《几何与代数》科学出版社习题解析第四章.ppt

几何与代数 关秀翠 东南大学数学系 习题解析第四章 教学内容和学时分配 第四章n维向量 能由向量组I 1 s线性表示 r A r A Ax 有解 L 1 2 s R A 1 2 s与 1 2 t等价 L 1 2 s L 1 2 t r A r A B r B 矩阵方程AX B BY A都有解 1 t能由 1 s线性表示 AX B有解 等价的向量组 相同个数 构成的矩阵必等价 相抵 一 向量组的线性表示与等价 反之不成立 x1 1 x2 2 xs s 只在x1 x2 xs 0时成立 1 s x 只有零解 1 s x Ax 有非零解 向量组 1 s 1 s线性相关 向量组 1 s 1 s线性无关 r A s r A s 向量个数 某个向量 i可由其余的向量线性表示 共线共面的推广 唯一表示定理 Il i I l d 可由I唯一线性表示 Th4 3大向量组由小向量组线性表示 大向量组l d Th4 5 若I可由II线性表示 则秩 I 秩 II 且这两个向量组等价 秩 I 秩 II 反之不成立 二 向量组的线性相关与线性无关 三 向量组的极大无关组 i I0l i ii I I0 I0 l d I可由I0线性表示 命题 如果r 1 2 s r 则 1 2 s中任意r个线性无关的向量均为 1 2 s的极大无关组 极大无关组不唯一 任两个极大无关组都等价 向量空间V的基为向量组V中的极大无关组 V的维数为向量组的秩 齐次线性方程组的解空间V x Rn Ax 0 的基础解系为向量组V的极大无关组 V的维数为n r A 四 向量空间 V Rn 对加法数乘封闭 Rn本身 e1 e2 en n 零空间 无 0 齐次线性方程组的解空间 x Rn Ax A Rm n Ax 的基础解系 n r A 生成子空间L 1 s k1 1 ks s k1 ks R 1 s的极大无关组 1 s的秩 A的秩 A的列向量组的极大无关组 矩阵A的列空间 即L A1 A2 An n r A Ax 的基础解系 A的秩 A的列向量组的极大无关组 A的核空间或零空间K A x Rn Ax A的值域R A Ax x Rn L A1 A2 An 五 向量的内积 向量空间 基和维数 一 内积和正交性 二 标准正交基和Schmidt正交化方法 线性相关 共线共面 基 直角坐标系 标准正交基 维数 仿射坐标系 三 正交矩阵 维数 将l i 向量化为标准正交向量组 Q QT 正交 QTQ E Q 1 QT Q列 行 向量组标准正交 基础解系本质是解向量组的极大无关组 维数为n r A r A b r A 1 Ax b无解 b不能由A的列向量组线性表示 直线 或平面 间无公共点 2 r A b r A n Ax b有唯一解 b可由A的列向量组唯一地线性表示 直线 或平面 间有唯一公共点 3 r A b r A n Ax b有无穷多解 且通解中含有n r A 个自由变量 Ax 0的基础解系有n r A 个解向量 b可由A的列向量组线性表示 但表示方式不唯一 直线 或平面 重合或平面交于一条直线 x 0 k1 1 kn r n r 六 线性方程组的解的结构 齐次线性方程组的基础解系 非齐次线性方程组的一般解 作业中的问题 作业中的问题 证明一组向量线性无关时 最好不要假设它们线性相关 再令线性组合等于0 而是直接令线性组合等于0 再证明所有的组合系数都等于0 将向量组写成矩阵时 要事先说明向量是列向量还是行向量 并注意区分向量组等价及矩阵等价 第四章n维向量 A成立的充要条件是B成立 即A成立当且仅当B成立 即A成立 B成立 既要证明必要性 又要证明充分性 8 设a b为参数 讨论向量组的秩 并问a b为何值时 向量组线性无关 解 令 A中含有一个二阶非零子式 r A 2 当a 0或b 1 3时 r A 2 当a 0且b 1 3时 r A 3 向量组线性无关 习题解析 第二章n维向量 11 设 1 2 s线性均为n维向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 证明 1 2 s线性无关 1 2 s线性无关 证1 第二章n维向量 设 1 2 s线性无关 则k1 1 k2 1 2 ks 1 2 s 习题解析 证明充分性 设k1 1 k2 2 ks s 即 k1 ks 1 k2 ks 2 ks s 因为 1 2 s线性无关 所以 1 2 s线性无关 11 设 1 2 s线性均为n维向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 证明 1 2 s线性无关 1 2 s线性无关 证1 第二章n维向量 所以 1 2 s线性无关 习题解析 证明必要性 设 1 2 s线性无关 因 1 2 s可由 1 2 s线性表示 r 1 2 s r 1 2 s s s 所以r 1 2 s s 11 设 1 2 s线性均为n维向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 证明 1 2 s线性无关 1 2 s线性无关 证2 第二章n维向量 习题解析 由已知可得 1 1 2 2 1 3 3 2 s s s 1 1 2 s与 1 2 s等价 r 1 2 s r 1 2 s 1 2 s线性无关 1 2 s线性无关 11 设 1 2 s线性均为n维向量 1 1 2 1 2 3 1 2 3 s 1 2 s 证明 1 2 s线性无关 1 2 s线性无关 证3 第二章n维向量 习题解析 1 2 s 1 2 s 1 2 s线性无关 1 2 s线性无关 因 1 s可由 1 s线性表示 设A 1 s B 1 s C B AC C 1 0 C可逆 A BC 1 故 1 s可由 1 s线性表示 r 1 2 s r 1 2 s 设 i为列向量 12 已知 1 2 3线性无关 问参数a b为何值时向量组 1 a 1 b 2 2 a 2 b 3 3 a 3 b 1线性无关 解 第二章n维向量 设A 1 2 3 B 1 2 3 1 2 3线性无关 r B r 1 2 3 3 C a3 b3 0 设 1 2 3为n维列向量组 则B a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 AC r C 3 C 0 习题解析 a b 0 3 r B r C 3 13 已知 能由向量组I 1 2 s线性表示 证明 表示方式唯一 1 2 s线性无关 证明1 充分性 第二章n维向量 习题解析 1 2 s线性无关 能由向量组 1 2 s线性表示 由唯一表示定理知 能由I唯一的线性表示 必要性 l1 1 l2 2 ls s 设k1 1 k2 2 ks s 0 l1 k1 1 l2 k2 2 ls ks s 因为 的线性表示方式唯一 k1 k2 ks 0 1 2 s线性无关 13 已知 能由向量组I 1 2 s线性表示 证明 表示方式唯一 1 2 s线性无关 证明2 第二章n维向量 习题解析 且 1 2 s线性无关 能由向量组I 1 2 s线性表示 设 i为列向量 A 1 s r A r A Ax 有解 能由向量组I唯一线性表示 Ax 有唯一解 r A r A s r A r A 且Ax 只有零解 能由向量组I 1 2 s线性表示 14 设向量组 1 s线性相关 1 0 证明存在某个 j 2 j s 可由前j 1个向量 1 j 1线性表示 证明1 第二章n维向量 设kj 2 j s 是最后一个不为0的系数 即k1 k2 kj 1不全为0 kj 0 kj 1 ks 0 向量组 1 2 s线性相关 设k1 1 k2 2 kj j ks s 0 习题解析 则存在一组不全为0的数k1 k2 ks 使得 k1 1 k2 2 kj j 0 kj 0 存在某个 j可由前j 1个向量 1 j 1线性表示 证明2 反证法 第二章n维向量 则ks 0 k1 1 0 假设错误 命题成立 设任意 j 2 j s 都不能由前j 1个向量 1 2 j 1线性表示 设k1 1 k2 2 ks 1 s 1 ks s 0 同理 ks 1 k2 0 因为 1 0 k1 0 1 2 s线性无关 与已知矛盾 习题解析 则 s都不能由前s 1个向量 1 2 s 1线性表示 14 设向量组 1 s线性相关 1 0 证明存在某个 j 2 j s 可由前j 1个向量 1 j 1线性表示 第三章矩阵的相抵变换和秩 线性方程组 3 4线性方程组解的结构 证明1 17 设向量组 1 s线性无关 j 1 2 s 记A aij s s 证明 1 2 s线性无关 A可逆 j 1 2 s 设B 1 s C 1 s B CA 必要性 设 1 s线性无关 r A s 则s r B r A s A可逆 充分性 设A可逆 C BA 1 故 1 s可由 1 s线性表示 两向量组等价 r 1 s s 则 1 s线性无关 设 i为列向量 第三章矩阵的相抵变换和秩 线性方程组 3 4线性方程组解的结构 证明2 17 设向量组 1 s线性无关 j 1 2 s 记A aij s s 证明 1 2 s线性无关 A可逆 设k1 1 k2 2 ks s 1 s线性无关 A aij Rs s可逆 只有零解 k1 ks 0 1 2 s线性无关 证明 A正交 28 设A是n阶正交阵 证明 1 A 1 2 若 A 1 则 E A 0 AAT E A 2 A AT 1 A 1 2