（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第8讲 与三角函数有关的应用题课件.ppt

第8讲与三角函数有关的应用题 考试要求1 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 会用三角函数解决一些简单实际问题 B级要求 2 掌握三角函数模型的应用 会运用三角函数知识解决实际中的优化问题 知识梳理 1 解三角函数模型应用问题的一般步骤是 1 分析 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 2 建模 根据已知条件与求解目标 建立数学模型 3 求解 利用三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 2 在建立三角函数模型求解与实际生活有关的优化问题时 常以三角函数的定义 图象与性质 三角恒等变换以及正余弦定理等知识为载体 以不等式 导数为工具进行求解 但结果要符合实际意义 1 某人的血压满足函数关系式f t 24sin160 t 110 其中 f t 为血压 t为时间 则此人每分钟心跳的次数是 诊断自测 答案80 解 1 设 OPQ 在Rt OAQ中 OA 3 因为 为锐角 所以cos 0 所以当 0时 f 最大 即tan OPQ最大 当 0 0 时 f 0 f 单调递增 考点一三角函数在物理中的应用 1 作出函数的图象 2 当单摆开始摆动 t 0 时 离开平衡位置的距离是多少 3 当单摆摆动到最右边时 离开平衡位置的距离是多少 4 单摆来回摆动一次需多长时间 解 1 利用 五点法 可作出其图象 列表略 3 离开平衡位置6cm 所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s 规律方法三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中 其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多 尤其要弄清振幅 频率 周期 平衡位置等物理概念的意义和表示方法 1 开始时电压 2 电压值重复出现一次的时间间隔 3 电压的最大值和第一次获得最大值的时间 考点二三角函数在实际生活中的应用角度1以三角函数定义为载体的三角问题 例2 1 如图为一个缆车示意图 该缆车半径为4 8m 圆上最低点与地面距离为0 8m 且60s转动一圈 图中OA与地面垂直 以OA为始边 逆时针转动 角到OB 设B点与地面间的距离为h 1 求h与 间关系的函数解析式 2 设从OA开始转动 经过ts后到达OB 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少 解 1 以圆心O为原点 建立如图所示的平面直角坐标系 答 缆车到达最高点时 用的最少时间为30s 到达最高点时 h 10 4m 角度2以三角函数图象与性质为载体的三角问题 例2 2 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮 一般地 早潮叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近船坞 卸货后 在落潮时返回海洋 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表 1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 并给出整点时的水深的近似数值 精确到0 001 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为4米 安全条例规定至少要有1 5米的安全间隙 船底与洋底的距离 该船何时能进入港口 在港口能呆多久 3 若某船的吃水深度为4米 安全间隙为1 5米 该船在2 00开始卸货 吃水深度以每小时0 3米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的水域 解 1 以时间为横坐标 水深为纵坐标 在直角坐标系中画出散点图 根据图象 可以考虑用函数y Asin x h来刻画水深与时间之间的对应关系 从数据和图象可以得出 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 2 货船需要的安全水深为4 1 5 5 5 米 所以y 5 5时就可以进港 解得xA 0 3848 xB 5 6152 因为x 0 24 所以有函数周期性易得xC 12 0 3848 12 3848xD 12 5 6152 17 6152 因此 货船可以在凌晨零时30分左右进港 早晨5时30分左右出港 或在中午12时30分左右进港 下午17时30分左右出港 每次可以在港口停留5小时左右 3 设在时刻x船舶的安全水深为y 那么y 5 5 0 3 x 2 x 2 在同一坐标系内作出这两个函数的图象 可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点 通过计算可得在6时的水深约为5米 此时船舶的安全水深约为4 3米 6 5时的水深约为4 2米 此时船舶的安全水深约为4 1米 7时的水深约为3 8米 而船舶的安全水深约为4米 因此为了安全 船舶最好在6时30分之前停止卸货 将船舶驶向较深的水域 角度3以三角恒等变换为载体的三角问题 1 试用 表示BD的长 2 试确定点E的位置 使两条栈道长度之和最大 解 1 连接DC 且BF 4cos2 所以DE AF 4 4cos2 所以当E与C重合时 两条栈道长度之和最大 角度4以解三角形为载体的三角问题 1 将三条船PO PA PB的长度之和表示为 的函数f 并写出此函数的定义域 2 试确定 的值 使得f 最小 列表如下 规律方法解三角函数应用问题的基本步骤 训练2 2018 江苏卷 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆弧MPN P为此圆弧的中点 和线段MN构成 已知圆O的半径为40米 点P到MN的距离为50米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形ABCD 大棚 内的地块形状为 CDP 要求A B均在线段MN上 C D均在圆弧上 设OC与MN所成的角为 1 用 分别表示矩形ABCD和 CDP的面积 并确定sin 的取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值最大 解 1 设PO的延长线交MN于H 则PH MN 所以OH 10 过O作OE BC于E 则OE MN 所以 COE 故OE 40cos EC 40sin 则矩形ABCD的面积为2 40cos 40sin 10 800 4sin cos cos 过N作GN MN 分别交圆弧和OE的延长线于G和K 则GK KN 10 2 因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3 故设甲的单位面积的年产值为4k 乙的单位面积的年产值为3k k 0 f cos2 sin2 sin 2sin2 sin 1 2sin 1 sin 1