大学物理第5章 刚体的定轴转动.ppt

第5章刚体的定轴转动 5 1刚体的定轴转动定律 外力矩沿z轴分量的代数和 刚体沿z轴的角动量 刚体对z轴的转动惯量 2 适用于转轴固定于惯性系中的情况 3 对于转轴通过质心的情况 如果质心有加速度 上式也成立 惯性力对质心的力矩和为零 1 由关于定点的质点系角动量定理 向过该点的固定转轴投影得到 外力对固定转轴力矩的计算 沿转轴方向 沿转轴反方向 转动平面内的分力对转轴的力矩 计算转动惯量的几条规律 1 对同一轴可叠加 2 平行轴定理 3 对薄平板刚体 有垂直轴定理 常用的转动惯量 8 例2 证明球体对任意直径的转动惯量为 证明 如图所示 在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元 9 例 一飞轮的转动惯量为J 在t 0时的角速度为 0 此后飞轮经历制动过程 阻力矩M的大小与角速度的平方成正比 比例系数为k 当 0 3时 飞轮的角加速度 从开始制动到 0 3所经历的时间t 解 10 与一维质点动力学方法一致 解 刚体定轴转动 1 受力分析 2 关于O轴列转动定理 思考 为什么不关于过质心轴列转动定理 由 求w 1 平动 质心运动定理 3 求转轴受力 2 转动 关于质心轴列转动定理 为什么 例 一长为L 质量为m的均匀细棒 水平放置静止不动 受垂直向上的冲力F作用 冲量为F t t很短 冲力的作用点距棒的质心l远 求冲力作用后棒的运动状态 解 1 质心的运动 质心以vC0的初速做上抛运动 2 在上抛过程中棒的转动 绕过质心转轴 列转动定理 在上抛过程中 棒以恒定角速度 绕过质心轴转动 演示实验 质心运动 杠杆 5 2转动刚体的角动量守恒 1 绕定轴转动 2 几个刚体绕同一定轴转动 演示实验 茹科夫斯基转椅 和车轮 陀螺仪 3 关于过质心轴 若合外力矩为零 则刚体总角动量守恒 角动量可在这几部分间传递 若合外力矩为零 则刚体角动量守恒 若对过质心轴合外力矩为零 则对该轴刚体角动量守恒 无论质心轴是否是惯性系 5 3刚体转动的功和能 力矩的功 不太大刚体的重力势能 机械能守恒定律 只有保守力做功时 解 杆机械能守恒 比用转动定律简单 势能零点 绕固定轴转动动能 杆动能的另一种表达 科尼西定理 势能零点 5 4刚体的无滑动滚动瞬时转轴 补充 1 平面平行运动 只考虑圆柱 球等轴对称刚体的滚动 质心做平面运动 绕过质心垂直轴做转动 2 无滑动滚动 任意时刻接触点P瞬时静止 无滑动滚动条件 思考 下一时刻P点位置 转动惯量小的滚得快 演示实验 不同质量分布的等质量柱体滚动 质心运动定理 过质心轴转动定理 纯滚动条件 运动学条件 例 两个质量和半径都相同 但转动惯量不同的柱体 在斜面上作无滑动滚动 哪个滚得快 3 轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴 时刻t接触点P瞬时静止 在时间 t t t 内 以P点为原点建立平动坐标系 时间 t t t 内 刚体的运动 质心平动 绕质心轴转动 可以看成 绕过P点且垂直于固定平面的转轴的无滑动滚动 接触点P 瞬时转轴 瞬时转动中心 绕瞬时转轴的转动定理的形式 虽然p点瞬时静止 但有加速度 所以除了力矩Mp外 还应考虑惯性力矩 下面证明 对于无滑动滚动的轴对称刚体 接触点p的加速度沿过p点的半径方向 因此 关于过p点的转轴 惯性力矩等于零 惯性力作用在质心上 方向与p点的加速度方向相反 关于过p点转轴的转动惯量 轴对称刚体 绕瞬时转轴的转动定理 27 证明 p点相对惯性系的加速度 p点相对质心的加速度 按切 法向分解 无滑动滚动 p点加速度沿半径方向 过p点转轴惯性力矩等于零 28 简单多了 29 5 5刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 讨论力矩对时间的积累效应 质点系 对点 对轴 刚体 刚体定轴转动的角动量定理 30 刚体定轴转动的角动量守恒定律 对刚体系 M外z 0时 此时角动量可在系统内部各刚体间传递 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变 茹科夫斯基转椅 KL016 陀螺仪 KL029 转台车轮 KL017 31 克服直升飞机机身反转的措施 装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩 装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消 32 滑冰运动员的旋转 猫的下落 A 猫的下落 B 33 例 如图示 求 碰撞后的瞬刻盘 P转到x轴时盘 解 m下落 1 对 m 盘 碰撞中重力对O轴力矩可忽略 2 已知 h R M 2m 60 系统角动量守恒 34 3 对 m M 地球 系统 令P x重合时EP 0 则 5 由 3 4 5 得 由 1 2 3 得 4 只有重力作功 E守恒 m 盘 角动量 35 旋进 如玩具陀螺的运动 轴转动的现象 高速旋转的物体 其自转轴绕另一个 36 点的不平行于 若质量对转轴分布对称 下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称 对转轴不对称 的刚体的旋进问题 刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行 例如 图示的情形 质量 则 则对轴上O 37 从而产生旋进运动 玩具陀螺的旋进 只改变方向而不改变大小 38 旋进角速度 39 回转效应产生附加力矩 轮船转弯时 涡轮机轴承要承受附加力 附加力可能造成轴承的损坏 附加力矩也可能造成翻船事故 三轮车拐弯时易翻车 内侧车轮上翘 40 地球转轴的旋进 岁差 随着地球自转轴的旋进 北天极方向不断改变 北极星 3000年前小熊座 现在小熊座 12000年后天琴座 织女 T 25800年 41 岁差 恒星年 太阳年 20分23秒 42 我国古代已发现了岁差 每50年差1度 约72 年 将岁差引入历法 391年有144个闰月 43 当旋进发生后 总角速度 只有刚体高速自转时 才有 这时也才有和以上的表示式 当考虑到对的贡献时 自转轴在旋 进中还会出现微小的上下的周期性摆动 运动叫章动 nutation 这种 44 1 定轴转动的运动学问题 解法 利用定轴转动的运动学描述关系 2 转动惯量的计算 解法 1 定义法 习题基本类型 45 2 平行轴定理 若有任一轴与过质心的轴平行 相距为d 刚体对其转动惯量为J 则有J JC md2 3 定轴转动的动力学问题 解法 利用定轴转动中的转动定律 步骤 1 审题 确定研究对象 2 建立坐标系 3 对研究对象进行受力分析和受力矩分析 并按坐标系的正方向写出外力矩的表达式及规律方 注 受力分析和受力矩须取隔离体 并用线角量关系将F ma与M J 联系起来 4 计算对轴的转动惯量 5 解方程 求未知 并对结果进行必要的讨论 46 4 定轴转动中的功能问题 解法 利用动能定理和机械能守恒定律 5 角动量原理及角动量守恒定律 6 混合题型 解法 应用运动学公式 转动定律和角动量守恒定律 47 5 1一汽车发动机的转速在7 0s内由200rev min均匀地增加到3000rev min 1 求这段时间内的初角速度 末角速度及角加速度 2 求这段时间内转过的角度 3 发动机轴上装有一半径为r 0 2m的飞轮 求它边缘上一点在这第7 0s末的切向加速度 法向加速度和总加速度 1 初角速度 解 0 2 200 60 20 9 rad s 末角速度 2 3000 60 314 rad s 角加速度为 2 转过的角度为 48 总加速度为 总加速度与速度 切向 之间的夹角 3 切向加速度为 法向加速度为 49 由于转动惯量具有可加性 所以已挖洞的圆板的转动惯量J加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量J1就等于整个完整圆板对中心的转动惯量J2即 5 2从一半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的圆板 所形成的圆洞中心在距原薄板中心R 2处 所剩薄板的质量为m 求此薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量 解 设板质量密度为 厚度为a 则 J J2 J1 50 由于 则 最后求得 5 3如图 两物体质量为m1 m2 滑轮的质量为m 半径为r 可视作均匀圆盘 已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为 k 求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各为多少 设绳与滑轮间无相对滑动 滑轮轴受的摩擦力忽略不计 解 绳在轮上不打滑 向下为正 向右为正 线角量关系 对m1 m2 滑轮分别进行受力分析 画出示力图 顺时针为正 方程组的解为 53 5 4如图 两个圆轮的半径分别为R1和R2 质量分别为M1 M2 二者皆可视作均匀圆柱体且同轴固结在一起 可绕一水平固定轴自由转动 今在两轮上绕有细绳 绳端分别挂上质量为m1和m2的两个物体 求在重力作用下 m2下落时轮的角加速度 解 向上为正 向下为正 对m1 m2 整个滑轮分别进行受力分析 画出示力图 顺时针为正 54 线角量关系 绳在轮上不打滑 方程组的解为 55 5 5一根均匀米尺 在60cm刻度处钉到墙上 且可以在竖直平面内自由转动 先用手使米尺保持水平 然后释放 求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角加速度 解 设米尺总质量为m 则直尺对悬点的转动惯量为 对米尺 手刚释放时 由转动定律 56 在米尺转到竖直位置过程中 系统 尺 地球 机械能守恒 57 5 6坐在转椅上的人手握哑铃 两臂伸直时 人 哑铃和椅系统对竖直轴的转动惯量为J1 2kg m2 在外人推动后 此系统开始以n1 15r min转动 当人两臂收回时 使系统的转动惯量变为J2 0 80kg m2 它的转速n2是多大 解 两臂收回过程中 系统的机械能是否守恒 什么力做了功 做功多少 设轴上摩擦忽略不计 由于两臂收回过程中 人体受的沿竖直轴的外力矩为零 所以系统沿此轴的角动量守恒 两臂收回时 系统的内力 臂力 做了功 所以系统的机械能不守恒 臂力做的总功为 58 59 5 7如图所示 均匀杆长L 0 40m 质量M 1 0kg 由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止 今有一质量为m 8 0g的子弹以速度 200m s水平射入杆中而不复出 射入点在轴下d 3L 4处 1 求子弹停在杆中时杆的角速度 2 求杆的最大偏转角 解 1 系统 杆 子弹 在碰撞过程中 合外力矩为0 因而系统的角动量守恒 在俯视图中 选 为正方向 60 2 系统 杆 子弹 地球 上摆过程 只有重力 保守力 做功 系统的机械能守恒 选杆竖直时势能为零 61 5 8一转台绕竖直固定固定轴转动 每转一周所需时间t 10s 转台对轴的转动惯量为J 1200kg m2 一质量为M 80kg的人 开始站在转台中心 随后沿半径向外跑去 当人离转台中心r 2m时转台的角速度多大 解 系统 人 转台 没有受到沿轴的合外力矩作用 因而其角动量守恒 即 由此可得转台后来的角速度