高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.2圆锥曲线的共同特征3.4.3直线与圆锥曲线的交点课件北师大版.ppt

4 2圆锥曲线的共同特征4 3直线与圆锥曲线的交点 学课前预习学案 1 椭圆 双曲线的离心率的范围分别是什么 拋物线的离心率是多少 提示 椭圆的离心率的范围为 0 1 双曲线离心率的范围为 1 拋物线的离心率为1 2 拋物线的离心率其实就是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比 那么 对于椭圆与双曲线而言 它们的离心率是否也是曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比呢 请用具体的椭圆与双曲线验证一下 提示 椭圆与双曲线的离心率都等于曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比 1 圆锥曲线的共同特征 一个定点 一个定直线 0 e 1 e 1 e 1 强化拓展 1 三种圆锥曲线可以统一定义为平面内到定点F和到定直线l F不在直线l上 的距离比是一个常数e的点的轨迹 这个e叫做圆锥曲线的离心率 定点F叫做圆锥曲线的焦点 定直线叫做圆锥曲线的准线 2 根据离心率的范围区别曲线的类型 2 直线与圆锥曲线的位置关系有三种 和 相离时 直线与圆锥曲线 公共点 相切时 直线与圆锥曲线有 个公共点 相交时 直线与椭圆有 个公共点 而与拋物线和双曲线则可能有 个或 个交点 相离 相交 相切 没有 一 两 一 两 1 若A 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线l与双曲线的渐近线平行 或重合 当圆锥曲线是抛物线时 直线l与抛物线的对称轴平行 或重合 此时l与曲线相交于一个交点 2 若A 0 设 B2 4AC 0时 直线与圆锥曲线相交 0时 直线与圆锥曲线相切 0时 直线与圆锥曲线相离 1 已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比值为0 8 则M点的轨迹是 A 圆B 椭圆C 直线D 无法确定 解析 因为e 0 8 1 故轨迹为椭圆 答案 B 解析 因为直线过定点 1 1 而 1 1 点在椭圆内部 故直线与椭圆必相交 答案 A 答案 4 讲课堂互动讲义 思路导引 思路一 按直接法求轨迹方程的一般步骤求解 思路二 根据圆锥曲线的统一定义 先确定曲线类型 再确定是否为标准方程 用待定系数法求解 名师妙点 本题的两种解法中 第一种是一般方法 而第二种则只适用于所求方程为标准方程的情况 例如 若求到点 3 2 的距离与到直线x y 1 0的距离之比为2的点的轨迹方程 虽然根据定义可以知道该轨迹为双曲线 但很显然轨迹方程不是标准方程 因此只能用第一种方法求解 2 直线l y kx 1 抛物线C y2 4x 当k为何值时 l与C有 1 一个公共点 2 两个公共点 3 没有公共点 当k 0时 方程 是一个一元二次方程 2k 4 2 4k2 1 16 16k 当 0 即k1时 l与C没有公共点 此时直线l与C相离 综上所述 1 当k 1或k 0时 直线l与C有一个公共点 2 当k1时 直线l与C没有公共点 思路导引 解答本题先由已知条件求出双曲线的方程 再设出直线l的方程 与双曲线方程联立后 借助根与系数的关系及圆的性质求解 名师妙点 直线与圆锥曲线相交时常见问题有弦的中点问题和弦长问题 1 解决中点弦问题的方法主要有三种 通过方程组转化为一元二次方程 结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解 点差法 设出弦两端点的坐标 将两端点坐标代入方程 得到两个等式 两式相减即得弦的中点与斜率的关系 中点转移法 先设出一个端点的坐标 再借助中点坐标得出另一个端点的坐标 而后代入圆锥曲线方程进行求解 2 解决直线与圆锥曲线的弦长问题时 若易求交点坐标 则由两点间距离公式求弦长 若不易得交点坐标 可考虑用根与系数关系由弦长公式求解 错因 错因在于忽视了4 k2 0 即l与双曲线的渐近线平行时l与双曲线只有一个交点也符合题意 另外也没有考虑直线l斜率不存在的情况