《几何与代数》科学出版社第五章特征值与特征向量.ppt

几何与代数 主讲 关秀翠 东南大学数学系 东南大学线性代数课程 教学内容和学时分配 第五章特征值与特征向量 5 2相似矩阵 一 相似矩阵 可逆阵P s t P 1AP B 相似是相抵的特例 相似必相抵 反之不然 相似是一等价关系 A B 则 多项式f x f A f B 相似则特征多项式相同 但反之不然 不变量为特征值 迹 行列式 秩 相似关系下的最简形为 diag 1 2 n 注 不变量都只是必要条件 而非充要条件 若A B都可相似对角化 且特征多项式相同 则A B相似 tr f A tr f B f A f B r f A r f B 5 2相似矩阵 二 方阵的相似对角化 一 相似矩阵的定义 可逆阵P s t P 1AP B 相似是相抵的特例 相似必相抵 反之不然 相似是一等价关系 不变量为特征值 迹 行列式 秩 相似关系下的最简形为 diag 1 2 n n阶方阵A A有n个线性无关的特征向量 n阶方阵A 复 r iE A n ni A有n个不同的特征值 A P 1AP diag 1 n A属于不同特征值的线性无关的特征向量仍线性无关 问题 是否有一类特殊矩阵必可与对角阵相似 5 3实对称矩阵的相似对角化 一 实对称矩阵的性质 5 3实对称矩阵的相似对角化 二 实对称矩阵的正交相似对角化 通常 实矩阵的特征值不一定是实数 比如 实对称矩阵的特征值均为实数 第五章特征值与特征向量 1 复矩阵的共轭矩阵 设A aij m n aij C A的共轭矩阵 共轭运算的性质 实对称矩阵 一 实对称矩阵的性质 5 3实对称矩阵的相似对角化 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 性质5 1 实对称矩阵的特征值都是实数 证明 一 实对称矩阵的性质 a1 an T Cn 则存在非零复向量 设复数 为实对称阵A的特征值 满足A 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 性质5 1 实对称矩阵的特征值都是实数 一 实对称矩阵的性质 满足A E A x 有实的基础解系 A对应于 有实的特征向量 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 此外 1TA 2 1TAT 2 A 1 T 2 1 1T 2 于是 1 2 1T 2 0 从而 1TA 2 1T 2 2 2 1T 2 证明 设 1 2 1 2 s t A 1 1 1 A 2 2 2 但是 1 2 故 1T 2 0 Th5 4 A对应于不同特征值的特征向量线性无关 性质5 2 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交 即 0 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 定理5 7 对于任意n阶实对称矩阵A 存在正交矩阵Q 使得Q 1AQ QTAQ diag 1 2 n 其中 1 2 n为A的全部特征值 Q q1 q2 qn 的列向量组是A的对应于 1 2 n的标准正交特征向量组 二 实对称矩阵的正交相似对角化 推论 n阶实对称矩阵A的ni重特征值都有ni个线性无关的特征向量 再由施密特正交化方法知 必有ni个标准正交的特征向量 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 求 E A 0的根 得到所有特征值 1 2 s 注 特征向量要与特征值的顺序相对应 实对称阵的正交相似对角化 则Q 1AQ QTAQ diag 1 1 s s 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 例1 把 正交相似对角化 解 E A 2 4 2 取 2 2 将 2 3正交化 4E A x 0的基础解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T A的特征值为 1 2 2 3 4 2E A x 0的基础解系 1 1 1 2 T 解 4E A x 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 解 所以A的特征值为 1 2 2 3 4 2E A x 0的基础解系 1 1 1 2 T 4E A x 0的基础解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T 取 2 2 将 2 3正交化 再单位化 即得 例1 把 正交相似对角化 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 例1 把 正交相似对角化 解 E A 2 4 2 取 2 2 将 2 3正交化 4E A x 0的基础解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T A的特征值为 1 2 2 3 4 2E A x 0的基础解系 1 1 1 2 T 解 4E A x 一个非零解为 2 0 1 1 2 T 设另一解为 3 2 3 5 1 2 T 再单位化 Q不唯一 例1 把 正交相似对角化 解 E A 2 4 2 取 2 2 将 2 3正交化 4E A x 0的基础解系 2 1 1 0 T 3 2 0 1 T A的特征值为 1 2 2 3 4 2E A x 0的基础解系 1 1 1 2 T 解 4E A x 一个非零解为 2 0 1 1 2 T 设另一解为 3 2 3 5 1 2 T 再单位化 Q不唯一 正交特征向量组的几何含义 1垂直于 2 3所在平面 2 3为平面上任意两个垂直的向量 求 E A 0的根 得到所有特征值 1 2 s 注 特征向量要与特征值的顺序相对应 实对称阵的正交相似对角化 则Q 1AQ QTAQ diag 1 1 s s 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 例2 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 求A 解 令 1 2为对应于 1两个正交的特征向量 将正交向量组 1 2 3单位化得正交矩阵 因为 1 2都与 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 1 0 1 1 T 2 4 1 1 T 基础解系为 由QTAQ Q 1AQ 可得A Q QT 对称 正交相似对角化 1 0 1 1 T 2 4 1 1 T 基础解系为 由P 1AP 得A P P 1 A 例2 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 求A 解 令 1 2为对应于 1两个正交的特征向量 因为 1 2都与 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 相似对角化 基础解系为 由P 1AP 得A P P 1 P不唯一A唯一 A 例2 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 求A 解 令 1 2为对应 1两个线性无关的特征向量 因为 1 2都与 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 1 2 1 0 T 2 2 0 1 T 例2 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 求A 将正交向量组 1 2 3单位化得正交矩阵 因为 1 2都与 3正交 可取x1 2x2 2x3 0的 1 2 1 2 T 2 2 2 1 T 基础解系为 由QTAQ Q 1AQ 可得A Q QT Q不唯一A唯一 解 令 1 2为对应 1两个线性无关的特征向量 例2 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 求A 此时A唯一 若已知 1 2 1 2 T是对应于 1的特征向量 能否唯一求出A呢 1 2可取为 3垂面上任意两个l i 垂直 的向量 2 3可取为 1垂面上任意两个l i 垂直 的向量 但无法确定 2 3中哪个是对应于 1的特征向量 哪个是对应于 10的特征向量 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 发散思维 变换问题的条件 否 例2 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为 1 2 10 且 3 1 2 2 T是对应于 10的特征向量 求A 若已知 1 2 1 2 T是对应于 1的特征向量 能否唯一求出A呢 比如取 2 2 2 1 T 3 1 2 2 T 分别对应于1 10 则A 比如取 2 2 2 1 T 3 1 2 2 T 分别对应于10 1 则A 否 5 3实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的特征值均为实数 实对称阵对应于不同特征值的特征向量正交 Th5 7任意n阶实对称阵总可以正交相似对角化 存在正交阵Q 使得Q 1AQ diag 1 2 n 其中Q q1 q2 qn 的列向量组是A的对应于特征值 1 2 n的标准正交特征向量组 正交特征向量 1 l i 特征向量再由Schmidt正交化法正交 2 由1个特量及正交方程组解其他正交特量 实对称矩阵对角化的反问题 Q 1AQ QTAQ A Q QT Q Q 1 P 1AP A P P 1 无需正交标准化 但需求逆 正交标准化 但不需求逆 f f A Qf QT 关于相似对角化与正交相似对角化 实对称矩阵对角化的反问题 Q 1AQ QTAQ A Q QT Q Q 1 不是任一个方阵A都可以相似对角化 只有当A有n个线性无关的特征向量时才可相似对角化 实对称矩阵必可正交相似对角化 也可以相似对角化 若实方阵A可以正交相似对角化 则A必是实对称矩阵 AT Q QT T Q TQT Q QT A一般方阵若能相似对角化 不一定能正交相似对角化 只有要求正交相似对角化时才需正交化标准化 P 1AP A P P 1 无需正交标准化 但需求逆 正交标准化 但不需求逆 f f A Qf QT 例3 A 可以相似对角化但不能正交相似对角化 解 易知A的特征值为 1 1 2 1 A对应于 1 1的特征向量为 1 k1 1 0 T k1 0 110 1 A对应于 2 1的特征向量为 2 k2 1 2 T k2 0 k1 k2 0 k1k2 0 若将 1 2正交化 得 1 1 0 T 2 0 2 T 但这里的 2 0 2 T已经不再是 2 1的特征向量 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 k1 k2 0 1 2都只是线性无关 而不会正交 解 2 若A B是一般方阵 特征多项式相同 不一定相似也不一定正交相似 比如 因为实对称矩阵A B的特征多项式相同 所以它们的特征值相同 A B都与 diag 1 n 相似并且正交相似 事实上存在Q1 Q2正交 使得 正交 所以A B正交相似 例4 若A B是实对称阵 E A E B A B是否相似 是否正交相似 也是等价关系 若A B是一般实方阵呢 等价关系汇总 Rn n Rm n 相抵 相似 正交相似 Rn n 实对称 相抵标准形 为初等阵 i为特征值 秩 特征值 迹 行列式 秩 若A可相似对角化 第五章特征值与特征向量 解法3 所以A的全部特征值为0 n 1重根 例5 设 0 Rn 求A T的特征值和特征向量 实对称阵A可正交相似对角化 即存在正交阵Q和对角阵 0 使得 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 因为A的全部特征值为0 n 1重根 例5 设 0 Rn 求A T的特征值和特征向量 并求 E A3 是A的特征值 f f 是f A 的特征值 所以E A3的特征值为1 n 1重根 解 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量 例5 设 0 Rn 求A T的特征值和特征向量 并求 E A3 A与 相似 f f A 与f 相似 解2 因为存在正交阵Q和对角阵 使得 5 3实对称矩阵的相似对角化 第五章特征值与特征向量