九年级数学上册 第二十七章 相似课件 （新版）新人教版.ppt

第二十七章相似 27 1图形的相似 课前预习1 下列各组图形中 能够相似的一组图形是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 下列说法正确的是 A 所有的平行四边形都相似B 所有的矩形都相似C 所有的菱形都相似D 所有的正方形都相似 B D 3 下列各组中的四条线段a b c d成比例的是 A a b 3 c 2 d B a 4 b 6 c 5 d 10C a 2 b c d D a 2 b 3 c 4 d 14 已知2x 3y 则 5 如上图所示 两个四边形相似 求的值 C 解 四边形ABCD与四边形A B C D 相似 B B 60 D D 95 A B C D 360 360 125 60 95 80 课堂精讲知识点1图形相似的定义定义 我们把形状相同的图形叫做相似图形 1 两个图形相似 其中一个图形可以看做是由另一个图形放大或缩小得到的 2 全等图形可以看成是一种特殊的相似图形 即不仅形状相同 大小也相同 3 判断两个图形是否相似 就是看两个图形是不是相同 与图形的大小 位置无关 这也是相似图形的本质 例1 下列图形不是相似图形的是 A 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案 C 某人的侧身照片和正面照片D 大小不同的两张同版本中国地图 解析 依据图形相似的定义 某人的侧身照片和正面照片是两个不同角度的照片 它们的形状不同 因此不是相似图形 答案 C 变式拓展1 如图 下面右边的四个图形中 与左边的图形相似的是 C 知识点2线段成比例 注意 在 b c时 我们把b叫做a d的比例中项 此时b2 ad 例2 已知线段a b c d成比例线段 其中a 2m b 4m c 5m 则d A 1mB 10mC mD m 解析 根据比例线段的定义得到a b c d 然后把a 2m b 4m c 5m代入进行计算即可 线段a b c d是成比例线段 a b c d而a 2m b 4m c 5m d 10m答案 B 例3 已知 0 求代数式的值 解析 根据两内项之积等于两外项之积用表示出2 然后代入比例式进行计算即可得解 解 0 2b 3a 变式拓展2 下列各组线段中 成比例的是 A 5cm 6cm 7cm 8cmB 3cm 6cm 2cm 5cmC 2cm 4cm 6cm 8cmD 12cm 8cm 15cm 10cm D 3 2014秋 松江区校级期中 已知 求的值 解 由 得 则 知识点3相似多边形及其性质定义 两个边数相同的多边形 如果它们的角分别相等 边成比例 那么这两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比 性质 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 注意 1 仅有角相等 或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似 2 相似比的值与两个多边形的前后顺序有关 例3 如图 四边形ABCD和四边形EFGH相似 求 的大小和EH的长度 解析 观察图形 根据相似多边形的对应角相等可得出 B 83 D H 118 再根据四边形的内角和等于360 可计算求出的大小 然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度 解 四边形ABCD和四边形EFGH相似 B 83 D H 118 360 83 78 118 81 EH AD HG DC EH 28 cm 答 83 81 EH 28cm 变式拓展4 如图所示的两个五边形相似 求未知边的长度 解 因为相似五边形对应边成比例 所以 解得 3 4 5 4 6 随堂检测1 2013秋 涉县校级期中 下列图形中 属于相似图形的是 A B C D 2 2014 江北区模拟 下面给出了一些关于相似的命题 其中真命题有 1 菱形都相似 2 等腰直角三角形都相似 3 正方形都相似 4 矩形都相似 5 正六边形都相似 A 1个B 2个C 3个D 4个 D C 3 2014秋 黔东南州期末 如果 那么的值是 A B C D 4 如果在比例尺为1 1000000的地图上 A B两地的图上距离是3 4厘米 那么A B两地的实际距离是千米 5 如图 若两个多边形相似 则x C 34 31 5 27 2相似三角形27 2 1相似三角形的判定 1 课前预习1 2015 三亚三模 如图所示 在 ABC中 DE BC 若AD 1 DB 2 则的值为 A B C D 2 如图 已知AB CD AD与BC相交于点O AO DO 1 2 那么下列式子正确的是 A BO BC 1 2B CD AB 2 1C CO BC 1 2D AD DO 3 1 C B 3 如图 已知D E分别是 ABC的边BC和AC上的点 AE 2 CE 3 要使DE AB 那么BC CD应等于 课堂精讲知识点1相似三角形的认识 例1 2015 宝山区一模 已知 ABC的三边之比为2 3 4 若 DEF与 ABC相似 且 DEF的最大边长为20 则 DEF的周长为 解析 根据相似三角形的性质可求得 DEF的三边比 再结合条件可分别求得 DEF的三边长 可求得答案 解 DEF ABC ABC的三边之比为2 3 4 DEF的三边之比为2 3 4又 DEF的最大边长为20 DEF的另外两边分别为10 15 DEF的周长为10 15 20 45答案 45 变式拓展1 如图所示 已知 ABC ADE 则 ABC ADE 且 A ACB A AED 知识点2平行线分线段成比例 1 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 如图所示 直线 被 所截 那么 注意 对应线段是指两条平行线所截的线段 如AB与DE是对应线段 BC与EF是对应线段 AC与DF是对应线段 对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比 等于另一条直线上与它们对应的线段的比 2 平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 如图所示 若DE BC 则有 例2 2015 宝山区一模 如图 ABC中 D E分别为边AB AC上的点 且DE BC 下列判断错误的是 A B C D 解析 如图 证明 ADE ABC 得到 证明 即可解决问题 DE BC ADE ABC C D正确 DE BC 答案 B 变式拓展2 已知在 ABC中 点D E F分别在边AB AC和BC上 且DE BC DF AC 那么下列比例式中 正确的是 A B C D B 随堂检测1 2014重庆 如图所示 相似比为1 2 若BC 1 则EF的长为 A 1B 2C 3D 4 B 2 2015 黄浦区一模 在 ABC中 点D E分别在AB AC上 如果AD 2 BD 3 那么由下列条件能够判定DE BC的是 A B C D 3 如图 如果 则下列各式不正确的是 A B C D 4 如图 在 ABC中 第3题点D E分别在边AB AC上 DE BC 已知AE 6 则EC的长是 第4题 D B 8 5 如下图所示 已知 ABC ADE AD 8cm BD 4cm BC 15cm EC 7cm 1 求DE AE的长 2 你还发现哪些线段成比例 解 1 ABC ADE AD 8cm BD 4cm BC 15cm EC 7cm设DE xcm 则 12x 8 15 x 10 设AE acm 则 a 14 2 27 2 2相似三角形的判定 2 课前预习1 如图所示 已知DE FG BC 则图中相似三角形共有 A 4对B 3对C 2对D 1对2 如图 在大小为4 4的正方形网格中 是相似三角形的是 A 和 B 和 C 和 D 和 B C 3 如图 在 ABC中 DE BC 求证 ADE ABC 证明 DE BC B ADF C AED ABC ADE 课堂精讲知识点1相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 因为DE BC 所以图中 ABC ADE 注意 平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交 所构成的三角形与原三角形也相似 在用此定理判定两个三角形相似时 只需DE BC这一条件就能确定 ABC ADE 不必再用定义进行判定 其推理形式 DE BC ABC ADE 例1 如图所示 已知在中 E为AB延长线上的一点 AB 3BE DE与BC相交于点F 请找出图中各对相似三角形 并求出相应的相似比 解析 由可知AB CD AD BC 再根据平行线找相似三角形 解 四边形ABCD是平行四边形 AB CD AD BC BEF CDF BEF AED BEF CDF AED 当 BEF CDF时 相似比 当 BEF AED时 相似比 当 CDF AED时 相似比 变式拓展1 如图 E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点 连接AE交CD于F 求证 AFD EFC 证明 E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点 连接AE交CD于F AD CE AFD EFC 知识点2相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似 这种判定方法是常用的判定方法 也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等 就可判定这两个三角形相似 如图所示 如果 那么 ABC DEF 注意 在两个直角三角形中 若斜边的比等于一组直角边的比 则这两个直角三角形相似 例2 2015 茂名校级一模 如图 小正方形的边长均为1 则下列图中的三角形 阴影部分 与 ABC相似的是 A B C D 解析 根据网格中的数据求出AB AC BC的长 求出三边之比 利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可 根据题意得 AB AC BC 2 AC BC AB 2 1 A 三边之比为1 图中的三角形 阴影部分 与 ABC不相似 B 三边之比为 3 图中的三角形 阴影部分 与 ABC不相似 C 三边之比为1 图中的三角形 阴影部分 与 ABC相似 D 三边之比为2 图中的三角形 阴影部分 与 ABC不相似 答案 C 变式拓展2 下列4 4的正方形网格中 小正方形的边长均为1 三角形的顶点都在格点上 则与 ABC相似的三角形所在的网格图形是图 随堂检测1 如图 ABCD中 E是AD延长线上一点 BE交AC于点F 交DC于点G 则下列结论中错误的是 A ABE DGEB CGB DGEC BCF EAFD ACD GCF D 2 2014 邵阳 如图 在ABCD中 F是BC上的一点 直线DF与AB的延长线相交于点E BP DF 且与AD相交于点P 请从图中找出一组相似的三角形 3 如图 在 ABC中 AB 8 AC 6 D是AB边上的一点 当AD 时 ABC ACD 4 如图 在边长为1的正方形网格中有点P A B C 则图中所形成的三角形中 相似的三角形是 ABP AED 4 5 APB CPA 5 如图 已知 ABC中 D为边AC上一点 P为边AB上一点 AB 12 AC 8 AD 6 当AP的长度为时 ADP和 ABC相似 4或9 27 2 3相似三角形的判定 3 课前预习1 如图 在 ABC中 点D在AB上 下列条件能使 BCD和 ABC相似的是 A ACD BB ADC BDCC AC2 AD ABD BC2 BD BA2 如图 无法保证 ADE与 ABC相似的条件是 A 1 CB A CC 2 BD 3 如图 D为 ABC的边AB上的点 请补充一个条件 使 ADC ACB D B ADC ACB 4 已知40 和50 分别为两个直角三角形中的一个锐角 这两个直角三角形 选填 是 或 不是 相似的 是 课堂精讲知识点1相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图所示 在 ABC与 DEF中 B E 可判定 ABC DEF 注意在利用该方法时 相等的角必须是已知两对应边的夹角 才能使这两个三角形相似 不要错误地认为是任意一角对应相等 两个三角形就相似 注意 在两个直角三角形中 若两组直角边的比相等 则这两个直角三角形相似 例1 如图 在正方形ABCD中 E为边AD的中点 点F在边CD上 且CF 3FD ABE与 DEF相似吗 为什么 解析 先根据正方形的性质得 A D 90 AB AD CD 设AB AD CD 4a 利用E为边AD的中点 CF 3FD 得到AE DE 2a DF a 则可计算出 2 加上 A D 于是根据相似三角形的判定方法即可得到 ABE DEF 解 ABE与 DEF相似 理由如下 四边形ABCD为正方形 A D 90 AB AD CD设AB AD CD 4a E为边AD的中点 CF 3FD AE DE 2a DF a 2 2 而 A D ABE DEF 变式拓展1 已知 如图 在 ABC中 C 90 点D E分别AB CB延长线上的点 CE 9 AD 15 连接DE 若BC 6 AC 8 求证 ABC DBE 证明 在RT ABC中 C 90 BC 6 AC 8 AB 10 DB AD AB 15 10 5 DB AB 1 2又 EB CE BC 9 6 3 EB BC 1 2 EB BC DB AB又 DBE ABC ABC DBE 知识点2相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似 如图所示 如果 A A B B 那么 ABC 注意 在两个直角三角形中 若有一个锐角对应相等 则这两个直角三角形相似 例2 如图 点D在等边 ABC的BC边上 ADE为等边三角形 DE与AC交于点F 1 证明 ABD DCF 2 除了 ABD DCF外 请写出图中其他所有的相似三角形 解析 1 利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可 2 利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可 1 证明 ABC ADE为等边三角形 B C 3 60 1 2 DFC 2 1 DFC ABD DCF 2 解 C E AFE DFC AEF DCF ABD AEF故除了 ABD DCF外 图中相似三角形还有 AEF DCF ABD AEF ABC ADE ADF ACD 变式拓展2 如上图 要使 ADB ABC 还需增添的条件是 写一个即可 ABD C 知识点3相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路 1 条件中若有平行线 可采用相似三角形基本定理 2 条件中若有一对等角 可再找一对等角或再找夹边成比例 3 条件中若有两边对应成比例 可找夹角相等 4 条件中若有一对直角 可考虑再找一对等角或证明斜边 直角边对应成比例 5 条件中若有等腰关系 可找顶角相等或一对底角相等 也可找底和腰对应成比例 例3 如图 在 ABC 点D E分别在AB AC上 连结DE并延长交BC的延长线于点F 连结DC BE 若 BDE BCE 180 请写出图中的两对相似三角形 不另外添加字母和线 并选择其中的一对进行证明 解析 由于 BDE BCE 180 BDE ADE 180 根据等角的补角相等得到 ADE BCE 加上 DAE CAB 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断ADE ACB 用同样的方法可证明 FCE FDB 解 ADE ACB FCE FDB 对 ADE ACB进行证明 BDE BCE 180 而 BDE ADE 180 ADE BCE即 ADE ACB而 DAE CAB ADE ACB 变式拓展3 如图 在平行四边形ABCD中 过点A作AE BC 垂足为E 连接DE F为线段DE上一点 且 AFE B 1 求证 ADF DEC 2 若AB 8 AD AF 求AE的长 1 证明 在ABCD中 AB CD AD BC C B 180 ADF DEC AFD AFE 180 AFE B AFD C 而在 ADF与 DEC中 AFD C ADF DEC ADF DEC 2 解 在ABCD中 CD AB 8 由 1 知 ADF DEC DE 12 在Rt ADE中 由勾股定理得AE 随堂检测1 如图所示 给出下列条件 ACD ADC ADC ACB 其中单独能够判定 ABC ACD的个数为 A 1B 2C 3D 42 已知一个三角形的两个内角分别是30 70 另一个三角形的两个内角分别是70 80 则这两个三角形 A 一定相似B 不一定相似C 一定不相似D 不能确定 B A 3 如图 在 ABC于 ADE中 要使 ABC于 ADE相似 还需要添加一个条件 这个条件是 4 如图 ABC中 AD是 BAC的平分线 AD的垂直平分线AD交于点E 交BC的延长线于点F 试说明 ABF CAF 证明 AD是 BAC的平分线 BAD CAD 设为 EF AD 且EF平分AD AF DF ADF DAF ACF ADF DAF BAC而 AFC AFB ABF CAF B E 5 如图 在等边 ABC中 D为BC边上一点 E为AC边上一点 且 ADE 60 1 求证 ABD DCE 2 若BD 3 CE 2 求 ABC的边长 1 证明 ABC是等边三角形 BAC B C 60 CDE CED 180 C 120 ADE 60 ADB CED 180 ADE 120 ADB CED ABD DCE 2 解 设等边 ABC的边长为x则CD BC BD x 3由 1 知 ABD DCE 即解得x 9 ABC的边长为9 27 2 4相似三角形的性质 课前预习1 ABC DEF 对应边中线的比为1 2 则相似比为 对应边高的比为 2 ABC DEF 相似比为1 2 则它们的周长之比为 3 两个相似三角形对应高的比为2 1 则它们的面积比是 4 两个相似三角形对应高之比为1 2 那么他们对应中线之比为 1 2 1 2 1 2 4 1 1 2 课堂精讲知识点1性质一 相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 一般地 我们有 相似三角形对应线段的比等于相似比 例1 已知一个三角形三边长为8 6 12 另一个三角形有一条边为4 要使这两个三角形相似 则另外两边长分别为 解析 设另外两边为 题中没有指明边长为4的边与原三角形的哪条边对应 所以应分别讨论 1 若边长为4的边与边长为8的边相对应 则另两边为3和6 2 若边长为4的边与边长为6的边相对应 则另两边为和8 3 若边长为4的边与边长为12的边相对应 则另两边为和2 故三角形框架的两边长可以是3和6或和8或和2答案 3和6或和8或和2 变式拓展1 2015衡阳县一模 ABC中 AB 12 BC 18 CA 24 另一个和它相似的三角形最长的一边是36 则最短的一边是 A 27B 12C 18D 20 C 知识点2性质二 相似三角形周长的比等于相似比如果 ABC 相似比为 则 因此 所以 即 由此我们得到 相似三角形周长的比等于相似比 用类似的方法可以得到 相似多边形周长的比等于相似比 例2 两个相似三角形对应中线的比为1 4 它们的周长之差为27cm 则较大的三角形的周长为cm 解析 利用相似三角形的对应周长比等于相似比 对应中线比等于相似比即可得出 解 令较大的三角形的周长为xcm小三角形的周长为 x 27 cm由两个相似三角形对应中线的比为1 4得1 4 x 27 x 解得x 36cm答案 36 5 6 知识点3相似三角形面积的比等于相似比的平方如图 ABC 且相似比为 由性质一知 所以 所以相似三角形面积的比等于相似比的平方 用类似的方法 可以把相似多边形分成若干对相似三角形 便可以得出 相似多边形面积比等于相似比的平方 例3 两个相似三角形的周长是2 3 它们的面积之差是60cm2 那么它们的面积之和是 解析 根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比 再根据相似三角形面积的比等于相似比的平分求出面积的比 然后根据比例设出两个三角形的面积 再求解即可 解 两个相似三角形的周长是2 3 它们的相似比为2 3 面积的比为4 9设两个三角形的面积分别为4k 9k由题意得 9k 4k 60 解得k 12 两个三角形的面积分别为48cm2 108cm2 它们的面积之和是48 108 156cm2答案 156cm2 变式拓展3 两个相似三角形的相似比为2 3 它们的面积之差为25cm2 则较大三角形的面积是 A 75cm2B 65cm2C 50cm2D 45cm2 D 随堂检测1 如图 ABC中 BC 3 AC 4 若 ABC BDC 则CD A 2B C D 2 2015 海珠区一模 若 ABC DEF 且AB DE 1 3 则S ABC S DEF A 1 3B 1 9C 1 3D 1 1 5 B B 3 2015 江都市一模 如图 ABC中 点D在线段BC上 且 ABC DBA 则下列结论一定正确的是 A AB2 BC BDB AB2 AC BDC AB AD BC BDD AB AC BD BC4 如果两个相似三角形的对应边之比是3 7 其中一个三角形的一条角平分线长为2 则另一个三角形对应角平分线的长为 5 已知 ABC A B C的对应点分别是 且 ABC的周长是25 AB 5 4 那么 的周长等于 A 或 20 6 已知 ABC 相似比为3 4 且两个三角形的面积之差为28 则 ABC的面积为 36 27 2 5相似三角形的应用 课前预习1 如图 A B两点被池塘隔开 在AB外取一点C 连结AC BC 在AC上取点E 使AE 3EC 作EF AB交BC于点F 量得EF 6m 则AB的长为 A 30mB 24mC 18mD 12m第1题第2题2 如图 铁路道口的栏杆短臂长1m 长臂长16m 当短臂端点下降0 5m时 长臂端点升高 杆的宽度忽略不计 A 4mB 6mC 8mD 12m B C 3 小明身高是1 5米 他的影长是2米 同一时刻一电线杆的影长是20米 则电线杆的高度是米 4 已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm 使烛焰的像A B 是烛焰AB的2倍 则蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛cm的地方 15 12 课堂精讲知识点1利用相似测量高度 例1 如图所示 某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F 电视塔顶端E在同一直线上 已知此人眼睛距地面1 6m 标杆为3 2m 且BC 1m CD 19m 求电视塔的高ED 解析 此题考查了相似三角形的性质 通过构造相似三角形 利用相似三角形对应边成比例解答即可 解 过A点作AH ED 交FC于G 交ED于H 由题意可得 AFG AEH 即解得EH 32m ED 32 1 6 33 6m 变式拓展1 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度 如图 在水平地面点E处放一面平面镜 镜子与教学大楼的距离AE 20米 当她与镜子的距离CE 2 5米时 她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B 已知她的眼睛距地面高度DC 1 6米 请你帮助小红测量出大楼AB的高度 注 入射角 反射角 解 根据反射定律知 FEB FED BEA DEC BAE DCE 90 BAE DCE CE 2 5米 DC 1 6米 AB 12 8 大楼AB的高为12 8米 知识点2利用相似比测量宽度 解析 首先根据题意画出图形 可通过两步相似来判断她的做法是否正确 由 CGH CBA 得到CG HG CB AB的比例关系 根据 CEF CBA 得到CE EF CB BA的比例关系 两式相加 利用BE CG的条件即可判断出所求的结论是否正确 例2 如图 张雨同学想出了一个测量池塘两端A B长度的方法 过点A B引两条直线AC BC相交于点C 在BC上取点E G 使BE CG 再别分别过点E G作EF AB GH AB交AC于点F H 测得EF 11m GH 5m 她就得出了结论 池塘的宽AB为16m 你认为她说的对吗 请说明理由 解 我认为她说的对 理由如下 如图 BE CG GH 5m EF 11m 根据题意可知 CHG CAB CFE CAB 则有 设BE CG BC 得 两式相加 得 即AB 16m 所以她的做法是正确的 变式拓展2 夹文件或试卷用的铁夹子在常态下的侧面示意图如图所示 它是轴对称图形 AC BC表示铁夹子的两个面 点O是轴 OD AC于点D 已知OD 10mm OC 26mm AD 15mm 求A B之间的距离 解 如图 连接AB 与CO的延长线交于点E 夹子是轴对称图形 对称轴是CE A B为一组对称点 CE AB AE EB 在Rt AEC Rt ODC中 AEC ODC 90 OCD是公共角 Rt AEC Rt ODC 又 DC 24 AC AD DC 39 AE 15 AB 2AE 30 mm 随堂检测1 某同学想利用影长测量学校旗杆的高度 如图 他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1 2米 同时旗杆的投影一部分在地面上 另一部分在某一建筑的墙上 分别测得其长度为9 6米和2米 则学校旗杆的高度为 米 A 2B 11 6C 1 2D 10 D B 80 4 要测量河两岸相对的两点A B间的距离 先从B处出发 向与AB成90 角的方向走50m到C处 在C处立一根标杆 然后方向不变地继续朝前走10m到D处 在D处转90 沿DE方向再走17m 到达E处 使A 目标物 C 标杆 与E在同一直线上 如图 那么据此可测得A B间的距离是m 25 27 3位似 课前预习1 在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形 其中位似图形的个数为 A 1个B 2个C 3个D 4个2 如图 正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的 若AB FG 2 3 则下列结论正确的是 A 2DE 3MNB 3DE 2MNC 3 A 2 FD 2 A 3 F C B A C 课堂精讲知识点1位似图形的定义两个图形不仅相似 而且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行或在同一条直线上 像这样的两个图形叫做位似图形 这点叫做位似中心 这时我们说这两个图形关于这点位似 注意 位似图形一定是相似图形 而相似图形不一定是位似图形 相似图形成为位似图形必须具备两个条件 一是对应点的连线交于一点 二是对应边互相平行或在同一条直线上 两个位似图形的位似中心只有一个 位似中心可以在两图形内部 两图形之间 也可以在两图形的同一侧 例1 如图 指出下列各图中的两个图形是否属于位似图形 如果是位似图形 请指出其位似中心 解析 利用位似图形的定义 如果两个图形不仅是相似图形 而且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 进而判断得出即可 解 是位似图形 位似中心是A 是位似图形 位似中心是P 不是位似图形 是位似图形 位似中心是O 不是位似图形 变式拓展1 下列关于位似图形的表述 相似图形一定是位似图形 位似图形一定是相似图形 位似图形一定有位似中心 如果两个图形是相似图形 且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点 那么 这两个图形是位似图形 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比 其中正确命题的序号是 A B C D A 知识点2位似图形的性质根据位似的概念 可得到位似图形的四个基本性质 1 位似图形对应角相等 对应边成比例 2 位似图形的对应点的连线所在的直线相交于一点 即经过位似中心 3 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上 4 位似图形上任意一对对应点 到位似中心的距离之比等于相似比 例2 如图 ABC和 A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形 若C1为OC的中点 AB 4 则A1B1的长为 A 1B 2C 4D 8 解析 根据位似变换的性质得到 B1C1 BC 再利用平行线分线段成比例定理得到 所以 然后把OC1 OC AB 4代入计算即可 解 C1为OC的中点 OC1 OC ABC和 A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形 B1C1 BC 即 A1B1 2 答案 B 变式拓展2 如图 ABC与 DEF位似 且E是OB的中点 则的值为 A B C D A 知识点3位似图形的画法利用位似 可以把一个图形放大或缩小 若相似比大于1 则通过位似变化把原图形放大 若相似比小于1 则通过位似变化把原图形缩小 画位似图形的一般步骤 确定位似中心 分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长 根据相似比 确定能代表所作位似图形的关键点 顺次连接上述各点 得到放大或缩小的图形 例3 如图 ABC的三个顶点均在格点上 且A 1 3 B 3 1 在网格内把 ABC以原点O为位似中心放大 使放大前后对应边的比为1 2 画出位似图形 A1B1C1 解析 由在网格内把 ABC以原点O为位似中心放大 使放大前后对应边的比为1 2 即可得A1 2 6 B1 6 2 C1 0 2 则可画出图形 解 如图 画出 A1B1C1 把 ABC以原点O为位似中心放大 使放大前后对应边的比为1 2 对应的坐标为 2 6 6 2 0 2 或 2 6 6 2 0 2 在网格内把 ABC以原点O为位似中心放大 A1 2 6 B1 6 2 C1 0 2 变式拓展3 如图 已知O是坐标原点 A B的坐标分别为 3 1 2 1 在y轴的左侧以O为位似中心作 OAB的位似 OCD 使新图与原图的相似比为2 1 解 如图所示 知识点4位似变换与坐标1 位似图形对应点的坐标的变化规律一般地 在平面直角坐标系中 如果以原点为位似中心 新图形与原图形的相似比为k 那么与原图形上的点 x y 对应的位似图形上的坐标 kx ky 或 kx ky 2 位似与平移 轴对称 旋转之间的联系和区别位似 平移 轴对称 旋转都是图形变化的基本形式 它们本质区别在于 平移 轴对称 旋转三种图形变化都是全等变化 而位似变化是相似 扩大 缩小或不变 变化 3 平移 轴对称 旋转 位似变化的坐标变化规律 1 平移变化 对应点的横坐标或纵坐标加上 或减去 平移的单位长度 2 轴对称变化 以x轴为对称轴 则对应点的横坐标相等 纵坐标互为相反数 以y轴为对称轴 则对应点的纵坐标相等 横坐标互为相反数 3 旋转变化 一个图形绕原点旋转180 则旋转前后两个图形对应点的横坐标和纵坐标都互为相反数 4 位似变化 当以原点为位似中心是 变换前后两个图形对应点的横坐标 纵坐标之比的绝对值等于相似比 例4 如图 方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形 我们把以格点间连线为边的三角形称为 格点三角形 图中的 ABC就是格点三角形 在建立平面直角坐标系后 点A的坐标为 1 1 1 将 ABC沿x轴向左平移3个单位 得到 A1B1C1 画出 A1B1C1 2 将 A1B1C1以B1为位似中心 以位似比1 3放大 得到 A2B1C2 画出 A2B1C2 3 写出A2 C2坐标 解析 1 利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案 2 利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出图形 3 利用 2 中所求得出对应点坐标即可 解 1 如图所示 A1B1C1即为所求 2 如图所示 A2B1C2即为所求 3 A2 4 3 C2 5 0 变式拓展4 如图 方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形 我们把以格点间连线为边的三角形称为 格点三角形 图中的 ABC就是格点三角形 在建立平面直角坐标系后 点B的坐标为 1 1 1 把 ABC向左平移8格后得到 A1B1C1 画出 A1B1C1的图形并写出点B1的坐标 2 把 ABC关于y轴翻折后得到 A2B2C 画出 A2B2C2的图形并写出点B2的坐标 3 把 ABC以点A为位似中心放大 使放大前后对应边长的比为1 2 画出 AB3C3 解 1 如图所示 A1B1C1即为所求 点B1的坐标为 9 0 2 如图所示 A2B2C2即为所求 点B2的坐标为 5 0 3 如图所示 AB3C3即为所求 随堂检测1 如图 线段AB的两个端点坐标分别为A 2 2 B 4 2 以原点O为位似中心 将线段AB缩小后得到线段DE 若DE 1 则端点D的坐标为 A 2 1 B 2 2 C 1 1 D 1 2 2 下列说法 位似图形一定不是全等图形 位似图形一定是相似图形 两个位似图形面积的比等于位似比的平方 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 其中正确的个数有 A 4个B 3个C 2个D 1个 C B 3 ABC和 A B C 是位似图形 且面积之比为4 1 则 ABC和 A B C 的对应边AB和A B 的比为 4 2014 营口 如图 在平面直角坐标系中 ABC的三个顶点坐标分别为A 2 1 B 1 4 C 3 2 1 画出 ABC关于y轴对称的图形 A1B1C1 并直接写出C1点坐标 2 以原点O为位似中心 位似比为1 2 在y轴的左侧 画出 ABC放大后的图形 A2B2C2 并直接写出C2点坐标 2 1 解 1 如图所示 A1B1C1 即为所求 C1点坐标为 3 2 2 如图所示 A2B2C2 即为所求 C2点坐标为 6 4 5 如图 在由边长为1的小正方形组成的网格图中有 ABC 建立平面直角坐标系后 点O的坐标是 0 0 1 以O为位似中心 作 A B C ABC 相似比为1 2 且保证 A B C 在第三象限 2 点B 的坐标为 3 若线段BC上有一点D 它的坐标为 a b 那么它的对应点D 的坐标为 2 1 解 1 如图所示 A B C 即为所求