矩阵运算性质及其应用.doc

第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要内容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.一 矩阵的概念及其运算方法 首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由个数字（，）排成的行列的数表，称为一个行列矩阵，简称为型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即位于矩阵的第行第列的数字，称为的元素，简称元.以为元的矩阵可简记作.型矩阵也记作或.时，型矩阵也称为阶矩阵，记作.两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵与是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵与相等，记作.有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如零矩阵，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的.单位矩阵（也记作），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵（与行列式中一样，不写出的元素就是0）.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵和，与能相加、减的条件是：与同型，即且.与相加的和记作，与相减的差记作.运算方法规定为根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如定义3 数与矩阵相乘的积记作.运算方法规定为例如定义4 设两个矩阵和，与能相乘的条件是：.与相乘的积记作.运算方法规定为的元即的第行各元素与的第列对应元素的乘积之和为的元.例如定义5 设矩阵为型，能乘方的条件是：即为方阵.为非负整数，的次幂记作.运算方法规定为，例如 定义6 将矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为的转置.记作或，即时，例如时，定义7 设矩阵，可取行列式的条件是：即为方阵.的行列式即.例如时，注：矩阵与行列式是完全不同的对象.矩阵是一张数表，不是数，而行列式就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵，能取伴随的条件是：为方阵且.的伴随记作，并称为的伴随矩阵.运算方法规定为即在中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如定义9 设矩阵，可逆的条件是：为方阵且.的逆记作，并称为的逆矩阵运算方法规定为时，；时，即一阶方阵的逆.当方阵可逆的条件不满足，即时，常说不可逆或是奇异矩阵。例如， ，有时，规定一阶矩阵的伴随，这样，求逆公式就统一为.定义10 矩阵的共轭记作，规定为.例如习题11.计算（1）；答案 （2）；答案 10.（3）；答案 .（4）；答案 .2. 设,计算.答案 .3. 设 ,计算 . 答案 .4. 已知 ，求. 答案.5. 设 ，计算 .答案 .6. 设，求. 答案6.7.求矩阵的伴随矩阵以及逆矩阵（1） ；（2）.答案（1） ，；（2），.二 矩阵运算的性质这一部分讲两个问题：其一，矩阵运算性质的发现方法类比；其二，矩阵运算性质的证明方法（定义方法及其简化形式，举反例方法，连续性方法，逆矩阵方法） 其一，矩阵运算性质的发现方法类比矩阵运算是与数值运算不同的一种新运算对象的运算.研究它们的性质，当然还是从类比数值运算的性质开始.注意到，运算的名称是规定的,因此，进行类比时，数值运算的某一运算性质就可能会类比到矩阵的每一个运算上面去.例如，类比交换性质，就是交换运算中两个运算对象的位置，就可类比出下列等式是否正确的问题：(定义中相等)（不会算）这三个等式是否正确的判别就是下面要讲的证明方法。其二，矩阵运算性质的证明方法于是要做的事情就很多了.类比数值运算，矩阵有哪些运算性质呢？在这一讲中，我们不可能将所有性质都列举出来，并逐一证明一遍，这也不必要.我们将针对某些类比性质，用举例的形式给出主要用到的证明方法，希望大家学会以后，能举一反三.定义方法及其简化形式例1 证明矩阵乘法满足结合律：.注意矩阵运算的等式是有前提条件的. 运算所要求的所有条件中，有些条件是必须作为前提条件的，有些条件是可由前提条件推出的. 而在等式中往往又写不出这些条件，那么怎么样区分哪些是前提条件呢？一般来说，等式两边的运算中，最基本运算的一边的条件是作为前提条件的，而另一边（往往可能是复合运算时，更是如此）的条件是应该要推出来的.证 等式两边都是复合运算，选取左边的运算条件为前提条件.设为型，则必须是行，可设为型，从而是型，则必须是列，可设为型，于是左边为型.而这时右边的运算条件显然就都满足了，且也是型,等式两边型相同了.下面再来证明两边对应位置的元素相等.用表示矩阵的元，这样，左边的元为为右边的元，.根据矩阵相等的定义，我们就证明了乘法结合律.从这个例子，我们看到，要证明一个矩阵运算的等式，就要做两方面的工作. 一方面找出所需要的前提条件（尽可能少）并推证出其他的运算条件是满足的. 另一方面再证明矩阵运算的等式是成立的，即等式两边型相同，且所有对应位置的元素也相等，这可以叫做矩阵相等的定义方法仿照例1的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质，其中，性质是类比分配律考虑成立与否时发现的.例2 证明伴随矩阵满足.证 根据行列式展开定理：同行展开等于行列式本身，异行展开等于零.同理.这个证明中，省略了前提条件：为方阵且阶，并推出其他运算条件的过程.且矩阵相等不是像例1那样分两步，而是直接计算的.仿照例2的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质，注意这些零矩阵可能不同型，注意这些单位矩阵可能不同阶 对于方阵和多项式，记并称为矩阵代入多项式所得的多项式，注意仍是与矩阵同阶的方阵.对于两个多项式和及方阵，交换律成立：如果为多项式，则如果为多项式，为上三角形矩阵，则对于下三角形矩阵，上述类似结论也成立.若，为多项式，则.最后，我们还指出一个很有用的性质.对于1阶方阵，总有，.举反例方法例3 举反例说明矩阵乘法交换律不成立：.解 当，不是同阶方阵时，显然.对于同阶方阵，最简单的为2阶（显然1阶方阵时，没有反例）.这时，左边的元为而右边的元为.显然，时，.于是，无论，的其他元素怎么取，都有.故可选，的其他元素都为0，即，这时.仿照例3举反例的方法，可对下列矩阵运算性质举反例进行说明.矩阵乘法有零因子，即或矩阵乘法消去律一般不成立，即且另外，由于矩阵乘法交换律不成立，从而有关因式分解的代数公式一般就都不成立，即，为奇数乘积乘方的公式也不成立，即但是，要注意，仿照例2的证明方法，显然可以证明：对于乘法可以交换的两个具体矩阵和：，上述公式中的不等号“”就都要换成等号“=”.连续性方法另外，由于乘法没有交换律，因此，若想用乘法定义除法，对于可逆矩阵，除以就应该分清是右除，还是左除，所以在矩阵运算中没有除法，因此，矩阵是永远不能出现在分母中的.又由于矩阵取行列式后，就是上一章的行列式，是一个数了.前几例的方法就不能完全用来研究矩阵运算的行列式性质.（行列式转置，值不变）（个行都提出公因子）（由归纳）时，（行列式定义和数值共轭运算性质） （举2阶反例） （举2阶反例）下面给出、的证明.先证明.首先另一方面，我们对行列式进行下列倍加列：第列的倍加到第列上去（，），有这就证明了.注意这里、为同阶方阵是前提.再证明.利用例2后面列出的性质，再根据刚证明的性质，就得到,故.最后证明.后一个等式是显然的.对前一个等式，我们采用一种连续性方法进行证明.对，当可逆时，.当不可逆时，记，显然是的次多项式，至多个不同根，其中一个根为.因此在的一个空心邻域内，可逆.由前面已证明的结论知在的一个空心邻域内总成立.令，则，而等式两边仍是的多项式，由多项式的连续性知，这时也有.逆矩阵方法对于矩阵的求逆运算，有如下特别重要的充要条件：例4 对于方阵，的充要条件是（或）.证 若为1阶方阵，上述充要条件是显然的.若方阵的阶，当可逆且时，由例2后的性质得（或）.而当时，易知、为同阶方阵，由矩阵运算的行列式性质知就得，从而可逆，再利用例2后的性质和就得到同样可证的情形.利用这个充要条件，我们就得到一个证明逆矩阵问题的方法逆矩阵方法：要证，只须证明为方阵且（或）.下面逆矩阵的性质就可以用这个方法证明.同样，举反例可说明另外，对于可逆矩阵的乘法消去律是成立的或且可逆对于伴随矩阵，除前面已列举的性质外，还有一些性质，主要用前面的连续性方法进行证明，一并列出如下：（用伴随的定义和行列式性质即得）（用归纳）（转置和伴随的定义即得）（前面已有）（用伴随的定义和行列式性质即得）（前面已有）同样，举反例可证明习题21. 仿照例1的证明方法，证明下列矩阵运算性质（1）（2）2. 仿照例2的证明方法，证明下列矩阵运算性质（1）对于两个多项式和及方阵，交换律成立：（2）如果为多项式，则(3) 若，为多项式，则.(4).(5)对于1阶方阵，总有，.3. 仿照例3举反例的方法，对下列矩阵运算性质举反例进行说明.(1)矩阵乘法有零因子，即或(2)矩阵乘法消去律一般不成立，即且(3)(4)（5） 4. 用逆矩阵方法证明下列逆矩阵的性质（1）（2）（3）（4）（5）5. 证明：如果,则必为奇异矩阵.6. 证明 .三 矩阵运算性质的应用在这一部分，我们将列举一些应用矩阵运算性质解决的问题.性质的应用例5 设，解矩阵方程.解 移项并合并同类项得故 例6 设解矩阵方程.解 移项提出公因子消去系数矩阵求解化简 由知，.从而例7 设解矩阵方程.解 化简即提出公因子消去系数矩阵求解由于，故，于是因此.性质的应用例8 设，求.解 例9 设求.解 例10 设求.解 性质:对于1阶方阵，总有，的应用例11 设，求.解.例12 设，求，使.解 或或或.逆矩阵方法的应用：由,证明可逆并求出(带余除法)例13 设满足，试证明可逆，并求出.解 先将等于零矩阵的等式左边的多项式还原成变量的多项式作为被除式，讲要求逆的的多项式还原成变量的多项式作为除式，做多项式带余除法 6即得于是从而所以可逆，且.例14 设满足，试证明可逆，并求出.解 由于，且由,可仿照例13求得可逆且可逆且从而可逆且 注：本题由于，余式不是非零常数，直接做不出来.习题31. 设，求. 答案.2. 设,求 .答案 .3.设为3阶方阵，且，求 答案：3.4. 已知. 答案.5. 解矩阵方程 （1）. 答案：.（2）. 答案：.6. 设满足且，求.答案 7. 设方阵A=, 求（1） ，（2）答案：（1）；（2）.8.已知方阵A=,计算（1），（2）.答案：；.9. 设,计算 . 答案.10.（1）若n 阶矩阵A满足，试证明可逆，并求.（2）若n 阶矩阵A满足，试证明可逆，并求.