《向量线性关系秩》PPT课件.ppt

第三章向量线性关系秩 向量是线性代数中研究的又一个重要概念 本章主要讨论n维向量之间的线性关系 并建立向量组与矩阵秩的概念 1向量 定义3 1所谓n维向量就是n 1阶矩阵 或1 n阶矩阵 n维向量就是n个有次序的数a1 a2 an组成的数组 ai称为向量的第i个分量 分量全是实数的向量称为实向量 如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等 注意 按定义行向量和列向量表示同一个向量 但在涉及到运算时 行向量和列向量总看作两个不同的向量 而且都按矩阵的运算规则进行运算 分量都是零的向量称为零向量 记为0 将向量 的分量都改变符号得到的向量 称为向量 的负向量 记为 实际常用列向量 为了便于书写常用其转置 T表示 定义中两种形式分别称为列向量和行向量 常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算 统称为向量的线性运算 完全按矩阵运算处理 所以满足 交换律 结合律 0 0 1 数的分配律 k l k l 矩阵的分配律 k k k 结合律 kl k l 所有n维列 行 向量的全体 对其上所定义的加法和乘数两种运算 构成了一个n维线性空间 或称向量空间 在解析几何中 曾引进向量的数量积 x y x y cos 且在直角坐标系中 有 定义3 2设有n维向量 a1 a2 an T b1 b2 bn T 令 但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念 我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广 先定义n维向量内积的概念 反过来定义n维向量的长度和夹角 a1b1 a2b2 anbn 称 为向量 与 的内积 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 内积也可以用矩阵运算表示 当 与 都是列向量时 有 而且 仅当 0时 0 内积具有下列性质 其中 为n维向量 k为实数 T T 利用这些性质还可以证明Schwarz不等式 下面定义n维向量的长度和夹角 当 1时 称 为单位向量 为向量 的长度 或范数 记为 或 由Schwarz不等式 对任意非零向量 和 都有 定义3 3设n维向量 a1 a2 an T 称非负实数 当 0时 是与 同方向的单位向量 可见 0 于是有 为向量 和 的夹角 定义3 4对任意非零向量 称 定义3 5若 0 则称向量 与 正交 向量 与 的内积 也可以表示成 cos 2线性关系 若干个同维数的列向量 或行向量 组成的集合叫做向量组 如 m n矩阵A aij 对应n个m维列向量 向量组 1 2 n称为A的列向量组 即A 1 2 n m n矩阵A aij 也对应m个n维行向量 1 a11 a12 a1n 2 a21 a22 a2n m am1 am2 amn 向量组 1 2 m 称为矩阵A的行向量组 即 反之 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵 线性方程组Ax b也可以用向量表示成 x1 1 x2 2 xn n 定义3 6对向量 和向量组 1 2 n 若存在一组数k1 k2 kn 使 k1 1 k2 2 kn n 则称向量 可由向量组 1 2 n线性表示 也称向量 是向量组 1 2 n的线性组合 其中 1 2 n是矩阵A的列向量组 b 例1设 T 2 1 0 1 1T 1 1 0 0 2T 0 1 0 1 3T 1 0 0 1 问 能否由向量组 1 2 3线性表示 解设 k1 1 k2 2 k3 3 即 2 1 0 1 k1 k3 k1 k2 0 k2 k3 于是有 解得 k1 1 k2 2 k3 1 即 1 2 2 3 所以向量 可由向量组 2 3线性表示 表示式也可写成 一般地 对列向量 k1 1 k2 2 ks s可写成 对行向量 k1 1 k2 2 ks s可写成 定义3 7若存在一组不全为零的数k1 k2 ks 使 k1 1 k2 2 ks s 0 则称向量组 1 2 s线性相关 否则称线性无关 只有当k1 k2 ks全为零时才成立 k1 1 k2 2 ks s 0 可见向量组 1 2 s线性无关的充分必要条件是 例2讨论向量组 1T 1 1 0 0 2T 0 1 0 1 3T 1 0 0 1 的线性相关性 解设k1 1 k2 2 k3 3 0 即 k1 k3 k1 k2 0 k2 k3 0 0 0 0 解得 k1 k2 k3 0 所以 1 2 3线性无关 例3讨论向量组 1T 1 1 2 2T 0 1 1 3T 2 3 3 的线性相关性 解设k1 1 k2 2 k3 3 0 即 k1 2k3 k1 k2 3k3 2k1 k2 3k3 0 0 0 解得 k1 2k2 2k3 比如取k1 2 则有2 1 2 3 0 所以 1 2 3线性相关 显然 一个向量 组成的向量组线性相关 0 向量组 1 2 s线性相关 x1 1 x2 2 xs s 0有非零解 称此向量组为n维标准单位向量组 例4讨论n维向量组 的线性相关性 解设k1e1 k2e2 knen 0 即 所以 向量组e1 e2 en线性无关 k1 k2 kn 0 所以k1 k2 kn 0 n维标准单位向量组e1 e2 en是线性无关的 而且对任意n维向量 T a1 a2 an 都有 a1e1 a2e2 anen 例5 k1 1 2 k2 2 3 k3 3 1 0 就是 k1 k3 1 k1 k2 2 k2 k3 3 0 所以 所以向量组 1 2 3线性无关 解得 k1 k2 k3 0 已知向量组 1 2 3线性无关 1 1 2 2 2 3 3 3 1 讨论向量组 1 2 3的线性相关性 解设k1 1 k2 2 k3 3 0 即 定义3 8一组两两正交的非零向量称为正交向量组 由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组 证设 1 2 m是正交向量组 有一组数k1 k2 km使 用 i与上式两边做内积 得 n维标准单位向量组e1 e2 en就是一个规范正交向量组 定理3 1正交向量组必线性无关 k1 1 k2 2 km m 0 由于 i 0 所以 i i 0 因此 ki 0 i 1 2 m ki i i 0 所以 向量组 1 2 m线性无关 命题3 2若向量组有一个部分组线性相关 则此向量组线性相关 所以有 k1 1 k2 2 kr r 0 r 1 0 s 0 推论1含有零向量的向量组必线性相关 证明不妨设 1 2 r s中 1 2 r线性相关 存在不全为零的数k1 k2 kr 使 k1 1 k2 2 kr r 0 而k1 k2 kr 0 0不全为零 所以 1 2 s线性相关 推论2线性无关向量组的任一部分组也线性无关 不妨设k1 0 则有 证明必要性 设 1 2 s线性相关 则 存在不全为零的数k1 k2 ks 使 k1 1 k2 2 ks s 0 充分性 不妨设 1可由 2 s线性表示 即存在一组数k2 ks使 1 k2 2 ks s 于是有 定理3 3向量组 1 2 s s 2 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表示 1 k2 2 ks s 0 这里 1 k2 ks不全为零 所以 1 2 s线性相关 两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线 三个向量线性相关的几何意义是这三向量共面 n个向量线性相关的几何意义是它们在一个n 1维空间 定理3 4设向量组 1 2 r线性无关 而向量组 1 2 r 线性相关 则 可由 1 2 r线性表示 且表示式唯一 证明由已知 存在不全为零的数k1 k2 kr l 使 k1 1 k2 2 kr r l 0 若l 0 则k1 1 k2 2 kr r 0 矛盾 所以l 0 于是 若有 k1 1 k2 2 kr r l1 1 l2 2 lr r 即 表示式是唯一的 则有 k1 l1 1 k2 l2 2 kr l1 r 0 所以 k1 l1 k2 l2 kr l1 0 设 向量组 1 2 s称为向量组 1 2 s的加长向量组 前面加长向量组的概念中只加了一个分量 而且加在了最后一个分量 也可以加多个分量 分量也可以加在任何位置 都称为原向量组的加长向量组 定理3 5线性无关向量组的加长向量组也线性无关 证明只证明在最后加一个分量的情况 其它类似 所以有 k1 1 k2 2 ks s 0 故k1 k2 kr 0 设k1 1 k2 2 ks s 0 即 所以 1 2 s线性无关 3向量组的秩 向量组间的等价关系具有下列性质 设有两个向量组分别为 1 2 r 1 2 s 定义3 9若向量组 中的每个向量都可以由向量组 线性表示 则称向量组 可由向量组 线性表示 若向量组 和向量组 可以互相线性表示 则称向量组 和向量组 等价 反身性 任何向量组都与自身等价 传递性 若 与 等价 与 等价 则 与 也等价 对称性 若 与 等价 则 与 也等价 证先正交化 显然 列向量组 1 2 r可由列向量组 1 2 s线性表示的充分必要条件是 存在s r矩阵C 使 1 2 r 1 2 s C 定理3 6如果向量组 1 2 m线性无关 则有规范正交向量组e1 e2 em与之等价 1 1 再将 1 2 m单位化 取 则 1 2 m就是所求规范正交向量组 上述由线性无关向量组 1 2 m 得到正交向量组 1 2 m的方法称为Schimidt 斯密特 正交化过程 例3 6求一个与向量组 1 1 1 1 T 2 1 2 3 T 3 2 1 2 T等价的规范正交向量组 解先将向量组 1 2 3正交化 令 1 1 1 1 1 T 再将向量组 1 2 3规范化 即取 定义3 10若实方阵A满足AAT E 则称A是正交矩阵 1 2 3就是与向量组 1 2 3等价的规范正交向量组 若记A 1 2 n 则有 可见 ATA E的充分必要条件是 注意 iT j a1ia1j a2ia2j anianj i j 所以说 n阶实矩阵A是正交矩阵 A的行 列 向量组是规范正交向量组 例如 下列矩阵都是正交矩阵 1 2 r线性无关 1 2 r 线性相关 是向量组中任一向量 定义3 11若向量组中的某个部分组 1 2 r 满足 则称 1 2 r是此向量组的一个极大线性无关向量组 简称为极大无关组 例3 7求向量组 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T 4 1 1 1 T的一个极大线性无关组 所以 1 2 3就是向量组 1 2 3 4的一个极大线性无关组 解由于 1 2 3线性无关 而且 4 1 2 3 类似地 1 3 4和 2 3 4都是向量组 1 2 3 4的极大线性无关组 所以 1 2 4也是向量组 1 2 3 4的一个极大线性无关组 由于 1 2 4也线性无关 而且 3 4 1 2 定理3 7向量组与它的任一极大线性无关组等价 可见 一个向量组的极大线性无关组是不唯一的 推论向量组中任意两个极大线性无关组等价 时 其中A是矩阵 有A 0 证明设A aij r s 则有 引理若列向量组 1 2 r线性无关 则当 由于 1 2 r线性无关 所以aij 0 即A 0 1 2 r A 0 证明设向量组 1 2 r和 1 2 s等价且都线性无关 则存在s r矩阵A和r s矩阵B 使 1 2 r 1 2 s A 定理3 8等价的线性无关向量组含有相同个数的向量 由引理有 BA Er 同理有AB Es 1 2 s 1 2 r B 于是有 1 2 r 1 2 r BA 即 1 2 r E BA 0 所以 A B是方阵 即r s 推论一向量组的极大线性无关组所含向量的个数是唯一的 易知 向量组 1 2 s线性无关 R 1 2 s s 若一向量组的所有向量都是零向量 规定其秩为0 向量组 1 2 s的秩记为 R 1 2 s 定义3 12一向量组的极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组的秩 或记为 rank 1 2 s 例7中向量组 1 2 3 4的秩R 1 2 3 4 3 定理3 9若向量组 1 2 s可由向量组 1 2 t线性表示 则 推论2向量组 1 2 p线性无关 且可由向量组 1 2 q线性表示 则p q 推论1等价的向量组具有相等的秩 R 1 2 s R 1 2 t 证明记极大线性无关组为 1 2 p和 1 2 q 则 向量组 1 2 p可由 1 2 q线性表示 于是 1 2 q是向量组 1 2 p 1 2 q的极大线性无关组 再由 1 2 p线性无关知p q 推论3向量组 1 2 p可由向量组 1 2 q线性表示 且p q 则向量组 1 2 p线性相关 推论4任意n 1个n维向量线性相关 4矩阵的秩 证明对矩阵进行一次初等行变换 行向量组变成 定义3 13矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩 矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩 引理初等变换不改变矩阵的行秩和列秩 所以 对矩阵进行一次初等行变换 矩阵的行秩不变 即 再看矩阵的列向量组 A 1 2 n 令 可见 对A进行一次初等行变换 对方程组 来说 相当于进行方程之间的对应变换 显然方程组解不变 就是说 对A进行一次初等行变换 A的列向量组的任意部分组线性相关性不变 所以A的列秩也不变 类似地 对A进行一次初等列变换 其行秩 列秩也不变 定理3 10矩阵的列秩等于矩阵的行秩 证明因为矩阵A可经过初等变换变成标准形 即 而 的行向量组和列向量组分别为 所以 A的行秩和列秩都等于r 定义3 14矩阵A的秩就是矩阵A的行 列 秩 记为R A 或rank A 显然 对任意矩阵A有 R A R AT 由引理还可得 定理3 11初等变换不改变矩阵的秩 定理3 11 若矩阵A与矩阵B等价 则R A R B 注 对分块矩阵做分块矩阵的初等变换秩也不变 例8证明 R AB R A R AB R B 证明1 R AB R ABA 而 所以 R AB R ABA R 0A R A 证明2 由AB AB知 AB的列向量可由A的列向量表示 定义3 15在矩阵Am n中任取k个行与l个列 k n l m 位于这些行和列交叉点上的kl个元素 相互位置关系不变所形成的k l阶矩阵称为A的一个子阵 若取的是A的第i1 i2 ik行及j1 j2 jl列 则A对应的子阵记为 且称行列式 为矩阵A的一个k阶子式 定理3 12R A r的充分必要条件是A至少有一个r阶子式不为零 而且所有r 1阶子式 如果存在 都为零 证明设R A r 则A的行向量组的极大无关组含r个向量 不妨设前r行线性无关 则矩阵的秩也为r 于是 此矩阵的列向量组的极大无关组也含r个向量 不妨设前r列是极大无关组 则矩阵的秩也为r 所以 此行列式就A的r阶非零子式 反之 由于A的任意r行线性相关 所以r 1阶子式必为零 定义3 16设n阶方阵A的秩等于n 则称A是满秩的 否则称方阵A是降秩的 推论A是满秩的 detA 0 非奇异 A可逆 如果矩阵的每一行第一个非零元素的下面的所有元素都是0 且零行都排在最下面 则称矩阵为阶梯形矩阵 如 但不是阶梯形矩阵 可见 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行数 任何矩阵都可以经过初等行变换化为阶梯形矩阵 这就给我们提供了求一般矩阵秩的有效方法 解 例9求R A 其中 故R A 3 的线性相关性 并求其秩和一个极大无关组 把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示 例10讨论向量组 解由于 所以 R A 2 于是 R 1 2 3 4 2 因此 1 2 3 4线性相关 而且 1 2是向量组的一个极大无关组 又因为 所以有 3 3 1 2 4 2 1 2 习题三第76页 作业 7 9 10 11 12 15 18 23 25 26 设4维向量组 问 为何值时 1 2 3 4线性相关 当 1 2 3 4线性相关时 求其一个极大线性无关组 并将其余量用该极大线性无关组线性表出 课堂练习 课堂练习答案 解由于 所以 a 0或a 10时 1 2 3 4线性相关 a 0时 由于 此时R A 1 1是一个极大线性无关组 且有 2 2 1 3 3 1 4 4 1 a 10时 由于 可见 此时R A 3 1 2 3是一个极大线性无关组 且 4 1 2 3