《几何与代数》科学出版社第六章二次型与二次曲面.ppt

几何与代数 主讲 关秀翠 东南大学数学系 东南大学线性代数课程 教学内容和学时分配 第六章二次型与二次曲面 一 二次型及其矩阵表示 二 用正交变换化实二次型为标准形 三 用配方法化实二次型为标准形 实对称阵的正交相似对角化问题 f x xTAx 标准形g y yT y 旋转变换保持夹角距离不变 几何形状不变 仿射变换时几何形状可能改变 可逆线性变换下的不变量 r f p f q f 标准形不唯一 但规范形唯一 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 f x xTAx Py TA Py yT PTAP y yT y g y 寻求可逆矩阵P 使得 即寻求可逆的线性变换x Py 使得 PTAP AT A A与 合同 定义 对于方阵A B 若存在可逆矩阵P 使得PTAP B 则称A与B相合或合同 定理5 7 设A是实对称阵 正交矩阵Q使得Q 1AQ QTAQ是对角矩阵 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 定理6 1 实对称矩阵与对角矩阵合同 定义 对于方阵A B 若存在可逆矩阵P 使得PTAP B 则称A与B相合或合同 性质 矩阵间的相合关系也是一种等价关系 1 反身性 A ETAE 对称性 传递性 A B相合 B C相合 则A C相合 PTAP B A PT 1BP 1 P 1 TBP 1 五 方阵的合同 定义 对于方阵A B 若存在可逆矩阵P 使得PTAP B 则称A与B相合或合同 相合的实对称阵的最简形 PTAP 不变量 秩 正负惯性指数 n阶实对称阵A B相合 正负惯性指数相同 规范形 规范形相同 定理6 1 实对称矩阵与对角矩阵合同 性质 矩阵间的相合关系也是一种等价关系 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 PTAP 不变量 秩 正负惯性指数 实对称阵相合 正负惯性指数相同 命题 A B相合 A是对称阵 则B也是对称阵 PTAP B 证明 A B相合 则存在可逆阵P 使得 BT PTATP PTAP B 对称 1 2 例6 相合的实对称阵的最简形 规范形相同 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 等价关系汇总 相抵 相似 四种等价关系之间的相互关系 相合 正交相似 PTAP 不变量 秩 正负惯性指数 实对称阵相合 正负惯性指数相同 相合的实对称阵的最简形 规范形相同 实对称阵相似必相合 实对称阵相合必相似 相似的不变量 秩 特征值 迹 行列式 实对称阵相似 特征值同 p q同 必相合 反之不然 Rn n Rm n 相抵 相似 正交相似 Rn n 实对称 相抵标准形 为初等阵 i为特征值 秩 特征值 迹 行列式 秩 相合 Rn n r f p A q A 对称性 秩 实对称 若A可相似对角化 实对称阵相似 特征值同 p q同 必相合 反之不然 等价关系汇总 相似的不变量 秩 特征值 迹 行列式 实对称阵相合的不变量 秩 正负惯性指数 规范形 对称性 相抵的不变量 秩 例7 B C D F F 由迹为1排除法只有F 由对称性排除剩下B C B C 由秩为1确定 特征值也为0 2 p 1 q 0 F有两个不同的特征值0 1 特征值中正项 负项的个数 例8设 问A B C哪些相似 哪些合同 解 1 A是对角阵 B是上三角阵 且有3个互异特征值与A相同 所以B可以相似对角阵化为A 即A与B相似 2 因为A是对角阵 所以与A合同的矩阵必是对称阵 而B不是对称阵 A与B不合同 3 得 C又是实对称矩阵 阵使 故C与A即相似又合同 再由传递性知C与B也相似 但C与B不合同 因为C是对称阵 与对称阵合同的矩阵必是对称阵 而B不是对称阵 所以C与B不合同 第六章二次型与二次曲面 六 正定二次型与正定矩阵 1 定义 设实二次型f x xTAx满足对Rn中任何非零向量x 有f x 0 则称之为正定二次型 称A为正定矩阵 若对Rn中任何非零向量x 有f x 0 则称之为负定二次型 称A为负定矩阵 注1 正定 负定 矩阵必为实对称矩阵 对任何x 注2 x xi 0 并不是 xi 0 注3 f x a11x12 a22x22 annxn2正定 aii 0 i 1 2 n 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 6 2惯性定理与正定二次型 1 正定二次型f x xTAx满足 x 有f x 0 2 性质 命题3 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵 命题1 可逆线性变换不改变二次型的正定性 x f x xTAx 0 x Py P可逆 y P 1x g y yT PTAP y xTAx 0 命题2 相合的实对称矩阵的正定性也相同 A B正定 则 x xTAx 0 xTBx 0 A B T AT BT A B x xT A B x xTAx xTBx 0 A B正定 A B实对称 设A B正定 第六章二次型与二次曲面 6 2惯性定理与正定二次型 定理6 4 设A为n阶实对称阵 则下列命题等价 1 A是正定矩阵 2 A的正惯性指数为n 3 A的特征值均大于零 4 A与E相合 5 存在可逆阵P 使得A PTP 例9 设实对称矩阵A满足A2 3A 2E O 证明A是正定的 负定 q n i 0 A与 E相合 A PTP 存在可逆阵P 使得A PTP 推论 设A是正定矩阵 则 A 0 trA 0 证明 设 为A的特征值 则 2 3 2 0 1或2 因此A的所有可能特征值均大于零 所以A正定 第六章二次型与二次曲面 6 2惯性定理与正定二次型 例10 设A是正定的n阶实对称矩阵 证明A E的迹大于n 证明 因为A是正定的n阶实对称矩阵 所以A的n个特征值 1 n均大于零 是A的特征值 f f 是f A 的特征值 A E的特征值为 i 1 i 1 n A 2E的特征值为 i 2 i 1 n 第六章二次型与二次曲面 6 2惯性定理与正定二次型 证明2 因为A是正定的n阶实对称矩阵 所以A的n个特征值 1 n均大于零 则Q 1 A E Q E 例10 设A是正定的n阶实对称矩阵 证明A E的迹大于n 则Q 1 A 2E Q 2E 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 则 0 a11 0 0 6 1二次型 第六章二次型与二次曲面 则 a11 0 第六章二次型与二次曲面 6 2惯性定理与正定二次型 定理6 4 n阶实对称矩阵A是正定矩阵 A的各阶顺序主子式 1 a11 均大于零 n A 故A不是正定的 实对称阵A负定 各阶顺序主子式负正相间 A也不是负定的 1 2 0 求参数t的范围 使下列二次型正定 解二次型的矩阵为 例12 A正定 A的各阶顺序主子式 i 0 即 当 2 t 1时A正定 设A Rm n 证明ATA正定 r A n 证 n r ATA r A n r A n 由 ATA T ATA知ATA是n阶实对称阵 由r A n知 齐次方程组Ax 只有零解 所以实二次型xTATAx正定 故ATA正定 若ATA正定 则 ATA 0 例13 而且 例14 假设A B都是n阶实对称矩阵 A的特征值均大于a B的特征值均大于b 证明 A B的特征值均大于a b 证明 A是n阶实对称阵 于是 1 a n a 0 为A aE的特征值 则存在n阶正交阵Q使得 Q 1AQ diag 1 n 特征值 i a i 1 n 所以A aE是正定阵 是A的特征值 f f 是f A 的特征值 同理 B bE是正定阵 因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵 所以A B a b E也是正定阵 其特征值均大于0 设 为A B的任一特征值 则 a b 是A B a b E的特征值 a b 第六章二次型与二次曲面 6 2惯性定理与正定二次型 1 正定二次型f x xTAx满足 x 有f x 0 2 性质 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵 可逆线性变换不改变二次型的正定性 定理6 3A正定 p n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P 使得A PTP 定理6 4 A正定 A的各阶顺序主子式 均大于零 解题思想 利用实对称阵A的正交相似对角化 将f A 转化为对角阵f 进行求解或证明 A E E 1 1 n 1 Rn n Rm n 相抵 相似 正交相似 Rn n 实对称 相抵标准形 为初等阵 i为特征值 秩 特征值 迹 行列式 秩 相合 Rn n r p q 对称性 秩 实对称 若A可相似对角化 实对称阵相似 特征值同 p q同 必相合 反之不然 正定性 a d 0 b c a 1 4 1 1 a 0 a 1 0 a b 0 c 1