中考数学 第一部分 教材梳理 第六章 图形与变换 第2节 图形的相似复习课件 新人教版.ppt

第一部分教材梳理 第2节图形的相似 第六章图形与变换 知识要点梳理 概念定理 1 比例的有关概念和性质 1 线段的比 两条线段的长度之比叫做两条线段的比 2 比例线段 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫做成比例线段 简称比例线段 如果或a b b c 那么线段b叫做线段a c的比例中项 3 比例的性质 4 平行线分线段成比例 定理 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 5 黄金分割 把线段AB分成两条线段AC BC AC BC 使得AC2 AB BC 则点C叫做线段AB的黄金分割点 其中AC 0 618AB 2 相似图形 1 定义 形状相同的图形叫做相似图形 2 性质 相似图形的形状必须完全相同 相似图形的大小不一定相同 两个物体形状相同 大小相同时它们是全等的 全等是相似的一种特殊情况 3 相似多边形 1 定义 如果两个多边形的对应角相等 对应边成比例 则这两个多边形是相似多边形 2 相似多边形对应边的比叫做相似比 3 相似比为1的相似多边形是全等形 4 性质 对应角相等 对应边成比例 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 4 相似三角形 1 定义 如果两个三角形的对应边成比例 对应角相等 那么这两个三角形相似 2 相似三角形的判定 基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1 三边成比例的两个三角形相似 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3 两角分别相等的两个三角形相似 3 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的对应线段 对应中线 对应角平分线 对应高 的比都等于相似比 相似三角形的面积的比等于相似比的平方 5 图形的位似 1 位似图形的定义 如果两个图形不仅是相似图形 而且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 注意 两个图形必须是相似形 对应点的连线都经过同一点 对应边平行 2 位似图形与坐标在平面直角坐标系中 如果位似变换是以原点为位似中心 相似比为k 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k 主要公式 如图6 2 1 在Rt ABC中 BAC 90 AD是斜边BC上的高 则满足 AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 CD BC 方法规律 判定三角形相似的几种思路方法 1 平行线法 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 这是判定三角形相似的一种基本方法 当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法 相似的基本图形可分别记为 A 型 如图6 2 2 和 X 型 如图6 2 2 在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 2 三边法 三组对应边成比例的两个三角形相似 若已知条件中给出三组边的数量关系时 可考虑证明三边成比例 3 两边及其夹角法 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 若已知条件中给出一对等角时 可考虑找夹边成比例 反之 若已知夹边成比例 可考虑找夹角相等 4 两角法 有两组角对应相等的两个三角形相似 若已知条件中给出一对等角时 可考虑再找一对等角 中考考点精讲精练 考点1比例的有关概念和性质 考点精讲 例1 2011肇庆 如图6 2 3 已知直线a b c 直线m n与直线a b c分别交于点A C E B D F AC 4 CE 6 BD 3 则BF等于 A 7B 7 5C 8D 8 5 思路点拨 由直线a b c 根据平行线分线段成比例定理 即可得 再根据AC 4 CE 6 BD 3 即可求得DF的长 从而得出BF的长 答案 B 解题指导 解此类题的关键是掌握平行线分线段成比例定理 解此类题要注意以下要点 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 考题再现1 湛江 如图6 2 4 D E分别是 ABC的边AB AC上的点 DE BC 若 则 2 2010佛山 一般认为 如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割 则这个人好看 如图6 2 5是一个参加空姐选拔的选手的身高情况 那么她应穿多高的鞋子才能好看 精确到1cm 参考数据 黄金分割比为 解 设应穿xcm高的鞋子 根据题意 得解得x 10 cm 答 她应穿10cm高的鞋子才能好看 考题预测3 若 则的值为 A 1B C D 4 如图6 2 6 AD BE CF 直线l1 l2与这三条平行线分别交于点A B C和点D E F 已知AB 1 BC 3 DE 2 则EF的长为 A 4B 5C 6D 8 D C 5 已知点C是AB的黄金分割点 AC BC 若AB 4cm 则AC的长为 A 考点2相似三角形的判定 考点精讲 例2 2013广东 如图6 2 7 矩形ABCD中 以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF 使得另一边EF过原矩形的顶点C 1 设Rt CBD的面积为S1 Rt BFC的面积为S2 Rt DCE的面积为S3 则S1S2 S3 用 或 填空 2 写出如图6 2 7中的三对相似三角形 并选择其中一对进行证明 思路点拨 1 根据S1 S矩形BDEF S2 S3 S矩形BDEF 即可得出答案 2 根据矩形的性质 结合图形可得 BCD CFB DEC 选择一对进行证明即可 答案 1 2 解 BCD CFB DEC 证明 BCD DEC 证明 CBD BDC 90 EDC BDC 90 CBD EDC 又 BCD DEC 90 BCD DEC 解题指导 解此类题的关键是利用矩形的性质和相似三角形的判定定理正确求解 解此类题要注意以下要点 相似三角形的判定定理之一 有两组角对应相等的两个三角形相似 考题再现1 2015梅州 已知 ABC中 点E是AB边的中点 点F在AC边上 若以A E F为顶点的三角形与 ABC相似 则需要增加的一个条件是 写出一个即可 2 2013佛山 网格图6 2 8中每个方格都是边长为1的正方形 若A B C D E F都是格点 试证明 ABC DEF 证明 ED 8 ABC DEF 考题预测3 如图6 2 9 下列条件不能判定 ADB ABC的是 A ABD ACBB ADB ABCC AB2 AD ACD 4 如图6 2 10 点P是 ABCD的边AB上的一点 射线CP交DA的延长线于点E 则图中相似的三角形有 A 0对B 1对C 2对D 3对 D D 5 如图6 2 11 ABC中 AB AC BE AC于点E D是BC的中点 连接AD与BE交于点F 求证 AFE BCE 证明 AB AC D是BC的中点 AD BC ADC 90 FAE AFE 90 BE AC BEC 90 CBE BFD 90 AFE BFD FAE CBE AFE BCE 6 如图6 2 12 点D在等边 ABC的BC边上 ADE为等边三角形 DE与AC交于点F 1 证明 ABD DCF 2 除了 ABD DCF外 请写出图中其他所有的相似三角形 1 证明 ABC ADE为等边三角形 B C ADE 60 ADB CDE DFC FDC 120 ADB DFC ABD DCF 2 解 C E AFE DFC AEF DCF ABD AEF 故除了 ABD DCF外 图中相似三角形还有 AEF DCF ABD AEF ABC ADE ADF ACD 考点3相似三角形的性质 考点精讲 例3 2015佛山 如图6 2 13 在 ABCD中 对角线AC BD相交于点O 点E F是AD上的点 且AE EF FD 连接BE BF 使它们分别与AO相交于点G H 1 求EG BG的值 2 求证 AG OG 3 设AG a GH b HO c 求a b c的值 思路点拨 1 根据平行四边形的性质可得AO AC AD BC AD BC 从而可得 AEG CBG 由AE EF FD可得BC 3AE 然后根据相似三角形的性质 即可求出EG BG的值 2 根据相似三角形的性质可得GC 3AG 则有AC 4AG 从而可得AO AC 2AG 即可得到GO AO AG AG 3 根据相似三角形的性质可得AG AO AH AC 结合AO AC 即可得到a AC b AC c AC 就可得到a b c的值 解 1 四边形ABCD是平行四边形 AO AC AD BC AD BC AEG CBG AE EF FD BC AD 3AE GC 3AG GB 3EG EG BG 1 3 2 GC 3AG 已证 AC 4AG AO AC 2AG GO AO AG AG 3 AE EF FD BC AD 3AE AF 2AE AD BC AFH CBH AC 4AG a AG AC b AH AG AC AC AC c AO AH AC AC AC 解题指导 解此类题的关键是由两直线平行联想到三角形相似 从而得到对应边成比例 解此类题要注意以下要点 1 相似三角形的性质 2 平行四边形的性质 3 比例的合比性质等 考题再现1 2015广东 若两个相似三角形的周长比为2 3 则它们的面积比是 2 2015茂名 如图6 2 14 Rt ABC中 ACB 90 AC 6cm BC 8cm 动点M从点B出发 在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动 同时动点N从点C出发 在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动 运动时间为t秒连接MN 1 若 BMN与 ABC相似 求t的值 2 如图6 2 14 连接AN CM 若AN CM 求t的值 4 9 解 1 由题意知 BM 3tcm CN 2tcm BN 8 2t cm BA 10 cm 当 BMN BAC时 解得t 当 BMN BCA时 解得t BMN与 ABC相似时 t的值为或 2 如答图6 2 1 过点M作MD CB于点D 由题意得 DM BM sinB 3t cm BD BM cosB 3t cm BM 3tcm CN 2tcm CD AN CM ACB 90 CAN ACM 90 MCD ACM 90 CAN MCD MD CB MDC ACB 90 CAN DCM 解得t 考题预测3 如果两个相似三角形对应边的比为2 3 那么这两个相似三角形面积的比是 A 2 3B C 4 9D 8 274 两个相似三角形对应中线的比为2 3 周长的和是20 则这两个三角形的周长分别为 A 8和12B 9和11C 7和13D 6和14 C A 5 如图6 2 15 ABC中 点D在线段BC上 且 ABC DBA 则下列结论一定正确的是 A AB2 BC BDB AB2 AC BDC AB AD BC BDD AB AC AD BD A 6 如图6 2 16 已知 ABC ADE AB 30cm AD 18cm BC 20cm BAC 75 ABC 40 1 求 ADE和 AED的度数 2 求DE的长 解 1 BAC 75 ABC 40 C 180 BAC ABC 180 75 40 65 ABC ADE ADE ABC 40 AED C 65 2 ABC ADE 即解得DE 12 cm 考点4位似图形 考点精讲 例4 2011广州 如图6 2 17 以点O为位似中心 将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E 已知OA 10cm OA 20cm 则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E 的周长的比值是 思路点拨 由五边形ABCDE与五边形A B C D E 位似 可得五边形ABCDE 五边形A B C D E 又由OA 10cm OA 20cm 即可求得其相似比 根据相似多边形的周长比等于其相似比 即可求得答案 答案 1 2 解题指导 解此类题的关键是要掌握位似是相似的特殊形式 并注意相似多边形的周长比等于其相似比等知识的应用 解此类题要注意以下要点 位似图形的定义 如果两个图形不仅是相似图形 而且对应顶点的连线相交于一点 对应边互相平行 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 考题再现1 2010茂名 如图6 2 18 已知 OAB与 OA B 是相似比为1 2的位似图形 点O为位似中心 若 OAB内一点P x y 与 OA B 内一点P 是一对对应点 则P 的坐标是 2x 2y 考题预测2 如图6 2 19 以点O为位似中心 将 ABC放大得到 DEF 若AD OA 则 ABC与 DEF的面积之比为 A 1 2B 1 4C 1 5D 1 6 B 3 如图6 2 20 线段AB两个端点的坐标分别为A 4 4 B 6 2 以原点O为位似中心 在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD 则端点C和D的坐标分别为 A 2 2 3 2 B 2 4 3 1 C 2 2 3 1 D 3 1 2 2 C 4 如图6 2 21 ABC和 A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形 若C1为OC的中点 AB 4 则A1B1的长为 A 1B 2C 4D 8 B