2011届高三数学空间几何体的表面积与体积.ppt

第五节空间几何体的表面积与体积 1 旋转体的表面积 答案 C 答案 B 答案 D 4 一个几何体的三视图如图 则这个几何体的体积为 解析 由三视图可得该几何体的直观图 该几何体是一个底面为直角三角形且两直角边分别为1cm 2cm 高为2cm的三棱柱 该几何体的体积为 1 2 2 2 cm3 答案 2cm3 5 将一棱长为6cm的正方体木块加工成一个体积最大的木球 这个球的体积为 解析 由题意可知该球是正方体的内切球 球直径与正方体的棱长相等 球半径r 3cm 球体积为 36 cm3 答案 36 cm3 2008年山东高考改编 如图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 自主探究 由三视图可知 该几何体是由一个球和圆柱组合而成的几何体 球的直径为2 圆柱的底面直径为2 高为3 则S球 4 R2 4 S圆柱 2 rh 2 r2 2 1 3 2 8 几何体的表面积为S 4 8 12 答案 12 方法点评 1 高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中 借以考查空间想象能力和运算能力 只要正确把握几何体的结构 准确应用面积公式 就可以顺利解决 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 3 组合体的表面积应注意重合部分的处理 1 已知圆台的母线长为4cm 母线与轴的夹角为30 上底面半径是下底面半径的 求这个圆台的侧面积 解析 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面 由题意知AC 4cm ASO 30 O1C 设O1C r 则OA 2r SC 2r SA 4r AC SA SC 2r 4cm r 2cm 所以圆台的侧面积为S r 2r 4 24 cm2 如图 在三角形ABC中 若AC 3 BC 4 AB 5 以AB所在直线为轴 将此三角形旋转一周 求所得旋转体的表面积和体积 思路点拨 先通过想象确定旋转体的形状 再求几何体的表面积和体积 自主探究 如图 所得旋转体是两个底面重合的圆锥 高的和为AB 5 底面半径等于CO 所得旋转体的表面积为 方法点评 求解旋转体的表面积和体积时 首先要弄清楚它的结构 再通过轴截面分析和解决问题 2 如右图所示 扇形中心角为90 其所在圆的半径为R 弦AB将扇形分成两个部分 这两部分各以AO为轴旋转一周 所得的旋转体体积V1和V2之比为 A 1 1B 1 C 1 2D 1 解析 Rt AOB绕OA旋转一周形成圆锥 其体积V1 R3 扇形绕OA旋转一周形成半球 其体积V R3 V2 V V1 R3 R3 R3 V1 V2 1 1 有一根长为3 cm 底面半径为1cm的圆柱形铁管 用一段铁丝在铁管上缠绕2圈 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 则铁丝的最短长度为多少 思路点拨 把圆柱沿这条母线展开 将问题转化为平面上两点间的最短距离 自主探究 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开 在平面上得到矩形ABCD 如图 由题意知BC 3 cm AB 4 cm 点A与点C分别是铁丝的起 止位置 故线段AC的长度即为铁丝的最短长度 AC 5 cm 故铁丝的最短长度为5 cm 方法点评 1 几何体的表面积 除球以外 都是利用展开图求得的 利用了空间问题平面化的思想 把一个平面图形折叠成一个几何体 再研究其性质 是考查空间想象能力的常用方法 所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点 2 几何体的展开图 1 多面体的展开图 直棱柱的侧面展开图是矩形 正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的 底面是正多边形 正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的 底面是正多边形 2 旋转体的展开图 圆柱的侧面展开图是矩形 矩形的长是底面圆周长 宽是圆柱的母线长 圆锥的侧面展开图是扇形 扇形的半径是圆锥的母线长 弧长是圆锥的底面周长 圆台的侧面展开图是扇环 扇环的上 下弧长分别为圆台的上 下底面周长 3 把长 宽分别为4 cm 3 cm的矩形卷成圆柱 如何卷体积最大 解析 以3 cm为高时 圆柱的体积为 2 3 12 2 cm3 以4 cm为高时 圆柱的体积为 2 4 9 2 cm3 所以 以4 cm为底面周长 以3 cm为高时 卷成的圆柱体积最大 1 2009年辽宁高考 正六棱锥P ABCDEF中 G为PB的中点 则三棱锥D GAC与三棱锥P GAC体积之比为 A 1 1B 1 2C 2 1D 3 2 解析 G为PB中点 VP GAC VP ABC VG ABC 2VG ABC VG ABC VG ABC 又多边形ABCDEF是正六边形 S ABC S ACD VD GAC VG ACD 2VG ABC VD GAC VP GAC 2 1 答案 C 2 2009年陕西高考 若正方体的棱长为 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A B C D 解析 所求八面体体积是两个底面边长为1 高为的四棱锥的体积和 一个四棱锥体积故八面体的体积V 2V1 选B 答案 B 3 2009年辽宁高考 设某几何体的三视图如下 尺寸的长度单位为m 则该几何体的体积为 m3 解析 由三视图知 三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边 底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边 V 2 3 4 4 m3 答案 4 4 2009年浙江高考 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 cm3 解析 由三视图可知此几何体是由两块长 宽均为3cm 高为1cm的长方体构成 故其体积为2 3 3 1 18 cm3 答案 18 1 棱柱 棱锥 棱台是不同的多面体 但它们也有联系 棱柱可以看成是上 下底面全等的棱台 棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台 因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式 1 圆台的侧面积公式与圆柱及圆锥的侧面积公式之间的变化关系 2 柱体 锥体 台体的体积公式之间存在的关系 2 空间内何体的表面积即为全面积 注意侧面展开图的面积计算 正棱柱 正三棱锥和正三棱台的侧面展开图一定要熟记在心 如下面的示意图 3 相同几何体的体积相等 但体积相等的几何体不一定相同 4 有关旋转体的问题或球与多面体的切接问题 要特别注意应用轴截面 5 对于复杂的几何体可以分割成简单几何体的组合体 也可以用补形法解决几何体的体积问题 即可以用割补法和等积变换法求几何体的体积 课时作业点击进入链接 课时作业点击进入链接