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1 第二章应力强度因子的计算 2 计算值的几种方法 1 数学分析法 复变函数法 积分变换 2 近似计算法 边界配置法 有限元法 3 实验标定法 柔度标定法 4 实验应力分析法 光弹性法 3 2 1三种基本裂纹应力强度因子的计算 一 无限大板 型裂纹应力强度因子的计算 计算的基本公式 1 在 无限大 平板中具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上 距离处各作用一对集中力P 选取复变解析函数 4 边界条件 除去处裂纹自由表面上 如切出坐标系内的第一象限的薄平板 在轴所在截面上内力总和为P 以新坐标表示 5 2 在无限大平板中 具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上 在距离的范围内受均布载荷q作用 利用叠加原理 集中力 令 6 当整个表面受均布载荷时 3 受二向均布拉力作用的无限大平板 在轴上有一系列长度为 间距为的裂纹 单个裂纹时 7 边界条件是周期的 8 采用新坐标 当时 9 取 修正系数 大于1 表示其他裂纹存在对的影响 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多 可不考虑相互作用 按单个裂纹计算 10 二 无限大平板 型裂纹问题应力强度因子的计算 1 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式 无限大板 2 无限大平板中的周期性的裂纹 且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用 11 3 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式 无限大板 4 型周期性裂纹 12 2 2深埋裂纹的应力强度因子的计算 1950年 格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变得到椭圆表面上任意点 沿方向的张开位移为 其中 第二类椭圆积分 13 1962年 Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子 原裂纹面 14 假设 椭圆形裂纹扩展时 边缘上任一点有 均在的平面内 15 新的裂纹面仍为椭圆 长轴 短轴 原有裂纹面 扩展后裂纹面 以 代入 原有裂纹面的边缘向位移 16 17 设各边缘的法向平面为平面应变 有 当时 18 在椭圆的短轴方向上 即 有 椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当时 圆片状深埋裂纹应力强度因子 19 2 3半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算 一 表面浅裂纹的应力强度因子 欧文假设 半椭圆片状表面浅裂纹与深埋椭圆裂纹的之比等于边裂纹平板与中心裂纹平板的值之比 又有 裂纹长度 板宽度 20 当时 椭圆片状表面裂纹A处的值 21 二 表面深裂纹的应力强度因子 深裂纹 引入前后二个自由表面 使裂纹尖端的弹性约束减少 裂纹容易扩展 增大 弹性修正系数 由实验确定 一般情况下 前自由表面的修正系数 后自由表面的修正系数 22 巴里斯和薛 时 接近于单边切口试样 时 接近于半圆形的表面裂纹 利用线性内插法 利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数 板厚 裂纹深度 浅裂纹不考后自由表面的影响 23 柯巴亚希 沙 莫斯 表面深裂纹的应力强度因子 应为最深点处 24 2 4其他问题应力强度因子的计算 一 型复合问题应力强度因子的计算 复变数 取复变解析函数 取应力函数 或 满足双调和方程 25 分析第一应力不变量 对于 型复合裂纹 型 型 26 型复合裂纹在裂纹前端处的不变量 取复数形式的应力强度因子 又 27 若采用 选择满足具体问题的应力边界条件 复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式 利用这个方法可以求解很多 无限大 平板中的穿透裂纹问题 28 二 无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算 实际情况应看成有限宽板计算 必须考虑自由边界对裂纹尖端应力场和位移场的影响 在理论上得不到完全解 通过近似的简化或数值计算方法 方法 边界配置法 有限单元法等 边界配置法 将应力函数用无穷级数表达 使其满足双调和方程和边界条件 但不是满足所有的边界条件 而是在有限宽板的边界上 选足够多的点 用以确定应力函数 然后再由这样符合边界条件的应力函数确定值 边界配置法 只限于讨论直边界问题 29 1 威廉氏 Williams 应力函数和应力公式 Williams应力函数 满足双调和方程 边界条件 裂纹上 下表面 均为零 在边界上的边界条件的满足如下确定 在有限宽板的边界上选取足够的点 使这一点的边界条件满足 30 为了计算方便引入无量纲量 试件厚度 试件宽度 31 2 的计算 针对 型裂纹 当时 当时 当 1时 在乘后与无关 而当 2 3 时 在乘之后与有关 当都为零 32 3 借用无裂纹体内的边界条件求系数 取含裂纹三点弯曲试样的左半段的受力状态和不含裂纹的悬臂梁受力是一样的 取个点分析 以有限级数代替无限级数精度足够 33 对于不同的点有 其中标准试件 34 2 5确定应力强度因子的有限元法 不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的 一些实验方法解析方法都有各自的局限性 而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场 而应力和位移场与密切相关 所以 可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算 一 位移法求应力强度因子 型 35 有限元法 裂纹尖端位移 外推法 二 应力法求应力强度因子 型 有限元法 利用刚度法求应力时 应力场比位移场的精度低 因应力是位移对坐标的偏导数 36 三 间接法求应力强度因子 应变能释放率法 四 积分法 围绕裂纹尖端的闭合曲线 积分边界上的力 边界上的位移 应变能密度 线弹性问题 37 2 6叠加原理及其应用 一 的叠加原理及其应用 线弹性叠加原理 当n个载荷同时作用于某一弹性体上时 载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和 叠加原理适用于 证明 由叠加原理有 38 实例 铆钉孔边双耳裂纹 叠加原理 其中 圆孔直径 板有宽度 板宽的修正 39 有效裂纹长度 确定 无限板宽中心贯穿裂纹受集中力作用 有限板宽 40 二 应力场叠加原理及其应用 无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场 应力场叠加原理 在复杂的外界约束作用下 裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束 但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力所致的应力强度因子 41 实例 旋转叶轮 或轴 内孔端裂纹 42 1 求解无裂纹时 旋转体在无裂纹部位的内应力 由弹性力学有 为叶轮密度 为角速度 为叶轮内径 为叶轮外径 为计算点的位置 平面应力 平面应变 一般情况下 43 2 根据类比原则 比较两种情况 内孔半径一致 裂纹大小及组态一样 裂纹面上下受力一致 外边界无约束 唯一不同的是一个是有限体 一个是无限体 由于边界是自由的 44 带中心孔的无限大板 受双向拉应力时 孔边附近的应力 注意无裂纹时 由弹性力学知 3 根据叠加原理 45 2 7实际裂纹的近似处理 利用断裂力学进行安全评价时 首先确定缺陷的大小 部位和形状 偏于安全考虑 夹杂 空洞 气孔 夹杂性裂纹 裂纹应针对实际问题进行分析 一 缺陷群的相互作用 1 垂直外应力的并列裂纹 并列裂纹的作用使下降 工程上偏安全考虑 并列裂纹作为单个裂纹考虑 对于密集的缺陷群 假定它们在空间规则排列 并可把空间裂纹简化成平面裂纹 46 2 与外应力垂直的面内共线裂纹 如裂纹中心间距大于缺陷尺寸五倍以上 可做为单个裂纹处理 否则必须考虑修正 二 裂纹形状的影响 通过探伤手段 裂纹形状的影响 1 探伤结果是面积 当缺陷的面积相同时 的椭圆裂纹最大 以的椭圆裂纹分析是偏于安全的 47 2 探伤的结果是最大线尺寸 当最大直径相同时 圆裂纹的比椭圆裂纹大 以圆裂纹估算偏于安全 当缺陷长度一样时 贯穿裂纹比其它裂纹的大 以贯穿裂纹估算偏于安全 48 2 8塑性区及其修正 小范围屈服 屈服区较小时 远远小于裂纹尺寸 线弹性断裂力学仍可用 一 塑性区的形状和大小 1 屈服条件的一般形式 屈服条件 材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件 单向拉压 薄壁圆筒扭转 复杂情况 49 2 根据屈服条件确定塑性区形状大小 a 利用米塞斯 von Mises 屈服条件 当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度 材料屈服 即 对于 型裂纹的应力公式 平面应力 50 平面应力下 型裂纹前端屈服区域的边界方程 当时 平面应变 平面应变下 型裂纹前端屈服区的边界方程 当时 51 b 利用Tresca 屈雷斯加 屈服条件 在复杂受力下 当最大切应力等于材料弹性拉伸时的屈服切应力 材料即屈服 比较发现 平面应变塑性区尺寸小 平面应变处于三向拉伸状态不易屈服 平面应变的有效屈服应力比高 塑性区中的最大应力 平面应变 平面应力 52 3 应力松弛的影响 由于塑性变形引起应力松弛 应力松弛 依据 单位厚含裂纹平板 在外力作用下发生局部屈服后 其净截面的内力应当与外界平衡 塑性区尺寸增大 图中虚线所示 此曲线下的面积为 外力 53 应力松弛后 外力 屈服区内的最大应力称为有效屈服应力 又BD与CE下的面积应相等 平面应力 在平面应力条件下 考虑应力松弛 轴的屈服区扩大1倍 54 平面应变条件下 注意 上述分析没有考虑材料强化 材料强化使裂纹尖端塑性区的尺寸变小 对于设计是偏于安全的 55 二 有效裂纹尺寸 基本原理 设想裂纹的计算边界由向右移到 以便使弹性区域内按线弹性理论所获得的应力和实际应力曲线基本符合 有效裂纹尺寸 根据上述基本原理有 56 平面应力 平面应变 裂纹的计算边界正好在塑性区的中心 57 三 应力强度因子的计算 1 表达式简单的可用解析式 a 无限宽板中心穿透裂纹 线弹性 小范围屈服 平面应力 平面应变 增大因子塑性区修正因子 58 b 深埋裂纹 椭圆片状 平面应变 线弹性 小范围屈服 59 c 表面浅裂纹 形状因子 60 d 表面深裂纹 很小 令 0 212