高中数学 第3章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性课件 北师大版选修2-2.ppt

第三章 导数应用 1函数的单调性与极值1 1导数与函数的单调性 课前预习学案 1 对于函数f x x2 2x 1 写出函数的递增区间和递减区间 2 在递增区间内 导函数f x 的符号确定吗 在递减区间内呢 提示 1 递增区间为 1 递减区间为 1 2 f x 2x 2 故在递增区间 1 内 f x 0 在递减区间 1 内 f x 0 函数在区间 a b 上的单调性与其导函数的符号有如下关系 利用导数的符号判断函数单调性 增加减少常函数 1 判断函数单调性时 f x 0能推出f x 为增函数 但反之不一定 如函数f x x3在 上增加 但f x 0 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 当函数在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 不具单调性 所以f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 2 求函数单调区间的步骤 确定函数f x 的定义域 求导数f x 由f x 0 或f x 0 解出相应的x的范围 当f x 0时 f x 在相应区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应区间上是减函数 3 f x 2x3 4x2 5的单调增区间是 4 求函数y x4 2x2 6的单调区间 解析 y 4x3 4x 令y 0即4x3 4x 0 解得 1 x 0或x 1 因此单调增区间为 1 0 和 1 令y 0 即4x3 4x 0 解得x 1或0 x 1 因此单调减区间为 1 和 0 1 课堂互动讲义 利用导数判断或证明函数的单调性 用导数证明函数y f x 在区间 a b 内单调性的步骤 1 求出y f x 的导数f x 2 证明导数y f x 在区间 a b 内恒正 恒负 3 下结论 y f x 在区间 a b 内为增加的 减少的 求函数的单调区间 规范解答 1 f x 6x2 12x 令f x 0 即6x2 12x 0 解得x 0或x 2 令f x 0 即6x2 12x 0 解得0 x 2 所以 该函数的递增区间是 0 和 2 递减区间是 0 2 2分 综上函数的单调增区间是 0 单调减区间是 1 0 2 y x2 a a2 x a3 x a x a2 当a 0时 a2 a 若x a或x a2 则f x 0 f x 单调递增 若a x a2 则f x 0 f x 单调递减 当0 a 1时 a2 a 若x a2或x a 则f x 0 f x 单调递增 若a2 x a 则f x 0 f x 单调递减 当a 1时 a2 a若x a或x a2 则f x 0 f x 单调递增 若a x a2 则f x 0 f x 单调递减 当a 0或a 1时 a2 a 此时f x 0 f x 在R上单调递增 综上所述 当a 0或a 1时 函数f x 的单调增区间是 a 和 a2 单调减区间是 a a2 当0 a 1时 函数f x 的单调增区间是 a2 和 a 单调减区间是 a2 a 当a 0或a 1时 f x 单调增区间是 无递减区间 若函数f x ax3 x2 x 5在 上是增加的 求实数a的取值范围 思路导引 欲求实数a的取值范围 需要建立关于a的关系式 利用不等式的知识进行求解 由f x 在R上是增加的知 f x 0对x R恒成立 从而转化为一元二次不等式恒成立问题求解 由函数的单调性求参数的取值范围 利用函数的单调性求参数的范围的解题规律 1 已知函数的单调性 求参数的范围 这是一种非常重要的题型 在某个区间上f x 0 或f x 0 f x 在这个区间上单调递增 或递减 但由f x 在这个区间上单调递增 或递减 而仅仅得到f x 0 或f x 0 是不够的 即还有可能f x 0也能使f x 在这个区间上单调 因而对于能否取到等号的问题需要单独验证 2 有些问题也可以由导函数f x 0 0 在某个区域上恒成立 进一步转化为 一个参数a g x 恒成立或a g x 恒成立问题 即 a g x 恒成立 a g x max a g x 恒成立 a g x min 3 若函数f x x3 ax2 1在 0 2 内单调递减 求实数a的取值范围 错因 上述解答过程中犯了两个错误 一是忽略了函数的定义域 二是求导过程中计算错误 导致结果出错