中考数学 第一部分 第四章 图形的认识 第2讲 第2课时 等腰三角形与直角三角形课件.ppt

第2课时等腰三角形与直角三角形 1 理解等腰三角形的有关概念 探索并证明等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 底边上的高线 中线及顶角平分线重合 探索并掌握等腰三角形的判定定理 有两个底角相等的三角形是等腰三角形 2 探索等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于60 探索等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形 或有一个角是60 的等腰三角形 是等边三角形 3 探索并证明角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 反之 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 4 理解线段垂直平分线的概念 探索并证明线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 反之 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 5 了解直角三角形的概念 探索并掌握直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 6 探索勾股定理及其逆定理 并能运用它们解决一些简单 的实际问题 重合 续表 三 续表 续表 互余 一半 一半 等腰 边 三角形的性质与判定 例1 2015年江苏宿迁 如图4 2 23 已知AB AC AD 且AD BC 求证 C 2 D 图4 2 23 思路分析 根据等腰三角形的定义和平行线的性质得出 ABD CBD D C ABC 由此可得出结论 证明 AB AC AD C ABC D ABD ABC CBD D AD BC CBD D ABC D D 2 D 又 C ABC C 2 D 例2 2014年浙江温州 如图4 2 24 在等边 ABC中 点D E分别在边BC AC上 且DE AB 过点E作EF DE 交BC的延长线于点F 1 求 F的度数 2 若CD 2 求DF的长 图4 2 24 思路分析 1 根据平行线的性质可得 EDC B 60 根据三角形内角和定理即可求解 2 易证 EDC是等边三角形 再根据直角三角形的性质即 可求解 解 1 ABC是等边三角形 B 60 DE AB EDC B 60 EF DE DEF 90 F 90 EDC 30 2 ACB 60 EDC 60 EDC是等边三角形 ED DC 2 DEF 90 F 30 DF 2DE 4 试题精选 1 2015年湖北黄石 如图4 2 25 在等腰三角形ABC中 AB AC BD AC ABC 72 则 ABD 图4 2 25 A 36 B 54 C 18 D 64 答案 B 2 2015年江苏宿迁 若等腰三角形中有两边长分别为2和 B 12D 9或12 5 则这个三角形的周长为 A 9C 7或9答案 B 3 2015年北京 如图4 2 26 在 ABC中 AB AC AD 是BC边上的中线 BE AC于点E 求证 CBE BAD 图4 2 26 证明 AB AC AD是BC边上的中线 BE AC CBE C CAD C 90 CAD BAD CBE BAD 名师点评 解决与等腰三角形相关的计算问题时 一定要分清顶角和底角 底边和腰 适当情况下应该分类讨论 找出正确答案 证明两条线段 两个角相等的常用方法 若它们在同一个三角形中 可利用角证边或用边证角 若它们在不同的三角形中 则通过证两个三角形全等来实现 角平分线与垂直平分线 例3 2015年湖北荆州 如图4 2 27 ABC中 AB AC AB的垂直平分线交边AB于点D 交边AC于点E 若 ABC与 EBC的周长分别是40cm 24cm 则AB cm 图4 2 27 解析 DE是AB的垂直平分线 AE BE ABC的周长 AB AC BC EBC的周长 BE EC BC AE EC BC AC BC ABC的周长 EBC的周长 AB AB 40 24 16 cm 答案 16 思想方法 运用转化思想是解决本题的关键 即利用垂直 平分线的性质将 EBC的周长转化为AC BC 例4 2015年广西 如图4 2 28 在 ABC中 CD平分 ACB交AB于点D DE AC于点E DF BC于点F 且BC 4 DE 2 则 BCD的面积是 图4 2 28 解析 CD是 ACB的角平分线 DE AC DF BC DE DF 2 答案 4 易错陷阱 角平分线上的点到角的两边的距离相等 注意 必须是垂直距离 否则不成立 试题精选 4 2015年四川达州 如图4 2 29 ABC中 BD平分 ABC BC的中垂线交BC于点E 交BD于点F 连接CF 若 A 60 ABD 24 则 ACF的度数为 图4 2 29 A 48 B 36 C 30 D 24 答案 A 5 2015年山东聊城 如图4 2 30 在 ABC中 C 90 A 30 BD是 ABC的平分线 若AB 6 则点D到AB的距离是 图4 2 30 勾股定理及其应用 例5 2014年湖南湘潭 如图4 2 31 修公路遇到一座山 于是要修一条隧道 为了加快施工进度 想在小山的另一侧同时施工 为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上 设想过C点作直线AB的垂线l 过点B作一直线 在山的旁边经过 与l相交于D点 经测量 ABD 135 BD 800米 求在直 图4 2 31 思路分析 首先证明 BCD是等腰直角三角形 再根据勾股定理可得CD2 BC2 BD2 然后再代入BD 800米进行计算即可 解 CD AC ACD 90 ABD 135 DBC 45 D 45 CB CD 在Rt DCB中 CD2 BC2 BD2 答 在直线l上距离D点566米的C处开挖 思想方法 在应用勾股定理解决实际问题时 勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法 关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型 画出准确的示意图 领会数形结合的思想的应用 试题精选 6 2014年湖北黄石 小明听说 武黄城际列车 已经开通 便设计了如下问题 如图4 2 32 以往从黄石A坐客车到武昌客运站B 现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C 再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B 设AB 80km BC 20km ABC 120 请你帮助小明解决以下问题 2 若客车的平均速度是60km h 市内的公共汽车的平均速度为40km h 城际列车的平均速度为180km h 为了最短时间到达武昌客运站 小明应该选择哪种乘车方案 请说明理由 不计候车时间 图4 2 32 解 1 过点C作AB的垂线 交AB的延长线于点E 如图D22 图D22 选择先乘坐城际列车 再坐市内公共汽车的乘车方案 名师点评 解决直角三角形问题的关键 一是能熟练运用勾股定理及其逆定理分析与解决实际问题 二是解题时能灵活运用直角三角形的一些性质 如两锐角之间的关系 斜边与斜边上中线的关系 三是当几何问题中给出了线段长度时 往往要构造直角三角形 如勾股数或添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形 图4 2 33 图D23 2 2012年广东 如图4 2 34 在 ABC中 AB AC ABC 72 1 用直尺和圆规作 ABC的平分线BD交AC于点D 保 留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 中作出 ABC的平分线BD后 求 BDC的度数 图4 2 34 解 1 如图D24 以点B为圆心 以任意长为半径画弧 分别交AB BC于点E F 图D24 弧相交于点G 连接BG交AC于点D即可 2 在 ABC中 AB AC ABC 72 A 180 2 ABC 180 144 36 BD是 ABC的平分线 BDC是 ABD的外角 BDC A ABD 36 36 72 3 2015年广东 如图4 2 35 在边长为6的正方形ABCD中 E是边CD的中点 将 ADE沿AE对折至 AFE 延长EF交边BC于点G 连接AG 求BG的长 图4 2 35 BG FG 设BG FG x 则GC 6 x E为CD的中点 CE EF DE 3 EG 3 x 在Rt CEG中 32 6 x 2 3 x 2 解得x 2 BG 2