（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课件 新人教B版必修2.ppt

1 1 2棱柱 棱锥和棱台的结构特征 第一章 1 1空间几何体 学习目标1 认识组成我们生活世界的各种各样的多面体 2 认识和把握棱柱 棱锥 棱台的几何结构特征 3 了解多面体可按哪些不同的标准分类 可以分成哪些类别 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一多面体 多面体的有关概念 1 多面体 由若干个所围成的几何体 2 多面体的相关概念 面 围成多面体的 棱 相邻的两个面的 顶点 棱和棱的 对角线 连接的两个顶点的线段 截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形 包含它的内部 3 凸多面体 把一个多面体的任意一个面延展为平面 如果其余的各面 则这样的多面体就叫做凸多面体 平面多边形 各个多边形 公共边 公共点 不在同一个面上 都在这个平面的同一侧 知识点二棱柱 1 棱柱的定义及表示 互相平行 每相邻两个面的交线 ABCDE A B C D E AC 2 棱柱的分类 1 按底面多边形的边数 3 特殊的四棱柱 知识点三棱锥 1 棱锥的定义及表示 有一个公共顶点 S ABCD S AC 多边形 2 棱锥的分类 1 按底面多边形的边数 过底面中心 且与底面垂直 正多边形 知识点四棱台 1 棱台的结构特征及分类 截面 底面 平行于 底面的平面 ABC A B C 2 特殊的棱台正棱台 由截得的棱台 正棱锥 思考辨析判断正误 1 棱柱的侧面都是平行四边形 2 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 3 夹在两个平行的平面之间 其余面都是梯形 这样的几何体一定是棱台 题型探究 例1 1 下列命题中正确的是A 棱柱的面中 至少有两个面互相平行B 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C 在平行六面体中 任意两个相对的面均互相平行 但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D 棱柱的侧面是平行四边形 但它的底面一定不是平行四边形 类型一棱柱 棱锥 棱台的有关概念 解析正四棱柱中两个相对侧面互相平行 故B错 平行六面体的任意两个相对面可作底面 故C错 棱柱的底面可以是平行四边形 故D错 答案 解析 2 下列说法正确的序号是 棱锥的侧面不一定是三角形 棱锥的各侧棱长一定相等 棱台的各侧棱的延长线交于一点 有两个面互相平行且相似 其余各面都是梯形 则此几何体是棱台 解析棱锥的侧面是有公共顶点的三角形 但是各侧棱不一定相等 故 不正确 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的 故各个侧棱的延长线一定交于一点 正确 棱台的各条侧棱必须交于一点 故 不正确 答案 解析 反思与感悟棱柱 棱锥 棱台的结构特征 1 棱柱有两个主要结构特征 一是有两个面互相平行 二是各侧棱都平行 各侧面都是平行四边形 2 棱锥有两个主要结构特征 一是有一个面是多边形 二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形 3 棱台的上 下底面平行且相似 各侧棱延长交于一点 跟踪训练1 1 下列命题 各侧面为矩形的棱柱是长方体 直四棱柱是长方体 侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱 各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱 其中正确的是 填序号 解析 中一定为直棱柱但不一定是长方体 直四棱柱的底面可以是任意的四边形 不一定是矩形 符合直棱柱的定义 中的棱柱为一般直棱柱 它的底面不一定为正方形 答案 解析 2 下列命题 各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 棱锥的所有侧面可以都是直角三角形 四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形 棱台的侧棱长都相等 其中正确的命题有 填序号 答案 解析 解析在四棱锥P ABCD中 PA PB PC PD 底面ABCD为矩形 但不一定是正方形 这样的棱锥就不是正四棱锥 因此 错误 底面是正多边形 但侧棱长不一定都相等 这样的棱锥也不一定是正棱锥 故 错误 在三棱锥P ABC中 PA垂直于平面ABC ABC 90 则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形 故 正确 在四棱锥P ABCD中 PA垂直于平面ABCD 四边形ABCD为矩形 故 正确 棱台的侧棱长不一定都相等 故 错误 类型二简单几何体中的计算问题 解答 解作出正三棱锥如图 SO为其高 连接AO 作OD AB于点D 则点D为AB的中点 例2正三棱锥的底面边长为3 侧棱长为 求正三棱锥的高 引申探究1 若本例条件不变 求正三棱锥的斜高 解答 解作出正三棱锥如图 取AB的中点E 连接SE 则SE为该正三棱锥的斜高 2 若将本例中 正三棱锥 改为 正四棱锥 其他条件不变 求正四棱锥的高 解答 解如图 在正四棱锥S ABCD中 AB BC CD DA 3 反思与感悟 1 正棱锥中直角三角形的应用已知正棱锥如图 以正四棱锥为例 其高为PO 底面为正方形 作PE CD于点E 则PE为斜高 斜高 侧棱构成直角三角形 如图中Rt PEC 斜高 高构成直角三角形 如图中Rt POE 侧棱 高构成直角三角形 如图中Rt POC 2 正棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图 以正四棱台为例 O1 O分别为上 下底面中心 作O1E1 B1C1于点E1 OE BC于点E 则E1E为斜高 斜高 侧棱构成直角梯形 如图中梯形E1ECC1 斜高 高构成直角梯形 如图中梯形O1E1EO 高 侧棱构成直角梯形 如图中梯形O1OCC1 跟踪训练2已知正四棱台的上 下底面面积分别为4 16 一侧面面积为12 分别求该棱台的斜高 高 侧棱长 解答 解如图 设O O分别为上 下底面的中心 即OO 为正四棱台的高 E F分别为B C BC的中点 EF B C 即EF为斜高 由上底面面积为4 上底面为正方形 可得B C 2 同理 BC 4 四边形BCC B 的面积为12 EF 4 过B 作B H BC交BC于H 则BH BF B E 2 1 1 B H EF 4 类型三多面体的展开图 解答 解沿着侧棱VA把正三棱锥V ABC展开在一个平面内 如图 则AA 的长即为截面 AEF周长的最小值 且 AVA 3 40 120 例3如图 在侧棱长为的正三棱锥V ABC中 AVB BVC CVA 40 过点A作截面 AEF 求截面 AEF周长的最小值 故截面 AEF周长的最小值为6 反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离 1 将几何体沿着某棱剪开后展开 画出其侧面展开图 2 将所求曲线问题转化为平面上的线段问题 3 结合已知条件求得结果 跟踪训练3如图所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB 2 AA1 2 由顶点B沿棱柱侧面 经过棱AA1 到达顶点C1 与AA1的交点记为M 则从点B经点M到C1的最短路线长为 解析沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开 得到一个矩形BB1B1 B 如图 由侧面展开图可知 当B M C1三点共线时 从点B经过M到达C1的路线最短 解析 答案 达标检测 答案 1 观察如图所示的四个几何体 其中判断不正确的是A 是棱柱B 不是棱锥C 不是棱锥D 是棱台 1 2 3 4 5 解析 解析结合棱柱 棱锥 棱台的定义可知 是棱柱 是棱锥 是棱台 不是棱锥 故B错误 2 下列说法中 正确的是A 有一个底面为多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体是棱锥B 用一个平面去截棱锥 棱锥底面与截面之间的部分是棱台C 棱柱的侧面都是平行四边形 而底面不是平行四边形D 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 1 2 3 4 5 答案 解析 解析B错 截面与底面平行时才能得棱台 C错 棱柱底面可能是平行四边形 D错 棱柱侧面的平行四边形不一定全等 如长方体 1 2 3 3 下列说法错误的是A 多面体至少有四个面B 九棱柱有9条侧棱 9个侧面 侧面为平行四边形C 长方体 正方体都是棱柱D 三棱柱的侧面为三角形 4 5 答案 解析 解析由于三棱柱的侧面为平行四边形 故D错 1 2 3 4 5 4 正四棱锥S ABCD的所有棱长都等于a 过不相邻的两条侧棱作截面SAC 则截面面积为 答案 解析 则有SA2 SC2 AC2 ASC 90 1 2 3 4 5 5 对棱柱而言 下列说法正确的是 填序号 有两个平面互相平行 其余各面都是平行四边形 所有的棱长都相等 棱柱中至少有2个面的形状完全相同 相邻两个面的交线叫做侧棱 答案 解析 解析 正确 根据棱柱的定义可知 错误 因为侧棱与底面上棱长不一定相等 正确 根据棱柱的特征知 棱柱中上下两个底面一定是全等的 棱柱中至少有两个面的形状完全相同 错误 因为底面和侧面的交线不是侧棱 1 在理解的基础上 要牢记棱柱 棱锥 棱台的定义 能够根据定义判断几何体的形状 2 1 各种棱柱之间的关系 棱柱的分类 规律与方法 常见的几种四棱柱之间的转化关系 2 棱柱 棱锥 棱台在结构上既有区别又有联系 具体见下表