角的概念与弧度制及任意角的三角函数.ppt

第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数 第三章三角函数与解三角形 考纲要求 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能进行弧度与角度的互化 3 理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 的定义 课前自修 知识梳理 一 角的概念1 角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 叫做 按逆时针方向旋转所形成的角叫做 按顺时针方向旋转所形成的角叫做 一条射线没有作任何旋转时 称它形成一个 射线的起始位置称为 终止位置称为 射线的端点叫做角的 2 角的分类 角 正角 负角 零角 始边 终边 顶点 正角 负角 零角 3 象限角的概念 在平面直角坐标系中 使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 角的 在第几象限 就说这个角是第几象限的角 4 轴线角的概念 在平面直角坐标系中 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴非负半轴重合 角的终边落在 就说这个角是轴线角 5 区间角 区间角是介于两个角之间的所有角 如 6 终边相同的角 与 角终边相同的角的集合 连同角 在内 可以记为 终边 坐标轴上 k 360 k Z 7 几种终边在特殊位置时对应角的集合如下表所示 k 360 k Z k 360 90 k Z k 360 180 k Z k 360 270 k Z k 180 k Z k 180 90 k Z k 90 k Z 二 弧度制1 1弧度角的定义 我们把长度等于 的弧所对的圆心角叫做 角 1弧度记作1rad 用弧度作为度量角的制度 叫做 1度的角 把周角分成360等份 则其中1份所对的圆心角叫做1度的角 用度作为度量角的制度 叫做角度制 2 角度制与弧度制的互化 180 rad 1 rad 1弧度 57 3 半径长 1弧度 弧度制 特殊角的互化 3 弧长公式 l r 是圆心角的弧度数 4 扇形面积公式 S lr r2 三 任意角的三角函数 1 三角函数的定义 以角 的顶点为坐标原点 始边为x轴正半轴建立直角坐标系 在角 的终边上任取一个异于原点的点P x y 点P到原点的距离记为r r 0 那么sin cos tan 注意 上述比值不随点P在终边上的位置的改变而改变 2 三角函数在各象限的符号 由三角函数的定义 以及各象限内点的坐标的符号 我们可以得到三角函数在各象限的符号如上表 也可概括为如下口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 若终边落在坐标轴上 则可用定义求出三角函数值 3 特殊角的三角函数值 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 4 三角函数的定义域 值域 R 1 1 R 1 1 R 5 单位圆上角 的三角函数线 正弦线 余弦线 正切线 即sin cos tan 注意 各三角函数线对应的有向线段的起点 终点位置 不要弄混了 MP OM AT MP OM AT 基础自测 1 2012 深圳市模拟 若 0 则点 tan cos 位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 0 为第四象限角 tan 0 cos 0 点 tan cos 位于第二象限 故选B 答案 B 2 经过一刻钟 长为6cm的分针所扫过的面积是 A 6 cm2B 9 cm2C 12 cm2D 18 cm2 3 用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为 4 已知角 的终边过点 a 3a a 0 则sin tan 解析 若角 的终边落在x轴上方 则2k 2k k Z 答案 2k 2k k Z 3 考点探究 考点一 终边相同的角的表示 思路点拨 1 从终边相同的角的表示入手分析问题 先表示出所有与角 终边相同的角 然后列出一个关于k的不等式 找出相应的整数k 代回求出所有角 2 可对整数k的奇 偶数情况展开讨论 解析 1 所有与角 终边相同的角可表示为45 k 360 k Z 则令 720 45 k 360 0 解得 k 由于k Z 从而k 2或k 1 代回得角 675 或角 315 2 因为M x x 2k 1 45 k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合 集合N x x k 1 45 k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合 因此M N 点评 与 角终边相同的角 连同角 在内 可以表示为 k 360 k Z 变式探究 考点二 象限角的确定 法二 把各象限均分3等份 再从x轴的正向的上方起 依次将各区域标上 并依次循环一周 则 原来是第 象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域 由图可知 是第一或第三或第四象限角 点评 1 已知角 的范围或所在的象限 求所在的象限是常考题型之一 一般解法有直接法和几何法 若 是第k k取1 2 3 4之一 象限的角 利用单位圆判断 n N 是第几象限角的方法 把单位圆上每个象限的圆弧n等份 并从x轴正半轴开始 沿逆时针方向依次在每个区域标上1 2 3 4 再循环 直到填满为止 则有标号k的区域就是角 n N 终边所在的范围 如 k 2 则角是第一或第二或第四象限的角 右图中标有号码2的区域就是终边所在位置 2 确定角所在的象限是确定函数值符号的关键 故必须掌握已知角 的范围 求与 有运算关系的角的范围这一类问题的解法 变式探究 2 已知 则k k Z 所在的象限是 A 第一象限或第三象限B 第二象限或第四象限C 第三象限或第四象限D 第一象限或第二象限 解析 是第一象限角 k为偶数时 k 是第一象限角 k为奇数时 k 是第三象限角 故选A 答案 A 考点三 角度制与弧度制的互化 变式探究 考点四 扇形弧长 面积的计算 例4 一个半径为r的扇形 若它的周长等于弧所在的半圆的长 则扇形的圆心角是多少弧度 多少度 扇形的面积是多少 变式探究 4 1 设扇形的周长为8cm 面积为4cm2 则扇形的圆心角的弧度数是 2 已知扇形的周长为20 当扇形的圆心角 为何值时 扇形的面积S最大 并求出S的最大值 考点五 利用定义求三角函数值 变式探究 5 1 已知角 的终边经过点P 5 12 则sin cos 的值为 2 已知角 的终边在直线y kx上 始边与x轴非负半轴重合 若sin 且cos 0 则实数k的值为 考点六 特殊角三角函数值的计算 点评 熟记特殊角的三角函数值是正确解题的关键 变式探究 考点七 根据三角函数值的符号确定角所处象限 取值范围 变式探究 7 1 如果点P tan cos 位于第二象限 那么 所在的象限是 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 设角 属于第三象限 且 cos 则角属于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 课时升华 1 对角概念的理解要准确 1 不少同学往往容易把 小于90 的角 等同于 锐角 把 0 90 的角 等同于 第一象限的角 其实锐角的集合是小于90 的角的集合的真子集 0 90 的角 的集合为 0 90 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 k Z 2 终边相同的角不一定相等 相等的角终边一定相同 终边相同的角的同一三角函数值相等 2 终边关于坐标轴 原点 对称的角的关系 1 终边与 终边共线 的终边在 终边所在直线上 k k Z 2 终边与 终边关于x轴对称 2k k Z 3 终边与 终边关于y轴对称 2k k Z 4 终边与 终边关于原点对称 2k k Z 3 对弧度制概念的理解要准确 等于半径长的弧所对的圆心角等于1弧度 容易错把弦长等于半径的圆心角当成1弧度 4 引入弧度制后 角的表示可用弧度制 也可用角度制 但两者不能混合使用 如 k 180 或 2k 60 等都是不规范的 5 在弧度制下 任意一个角 的弧度数都有唯一的一个实数x与之对应 反之 任何一个实数x也都对应唯一的一个角 也就是说 角的集合与实数的集合建立一一对应关系 如角 对应唯一的实数 6 三角函数也是一种函数 它可以看成是从一个角 弧度制 的集合到一个比值的集合的函数 也可以看成是以实数为自变量的函数 定义域为使比值有意义的角的范围 如tan 有意义的条件是角 终边上任一点P x y 的横坐标不等于零 也就是角 的终边不能与y轴重合 故正切函数的定义域为 7 应掌握任意角的三角函数的定义 三角函数的符号 特殊角的三角函数值 感悟高考 品味高考 2 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若P 4 y 是角 终边上一点 且sin 则y 高考预测 1 2012 广东高州三中模拟 若sin cos 0 则角 的终边在 A 第二象限B 第四象限C 第二 四象限D 第三 四象限 解析 sin cos 0 sin 与cos 符号相反 角 的终边在第二 四象限 故选C 答案 C B 感谢您的使用 退出请按ESC键 本小节结束