泰安专版2019版中考数学第一部分基础知识过关第三章函数及其图象第11讲反比例函数课件.ppt

第11讲反比例函数 总纲目录 泰安考情分析 基础知识过关 知识点一反比例函数的定义一般地 形如 y k 0 的函数叫做反比例函数 其中k为反比例函数的系数 温馨提示 1 y k 0 可变形为k xy k 0 用此式可直接求出k的值 得到反比例函数的解析式 2 y k 0 可变形为y kx 1 k 0 特别值得注意的是自变量x的指数为 1 3 对于反比例函数y 需要满足k 0 x 0 y 0 知识点二反比例函数的图象和性质1 反比例函数的图象 反比例函数y k 0 的图象是 双曲线 因为x 0 所以y 0 所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴 但不会与x轴 y轴相交 2 反比例函数的图象和性质 温馨提示反比例函数的图象是双曲线 它既是轴对称图形 又是中心对称图形 其对称轴是直线y x和直线y x 对称中心是原点 知识点三反比例函数中系数k的几何意义1 反比例函数y k 0 中k的几何意义由双曲线y k 0 上任意一点向两坐标轴作垂线 两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 k 如图 1 和图 2 PA PB y x xy k 同理可得 S OPA S OPB xy k 2 计算与双曲线上的点有关的图形面积S AOP k S APB k S APP 2 k 知识点四求反比例函数的解析式1 由反比例函数y k 0 的解析式中只有一个待定系数k可知 只需已知一组对应值或图象上一点的坐标即可求出k的值 2 待定系数法求反比例函数解析式的步骤 1 设所求反比例函数的解析式为y k 0 2 把已知的一对x y的值 或图象上已知点的坐标 代入解析式 得到关于k的方程 3 解出k的值 写出反比例函数解析式 3 反比例函数的解析式 除了常见的y 外 还可以表示为y kx 1或xy k k不为0 知识点五反比例函数的应用解决与反比例函数有关的实际问题时 一般要先确定函数解析式 再利用图象找出解决问题的方案 要特别注意自变量的取值范围 具体的过程大致可以总结为建立反比例函数模型 求出反比例函数表达式 结合函数表达式 图象性质作出解答 特别要注意自变量的取值范围 泰安考点聚焦 考点一反比例函数的图象和性质考向1反比例函数的图象例1反比例函数y 在每个象限内的函数值y随x的增大而增大 则m的取值范围是 D A m0C m 1D m 1 解析对于反比例函数y k是常数 k 0 若其在每个象限内的函数值y随x的增大而增大 则k 0 即m 1 0 所以m 1 变式1 1已知反比例函数y k 0 的图象经过点 3 1 则当1 y 3时 自变量x的取值范围是 3 x 1 解析 反比例函数y k 0 的图象经过点 3 1 k 3 1 3 反比例函数的解析式为y 反比例函数y 中 k 3 0 该反比例函数的图象在第二 四象限内 且在每个象限内y随x的增大而增大 当y 1时 x 3 当y 3时 x 1 当1 y 3时 自变量x的取值范围是 3 x 1 名师点睛对于反比例函数y k 0 中k的符号 图象所在象限 函数增减性这三者 知其一而得其二 即k 0 图象在第一 三象限 在每个象限内y随x的增大而减小 k 0 图象在第二 四象限 在每个象限内y随x的增大而增大 考向2函数值的大小比较例2 2017天津 若点A 1 y1 B 1 y2 C 3 y3 在反比例函数y 的图象上 则y1 y2 y3的大小关系是 B A y1 y2 y3B y2 y3 y1C y3 y2 y1D y2 y1 y3 解析 30 y2 y3 y1 故选B 变式2 1如果把上题中的函数关系式修改为y 答案会发生变化吗 请给出解答过程 解析有变化 2 0 函数图象在第一 三象限 且在每个象限内 y随x的增大而减小 点A在第三象限 函数值为负数 点B和点C在第一象限 y2 y3 0 y1 y3 y2 变式2 2已知A x1 y1 B x2 y2 是反比例函数y k 0 图象上的两个点 当x1y2 那么一次函数y kx k的图象不经过 B A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析由当x1y2 可知当x0 所以 k 0 所以一次函数y kx k经过第一 三 四象限 不经过第二象限 故选B 名师点睛探求 y随x的增大而如何变化 的题目 不同类型的函数有不同的解答思路 1 一次函数直接看增减性 2 反比例函数先看象限 再看增减性 考点二反比例函数中k的几何意义中考解题指导过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段 垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于 k 这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积等于 结合函数图象所在的象限可以确定k的值 反过来 根据k的值 可以确定矩形或三角形的面积 例3 2017枣庄 如图 反比例函数y 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D 则矩形OABC的面积为4 解析设D x y 函数图象过点D xy 2 D为AB的中点 点B x 2y 矩形OABC的面积为4 变式3 1 2017肥城模拟 如图 点A是反比例函数y x 0 的图象上任意一点 AB x轴交反比例函数y x 0 的图象于点B 以AB为边作平行四边形ABCD 其中C D在x轴上 则平行四边形ABCD的面积为 D A 2B 3C 4D 5 解析设点A的纵坐标是b 则点B的纵坐标也是b 把y b代入y 得 b 则x 即点A的横坐标是 同理可得 点B的横坐标是 则AB 则S ABCD b 5 故选D 易错警示因为反比例函数y k 0 中k的取值有正负之分 所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时 注意加上绝对值符号 已知矩形或三角形的面积求反比例函数解析式或k的值时 要注意函数图象所在的象限 考点三反比例函数的应用例4试验数据显示 一般成年人喝半斤低度白酒后 1 5小时内其血液中酒精含量y 毫克 百毫升 与时间x 小时 的关系可以近似地用二次函数y 200 x2 400 x刻画 1 5小时后 包括1 5小时 y与x可近似地用反比例函数y k 0 刻画 如图所示 1 根据上述数学模型计算 喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少 当x 5时 y 45 求k的值 2 按照国家规定 车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克 百毫升时属于 酒后驾驶 不能驾车上路 参照上述数学模型 假设某驾驶员晚上20 00在家喝完半斤低度白酒 第二天早晨7 2 按照国家规定 车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克 百毫升时属于 酒后驾驶 不能驾车上路 参照上述数学模型 假设某驾驶员晚上20 00在家喝完半斤低度白酒 第二天早晨7 00能否驾车去上班 请说明理由 解析 1 y 200 x2 400 x 200 x 1 2 200 图象的顶点坐标为 1 200 200 0 当x 1时 y有最大值 喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为200毫克 百毫升 将x 5 y 45代入y 得45 k 45 5 225 2 不能驾车去上班 理由 晚上20 00到第二天早上7 00 一共有11个小时 将x 11代入y 得y 20 第二天早上7 00不能驾车去上班 变式4 1某药品研究所开发一种抗菌新药 经多年动物试验 首次用于临床人体试验 测得成人服药后血液中药物浓度y 微克 毫升 与服药时间x 小时 之间的函数关系如图所示 当4 x 10时 y与x成反比例 1 根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式 2 求血液中药物浓度不低于4微克 毫升的持续时间为多少小时 解析 1 当0 x 4时 设直线的解析式为y kx k 0 将 4 8 代入得8 4k 解得k 2 故直线的解析式为y 2x 0 x 4 当4 x 10时 设反比例函数的解析式为y a 0 将 4 8 代入得8 解得a 32 故反比例函数的解析式为y 4 x 10 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y 2x 0 x 4 下降阶段的函数关系式为y 4 x 10 2 对于y 2x 令y 4 则4 2x 解得x 2 对于y 令y 4 则4 解得x 8 8 2 6 血液中药物浓度不低于4微克 毫升的持续时间为6小时 方法技巧解答反比例函数实际问题的一般步骤如下 1 审题 弄清问题中的常量与变量 探究出问题中的等量关系 2 建模 确定问题中的两个变量 列出它们之间的反比例函数解析式 3 应用 代入数值解决问题 考点四反比例函数与一次函数的综合问题中考解题指导反比例函数与一次函数的综合问题是泰安中考的必考考点 解决此类问题的关键是求得函数的表达式 注意两函数图象交点的坐标要同时适用于两函数的表达式 解题时应充分挖掘与交点有关的条件 考向1反比例函数与一次函数相结合的简单问题 例5 2018泰安 如图 矩形ABCD的两边AD AB的长分别为3 8 E是DC的中点 反比例函数y 的图象经过点E 与AB交于点F 1 若点B坐标为 6 0 求m的值及图象经过A E两点的一次函数的表达式 2 若AF AE 2 求反比例函数的表达式 解析 1 B 6 0 AD 3 AB 8 E为CD的中点 E 3 4 A 6 8 反比例函数图象过点E 3 4 m 3 4 12 设图象经过A E两点的一次函数表达式为y kx b 解得 y x 2 AD 3 DE 4 AE 5 AF AE 2 AF 7 BF 1 设E点的坐标为 a 4 则点F的坐标为 a 3 1 E F两点在y 的图象上 4a a 3 解得a 1 E 1 4 m 4 y 变式5 1如图 正比例函数y1 k1x的图象与反比例函数y2 的图象相交于A B两点 其中点A的横坐标为2 当y1 y2时 x的取值范围是 D A x2B x2 解析 反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称 A B两点关于原点对称 点A的横坐标为2 点B的横坐标为 2 结合函数图象可知 当 22时 正比例函数y1 k1x的图象在反比例函数y2 的图象的上方 当y1 y2时 x的取值范围是 22 故选D 变式5 2 2017烟台 如图 直线y x 2与反比例函数y 的图象在第一象限交于点P 若OP 则k的值为3 解析 点P为两函数图象的交点 设点P x x 2 过点P向x轴作垂线 与x轴相交于点M 在Rt OMP中 OP 根据勾股定理 得x 1 P 1 3 代入反比例函数关系式中 得k 3 考向2反比例函数与一次函数的相关计算例6 2017泰安 如图 在平面直角坐标系中 Rt AOB的斜边OA在x轴的正半轴上 OBA 90 且tan AOB OB 2 反比例函数y 的图象经过点B 1 求反比例函数的表达式 2 若 AMB与 AOB关于直线AB对称 一次函数y mx n的图象过点M A 求一次函数的表达式 解析 1 过点B作BD OA于点D 设BD a tan AOB OD 2BD ODB 90 OB 2 a2 2a 2 2 2 解得a 2 舍去 2 OD 4 B 4 2 k 4 2 8 反比例函数的表达式为y 2 tan AOB OB 2 AB OB OA 5 A 5 0 又 AMB与 AOB关于直线AB对称 B 4 2 ABO 90 ABM ABO 90 O B M三点共线 OM 2OB M 8 4 把点M A的坐标分别代入y mx n 得解得故一次函数的表达式为y x 变式6 1 2017菏泽 如图 一次函数y kx b与反比例函数y 的图象在第一象限交于A B两点 B点的坐标为 3 2 连接OA OB 过点B作BD y轴 垂足为D 交OA于点C 若OC CA 1 求一次函数和反比例函数的表达式 2 求 AOB的面积 解析 1 如图 过点A作AF x轴交BD于点E 交OB于点G 点B 3 2 在反比例函数y 的图象上 a 3 2 6 反比例函数的表达式为y B 3 2 EF 2 BD y轴 OC CA AE EF AF AF 4 点A的纵坐标为4 点A在反比例函数y 的图象上 A 将 3 2 代入y kx b得 一次函数的表达式为y x 6 2 B 3 2 直线OB的表达式为y x G 又A AG 4 1 3 S AOB S AOG S ABG 一 选择题1 已知甲 乙两地相距20千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 则汽车行驶时间t 单位 时 关于行驶速度v 单位 千米 时 的函数关系式是 B A t 20vB t C t D t 随堂巩固训练 A m 5B 0 m 5C 5 m 0D m 5 2 下图中的曲线是反比例函数y 的图象的一支 则m的取值范围是 A 3 2017威海 如图 正方形ABCD的边长为5 点A的坐标为 4 0 点B在y轴上 若反比例函数y k 0 的图象过点C 则该反比例函数 的表达式为 A A y B y C y D y 4 反比例函数y 的图象与直线y x 2有两个交点 且两交点横坐标的积为负数 则t的取值范围是 B A tC t D t 二 填空题5 2018威海 如图 直线AB与双曲线y kS2时 点P的横坐标x的取值范围为 6 x 2 解析 A 2 3 在y 的图象上 k 6 点B m 1 在y 的图象上 m 6 观察图象可知 当S1 S2时 点P在线段AB上 点P的横坐标x的取值范围为 6 x 2 6 2018滨州 若点A 2 y1 B 1 y2 C 1 y3 都在反比例函数y k为常数 的图象上 则y1 y2 y3的大小关系为y2 y1 y3 解析令t k2 2k 3 k2 2k 3 k 1 2 2 0 t 0 点A 2 y1 B 1 y2 C 1 y3 都在反比例函数y k为常数 的图象上 y1 y2 t y3 t t t y2 y1 y3 7 2018德州 如图 反比例函数y 的图象与一次函数y x 2的图象在第三象限交于点A 点B的坐标为 3 0 点P是y轴左侧的一点 若以A O B P为顶点的四边形为平行四边形 则点P的坐标为 4 3 或 2 3 解析由题意得解得或 反比例函数y 的图象与一次函数y x 2的图象在第三象限交于点A A 1 3 当以AB为对角线时 AB的中点M的坐标为 2 1 5 平行四边形的对角线互相平分 M为OP中点 设P点坐标为 x y 则 2 1 5 解得x 4 y 3 P 4 3 当OB为对角线时 由O B坐标可求得OB的中点M的坐标为 设P点坐标为 x y 由平行四边形的性质可知M为AP的中 点 结合中点坐标公式可得 0 解得x 2 y 3 P 2 3 当以OA为对角线时 由O A坐标可求得OA的中点M的坐标为 设P点坐标为 x y 由平行四边形的性质可知M为BP中点 结合中点坐标公式可得 解得x 2 y 3 P 2 3 不合题意 舍去 综上所述 P点的坐标为 4 3 或 2 3 8 如图 函数y 和y 的图象分别是l1和l2 设点P在l1上 PC x轴 垂足为点C 交l2于点A PD y轴 垂足为点D 交l2于点B 则 PAB的面积为8 点P在y 的图象上 xP yP k 1 设P的坐标是 a为正数 点A 点B PA PB 4a S PAB PA PB 4a 8 9 如图 点A是反比例函数图象上一点 过点A作AB y轴于点B 点C D在x轴上 且BC AD 四边形ABCD的面积为3 则这个反比例函数的解析式为y 解析根据反比例函数中k的几何意义及四边形ABCD的面积为3 可得 k 3 该反比例函数的图象在第二 四象限 k 3 即函数的解析式为y 三 解答题10 2018滨州 如图 在平面直角坐标系中 点O为坐标原点 菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上 顶点C的坐标为 1 1 求图象过点B的反比例函数的解析式 2 求图象过点A B的一次函数的解析式 3 在第一象限内 当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时 请直接写出自变量x的取值范围 解析 1 由C的坐标为 1 得到OC 2 菱形OABC BC OC OA 2 BC x轴 B 3 设反比例函数解析式为y 把B的坐标代入得k 3 则反比例函数解析式为y 2 设直线AB的解析式为y mx n 把A 2 0 B 3 代入得 解得则直线AB的解析式为y x 2 3 联立得解得或即一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标为 3 或 1 3 则当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时 自变量x的取值范围为x 1或0 x 3 11 某中学组织学生到商场参加社会实践活动 他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作 已知该运动鞋每双的进价为120元 为寻求合适的销售价格进行了4天的试销 试销情况如表所示 1 观察表中数据 x y满足什么函数关系 请求出这个函数关系式 2 若商场计划每天的销售利润为3000元 则其单价应定为多少元 解析 1 由题表中数据可得xy 6000 y是x的反比例函数 所求函数解析式为y 2 由题意 得 x 120 y 3000 将y 代入 可得 x 120 3000 解得x 240 经检验 x 240是原方程的解 且符合题意 答 其单价应定为240元 12 在平面直角坐标系xOy中 双曲线y 与直线y 2x 2交于点A 1 a B 1 求a m的值 2 求B的坐标 解析 1 点A 1 a 在直线y 2x 2上 a 2 1 2 4 点A的坐标是 1 4 将其代入y 中 得m 4 2 解方程组得或 点B的坐标为 2 2