的2次谐波分量；的基波频率为N，两项合起来称为信号的N次谐波分量。物理含义：周期信号可以分解成不同频率虚指数之和6。2.4周期信号傅里叶级数展开的技巧性方法2.4.1平移方法有些周期信号的周期规律不明显或周期变化计算过于复杂，则可通过左右平移和增加(减小)直流增量来改变信号位置，由此可使信号由变化规律不明显信号变成奇信号或者偶信号，然后进行傅里叶级数展开时就会比较快。设已知变化规律的周期信号为，那么对该周期信号进行左右平移即，或是上下平移即进行变换的话，则可以将一个变化规律不明显或者计算过程过于复杂的信号变成一个奇信号或偶信号。变为奇信号以后，变为偶信号后，那么对于计算傅里叶级数的系数，就会简单许多。2.4.2求导方法有些周期信号的周期规律不明显或周期变化计算过于复杂，则可对其进行求导(求导只是对其一个周期求导，因为信号的所有信息在一个周期均有完全的反应)，这样就是将复杂的信号分析改变成一个周期内的函数进行分析，可以减少计算过程，若经过一次求导以后函数依旧复杂，可再次对其进行求导。给出一个周期的表达式，周期信号表达式为，对其求一次导则有转换可得：。对其求二次导则有转换可得：。2.5已知变化规律的周期连续信号频谱识别方法通过上面分析我们已经知道，对于这类信号要获得其频谱，我们只需将此周期连续信号做傅里叶级数展开7。设f (t)为一个周期连续信号，T为其周期，f1=1/T是信号的基波频率，为信号的基波角频率，则f(t)可以表示为，(n=0,1,2)。对f (t)进行傅里叶级数展开。(式2.10) 所谓周期信号的频谱，就是指周期信号可以表达成一系列正弦分量的叠加，每一个正弦成分称为其周期信号的一个频率成分，其中需要用三个实数来描述，即振幅、频率、相位。只要得到了每一个频率成分的振幅、频率、相位，那么叠加起来就是该周期函数的函数表达式，同时也可以得到任意时区上的波形8。(式2.11) (式2.12) (式2.13)(式2.14)通过上面推导即可计算已知变化规律的周期连续信号的频谱和振幅，从而画出相应信号f(t)的幅频特性杆状图。同时也可以对已知变化规律的周期信号分析其频谱时，也可以采用时域采用方法，即对周期信号的一个周期的时区上进行采样，利用采样数据的快速傅里叶变换再来计算每个频率成分的振幅、频率、初相位，也可以得到周期信号的频谱。3 未知变化规律的周期信号的频谱分析方法对于未知变化规律的周期信号，首先可以确定信号是周期信号，虽然其周期和变化规律均不知道，但是其周期是客观存在的，可以使用设备对其进行测量的。因为信号的周期不知道，所以不能采用傅里叶级数展开的方法，只能利用信号时域采样的数据取FFT来得信号其频谱的方法。由于周期信号理论上用无穷个频率成分，进行时域采样就不能满足采样定理，即周期信号的采样频率必须大于信号最高频率的二倍，表达式为。但是周期信号的高频成分的振幅都非常小，从级数层面上讲是可以忽略不计的，这样就可以把周期信号的最高频率堪称是有限的，只有这样才能使用时域采样的方法进行频谱分析9。3.1用FFT计算未知变化规律的周期信号的频谱的思路利用FFT对连续时间未知变化规律的周期信号进行频谱分析其实是一个对信号进行逐级近似的过程：(1) 选取尽可能小的采样周期与尽可能宽的采样时区；(2) 选取尽可能多的采样数据点，对信号进行采样。(3) 画采样数据的波形图，初步判断它的周期，并用数学手段找出其精确周期。(4) 按照第三步得到的信号周期计算出一个周期的采样数据量，并截出这些数据。(5) 对选取的数据做快速傅里叶变换。(6) 利用采样数据的快速傅里叶变换的结果计算信号的频率成分的振幅、频率、初相位，从而得到周期信号的频谱。3.2未知变化规律的周期连续信号频谱识别方法未知变化规律的周期连续信号通常是通过对信号采样，然后分析采样信号的频谱来获得连续信号的频谱，这种做法首先要满足采样定理。为了使实际信号在采样后能够不失真的再现，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。其次，为获得连续信号的频谱，要对采样数据进行离散傅里叶变换(DFT)来获得离散信号的频谱10。我们假设周期连续信号采样得到的序列为x(n)，设x(n)为有限长序列，长度为N，但它取自周期信号，我们可以认为在采样参数选择恰当时，对它进行周期延拓所得周期序列的最小周期与被采样信号的周期是一致的。通过采样定理的学习我们得知采样信号的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，所以我们只需要对一个采样周期进行研究便可得到信号的全部信息。现在我们取定采样序列x(n)，长度为N(称为一个主值区间)对它进行频谱分析即可。对x(n)取DFT，计算过程如下：具体计算步骤如下： (式2.11) (式2.11)式中是待采样得周期连续信号，T是采样周期，是采样后的有限长离散序列，与是等同的。由上式可知有限长离散信号频谱的采样是由其连续频谱经过采样得到的。由此得DTFT是计算离散序列的频谱函数的，而DFT则是计算离散序列频谱的采样的。4 周期信号频谱分析的 Mathematica程序设计思路首先定义一个周期信号，给出采样时间和采样点，画出信号在一个周期的波形图（周期信号的所有信息在一个周期内均有表达），然后对这一个周期进行频谱分析11。（1）选择合适的采样间隔和合理的采样数据总量，对信号进行采样。（2）对信号进行采样，记录测量的时间点和测量的值（3）计算信号的周期，采样数据话波形图，观察获取周期（4）截取一个周期的采样数据量，做FFT（5）利用变换的结果，计算前m个频率成分的振幅、频率、相位。并筛选大振幅的频率成分。（6）验证。利用保留的频率成分重新在时域里构造一个多频率正弦信号叠加的函数关系，然后画出波形图。在和采样数据画出的波形图进行比对。如果符合，那么频谱分析的结论就是可靠的。 程序见附录A5 周期信号频谱分析的Mathematica程序应用实例利用Mathematica软件对图5.1周期信号进行频谱分析。图5.1 信号图形利用Mathematica软件编程，程序见附录B。运行程序可得出以下结论：信号采样图：图5.2 信号采样图频点、振幅、相位分别为表5.1 周期信号的前四个频率成分的频率、振幅、相位fof1f2f3频率0100020003000振幅3.4372.027090.5072730.225826相位03.14159-3.14159-3.14159振幅频谱图：图5.3 振幅频谱图相频图：图5.4 相频图信号波形图与采样图叠加：图5.5 信号波形图和采样图叠加6 结语本次毕业设计至此已经接近尾声，在这几个月的时间里，我通过利用Mathematica强大的数据运算功能以及图像处理功能对于连续时间周期信号的频谱分析进行深入的研究。在整个设计过程中，我首先对于所学的基础信号知识进行温习巩固，比如傅立叶级数、时域采样、信号频谱分析等；其次，整个实现过程是通过Mathematica软件完成的，Mathematica的处理运算功能十分强大，具有良好的设计平台，在此次设计过程中，我熟练了Mathematica的编程方法，掌握了很多函数的表示含义及使用方法；Mathematica软件数学实现方法特别的强，并且内容丰富，操作简便。最后，通过此次毕业设计，我对设计所用到的软件有了更加深刻的认识， Mathematica不仅在数值计算方面的功能十分强大，而且其图形仿真功能能够满足各个领域的需要，因此Mathematica已经成为我们工作学习中不可或缺的软件。由于Mathematica软件是专业性较强的软件，所以刚开始使用是比较困难的，通过老师的指导、翻阅了大量的相关资料，不能说已经通悟了Mathematica应用，但是对一些基本知识还是有所了解的，在学习的过程中学习的过程中我们进一步对Mathematica编程中的常用语句、过程已经初步掌握。这次毕业设计，使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。这次课程设计终于顺利完成，在设计中遇到的运行和调试问题，最后在老师的耐心指导下，终于游逆而解。在以后的学习过程中我要不段的学习，不断丰富自己的知识。致谢在此，对毕业设计中给予我无私帮助和指导的龙姝明老师以及帮助过我的同学表示衷心的感谢。 在此期间，老师不断的向我们传授分析问题和解决问题的办法，并指出了正确的努力方向，同时，还为我们提供专门的场所，才是我们有优越的硬件条件和充裕的时间。是龙姝明老师自始至终的热心指导和督促，我才能能够完成本次毕业设计。 同时，身边的同学给了我许多的帮助。在此，我向身边关心我的同学致以诚挚的谢意！另外，系里的领导和老师也给了我们必要的指导，我也向系和年级的领导们表示衷心的感谢！最后感谢学院对我这几年的培养。参考文献1 倪铭.浅谈频谱分析J.淮南职业技术学院学报.2007:50-52.2 高晓燕,刘晓燕.高职信号与系统教学研究J.中国教育技术装备,2009,14: 25-27.3 尹继武,龙姝明.基于Mathematica程序的正弦阶梯波频谱分析J.四川师范大学学报(自然科学版),2006,03:376-378.4 杨林耀,张永瑞,王松林,郭宝龙.信号与线性系统分析M. 高等教育出版社,2011.77-78.5 张睿. “信号与系统”辅导课的教学研究与实践J.合肥工业大学学报(社会科学版),2010,03:156-158.6 张锐,袁丽英.信号与系统课程中对周期信号频谱分析的理解J.高等函授学报(自然科学版),2012,02:30-32.7 刘志松.基于小波分析的信号去噪方法J.浙江海洋学院学报 (自然科版 ),2011:150-154.8 杨宇,贾永兴. “信号与系统”周期信号频谱的教学分析J. 中国电力教育,2013,32:146-149.9 龙姝明,朱杰武.数学物理方法M. 陕西:陕西人民教育出版社,2002:61-6410 李昌利,沈玉利. “信号与系统”课程教学中的几点思考J. 高教论坛,2008,03:122-123.11 孙云龙,张卫东;深入Mathematica编程J.淄博学院学报(自然科学与工程版),.2000,02:29-31.12 Oppenheim, Alan V. Signals and SystemsM.Prentice Hall,2011.199-201.13 Fei yuejun,Research progress of the fractional Fourier transform in signal processing J. Science in China,2006,49:12-13.附录Axt_ = 5 Cos100t +/4 + 2 Cos300t -/8 + 0.5 Cos500t;Ts = 0.001; fs = 1/Ts; n = 1000;ts = Range0, n - 1*Ts; xn = xts; p1=ListPlotTransposets, xn20 ; 42, Joined - True n = 20; T = n*Ts; yn = xn1 ; 20; Y = 2 Fourieryn, FourierParameters - -1, -1; Y1 /= 2; AY = AbsY1 ; n/2; Am = MaxAY; th = 0.08; F = Range0, Floorn/2 - 1*fs/n; data1 = TransposeF, AY; data2 = TransposeAY, F, ArgY1 ; n/2; ListPlotdata1, Filling - Axis sp = Selectdata2, #1 th*Am & / Chop附录BClearf*,t*,u,s,T,Ts,L;ut_=UnitStept;T=0.001;q=5;Ts=0.00001;L=RoundT/Ts;st_=(4q/T)(t(ut-ut-T/8)+(t/2+T/16)(ut-T/8-ut-3T/8)+(T/4)(ut-3T/8-ut-5T/8)+(9T/16-t/2)(ut-5T/8-ut-7T/8)+(T-t)(ut-7T/8-ut-T);ts=Range0,L-1*Ts;sn=sts;data=Transposets,sn;p1=ListPlotdata,AspectRatio1/3,AxesLabelt,ladder(t)S=2*Fouriersn,FourierParameters-1,-1;S1/=2;A=AbsS1;(L/2)/Chop;Printf0,f1,f2,f3=,0,1,2,3/T;PrintA0,A1,A2,A3=,A1;4;Print,=,j1;4;j=ArgS1;(L/2);ListPlotTablek/T,Ak+1,k,0,L/2-1,AspectRatio1/3,AxesLabelf/Hz,A(f),FillingAxis,PlotRangeAllListPlotTablek/T,jk+1,k,0,L/2-1,AspectRatio1/3,AxesLabelf/Hz,j(f),FillingAxissct_=SumAk+1Cos2p*(k/T)*t+jk+1,k,0,40;p2=Plotsct,t,-3T,5T,AxesLabelt,sc(t),AspectRatio1/3,PlotRangeAll,PlotStyleRedShowp2,p1附录：外文翻译-模拟滤波器第 14 页共 10 页