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电气传动 2016 年 第 46 卷 第 5 期 永 磁 同 步 电 机 二 阶 迭 代 学 习 控 制 陈才学 刘偲艳 兰永红 湘潭大学 信息工程学院 湖南 湘潭 411105 摘 要 针 对 永 磁 同 步 电 机 存 在 的 周 期 性 脉 动 问 题 提 出 了 一 种 二 阶PD 型 迭 代 学 习 控 制 策 略 该 算 法 能 够 有 效 实 现 最 优 跟 踪 控 制 利 用 卷 积 的 推 广Young 不 等 式 获 得 了 系 统 跟 踪 误 差 在Lebesgue p 范 数 意 义 下 严 格 单 调 收 敛 的 充 分 条 件 进 一 步 在 定 义Q 因 子 的 基 础 上 将 一 阶 和 二 阶 迭 代 学 习 控 制 的 收 敛 速 度 进 行 比 较 获 得了二阶迭代学习控制优于一阶迭代学习控制的充分条件 最后 仿真验证了该方法的有效性 关 键 词 迭 代 学 习 控 制 永 磁 同 步 电 机 Lebesgue p 范 数 跟 踪 误 差 中图分类号 TM 341 文献标识 码 A Second order Iterative Learning Control of Permanent Magnet Synchronous Motor CHEN Caixue LIU Siyan LAN Yonghong College of Information Engineering Xiangtan University Xiangtan 411105 Hunan China Abstract A kind of second order PD type proportional derivative type iterative learning control law was proposed for the problem that periodicity pulsations exist in permanent magnet synchronous motors PMSM which achieved optimal tracking control By means of the generalized young inequality of convolution integral the sufficient condition that the tracking error is monotone convergence in the sense of Lebesgue p norm was achieved Inaddition on the basis of the definition of Q factor the sufficient conditions that the second order rule is more effective than the first order rule was achieved Lastly simulation manifests the validity and the effectiveness Key words iterative learning control ILC permanent magnet synchronous motor PMSM Lebesgue p norm tracking error 基金项目 湖南省自然科学基金 分数阶鲁棒自适应控制及其在配料控制系统中的应用 NO 14JJ 2073 2014 2016 作者简介 陈才学 1979 男 博士 副教授 Email liu 15273289995 永 磁 同 步 电 机 PMSM 由 于 其 功 率 密 度 大 转 动 惯 量 较 小 和 效 率 高 等 明 显 优 势 而 广 泛 应 用 于 先 进 制 造 领 域 的 伺 服 传 动 和 机 器 人 技 术 但 其 转 速 脉 动 问 题 一 直 被 认 为 是 工 业 应 用 中 不 可 忽 视 的 问 题 1 为 尽 量 减 小 永 磁 同 步 电 机 转 速 脉 动 实 现 最 优 跟 踪 控 制 多 种 方 案 曾 被 提 出 这 些 方 案 大 致 可 分 为 两 大 类 1 第1 类 通 过 改 进 永 磁 同 步 电 机 的 设 计 使 其 更 接 近 于 理 想 状 态 从 而 减 小 转 速 脉 动 如 斜 槽 和 分 数 槽 绕 组 2 但 这 并 不 能 完 全 消 除 电 磁 负 载 转 矩 反 而 增 加 电 机 造 价 第2 类 通 过 改 善 电 机 的 主 控 系 统 来 抑 制 脉 动 分 量 文 献 3 使 用 谐 波 电 流 注 入 法 消 除 谐 波 文 献 4 提 出 一 种 自 适 应 控 制 技 术 文 献 5 提 出 利 用 在 线 估 计 技 术 的 闭 环 控 制 算 法 这 些 控 制 技 术 能 较 好 地 减 小 转 速 但 都 依 赖 于PMSM 精 确 的 数 学 模 型 迭 代 学 习 控 制 ILC 利 用 历 史 信 息 构 成 当 前 控 制 量 不 依 赖 控 制 系 统 的 精 确 模 型 只 根 据 实 际 与 目 标 输 出 的 误 差 来 产 生 控 制 信 号 使 系 统 沿 目 标 轨 迹 快 速 精 确 跟 踪 6 7 文 献 8 提 出ILC 控 制 方 法 但 只 利 用 系 统 当 前 的 信 息 没 有 应 用 历 史 信 息 高 阶ILC 利 用 历 史 迭 代 数 据 构 造 学 习 律 可 以 获 得 更 高 的 跟 踪 精 度 9 12 文 献 9 证 明 了 高 阶 ILC 规 则 跟 踪 性 能 更 好 本 文 提 出 二 阶PD ILC 通 过 比 例 积 分 的 配 置 可 获 得 快 速 高 精 度 的 跟 踪 控 制 在 定 义Q 因 子 的 基 础 上 对 二 阶ILC 误 差 收 敛 速 度 与 一 阶ILC 误 差 收 敛 速 度 进 行 比 较 最 后 通 过Matlab 仿 真 ELECTRIC DRIVE 2016 Vol 46 No 5 7电气传动 2016 年 第 46 卷 第 5 期 及实验证明了系统的有效性 1 PMSM 数学模型 对 于 表 面 贴 装 式 永 磁 同 步 电 机 同 步 旋 转 d q 坐标下的等效数学模型为 di d dt R L i d p Li q 1 L u d 1 di q dt R L i q p i d p f L 1 L u q 2 d dt 3p f 2J i q B J T L J 3 式 中 i d i q 为 d q 轴 定 子 电 流 u d u q 为 d q 轴 定 子 电 压 L R 分 别 为 定 子 电 感 电 阻 为 转 子 机 械 角 速 度 f 为 永 磁 体 产 生 的 磁 链 J 为 转 动 惯 量 B 为 摩 擦 系 数 T L 为 电 机 负 载 转 矩 p 为同步电机的极对数 由 永 磁 同 步 电 机 数 学 模 型 可 知 PMSM 各 状 态 量 之 间 存 在 耦 合 关 系 增 大 了PMSM 控 制 系 统 的 难 度 这 里 运 用 i d 0 控 制 策 略 对PMSM 进 行 解 耦 线 性 化 即 令 定 子 电 枢 直 流 分 量 的 期 望 电 流 值 为 零 设 x1 i q x2 w PMSM 数 学 模 型 可 简 化 为 x 1 x 2 R L p f L 3p f 2J B J x 1 x 2 1 L u q T L J 4 2 迭代学习控制器 迭 代 学 习 作 为 一 种 有 效 的 改 善 系 统 跟 踪 性 能 的 控 制 方 法 其 实 际 上 是 一 种 纠 错 方 法 和 存 储 前 一 周 期 数 据 和 错 误 信 息 的 存 储 器 控 制 器 计 算 理 想 输 出 与 实 际 输 出 之 间 的 误 差 生 产 新 的 控 制量并存储起来以便下一周期使用 式 4 等价于动态系统 x k 1 t Ax k 1 t Bu k 1 t y k 1 t Cx k 1 t x k 1 0 0 t 0 T 0 5 式 中 0 T 0 为 运 行 持 续 时 间 x k 1 t y k 1 t u k 1 t 分 别 为 系 统 第k 1 次 迭 代 运 行 状 态 量 控 制 输 出 量 和 控 制 输 入 量 A B C 分 别 为 相 应 维 数 的矩阵 且假设 C B 0 L L 1 L c 1 c 2 对 系 统 式 5 的 控 制 过 程 被 称 为 迭 代 学 习 过 程 I L P L I L P L 目 标 为 生 成 控 制 输 入 量 u k 1 t 使 系 统 式 5 的 实 际 输出 y k 1 t 精确跟踪目标 y d t 即 lim k e k 1 y k 1 y d 0 定义跟踪误差为 e 定 理 假 设 向 量 函 数 f 0 T 0 R m f t f 1 t f m t T 那 么 向 量 函 数 f 的 L e b e s g ue p 范数 13 为 f p 0 T 0 max 1 i m f i t p dt 1 p 1 p 由文献 14 可知 lim p f f f sup 即上确界范数 f sup sup 0 t T 0 max f i 是 L e b e s g u e p 范数的1 个特例 引 理 14 设 标 量 函 数 g R 和 h R 均 可 积 1 p q r 1 r 1 p 1 q 1 则 g h R 且 g h r g q h p 当 r p q 1 即 为 Young 不等式 g h r g 1 h p 定 义1 设 e k e k t e k t R k 1 2 t 0 T 0 是 误 差 极 限 为 e k 的 收 敛 函 数 的 集 合 当k 时 有 lim k e k e k p 0 即 e k t e k t e k t 且 定 义 q p e k e 0 i f e k t 0 t 0 T 0 lim k sup e k 1 p e k p e k t 0 t 0 T 0 其它 假 设S L e 是 ILP L 误 差 极 限 为e 的 收 敛 函 数 数 列 的 集 合 定 义 ILP L 的 Q 因 子 为 Q L e sup q p e k e e k S L e 2 1 二阶 PD 型迭代学习策略 设 y d t t 0 T 0 为 目 标 输 出 构 造 二 阶PD 型ILC 规则 L c 1 c 2 如下 L c 1 c 2 u 2 t u 1 t p1 e 1 t d1 e 1 t u k 1 t c 1 u k t p1 e k t d1 e k t c 2 u k 1 t p0 e k 1 t d0 e k 1 t 6 t 0 T 0 k 2 3 4 式 中 下 标k 为 迭 代 次 数 p1 p0 分 别 为 一 阶 二 阶 比 例 增 益 d1 d0 分 别 为 一 阶 二 阶 微 分 增 益 c 1 c 2 分 别 为 一 二 阶 迭 代 学 习 成 分 加 权 平 均 系 数 满 足 0 c 1 1 0 c 2 1 c 1 c 2 1 e k 陈才学 等 永磁同步电机二阶迭代学习控制 8电气传动 2016 年 第 46 卷 第 5 期 为 目 标 输 出 y d t 与 实 际 输 出 y k t 的 误 差 e k y d t y k t 由于 x 0 0 可得 e k 0 0 k 1 2 3 结 合 式 5 式 6 可 得 L c 1 c 2 作 用 下 系 统 跟踪误差为 e k 1 t y d t y k 1 t c 1 y d t y k t c 2 y d t y k 1 t y k 1 t c 1 y k t c 2 y k 1 t c 1 e k t c 2 e k 1 t C 0 t exp A t B c 1 p1 e k c 2 p0 e k 1 d C 0 t exp A t Bd c 1 d1 e k c 2 d0 e k 1 对上式等式右边最后一项采用分部积分得 e k 1 t c 1 e k t c 2 e k 1 t C 0 t exp A t B c 1 p1 e k c 2 p0 e k 1 d C 0 t exp A t A B d1 e k d0 e k 1 d c 1 Cexp A t B d1 e k t 0 c 2 Cexp A t B d0 e k 1 t 0 因为 e k 0 y d 0 y k 0 0 则上式可化为 e k 1 t c 1 1 C B d1 e k t c 2 1 C B d0 e k 1 t c 1 C 0 t exp A t B p1 A B d1 e k d c 2 C 0 t exp A t B p0 A B d0 e k 1 d 对 上 式 等 式 两 边 分 别 取 Lebesgue p 范 数 并 应 用广义Young 不等式可得 e k 1 p c 1 1 C B d1 Cexp A B p1 A B d1 1 e k p c 2 1 C B d0 Cexp A B p0 A B d0 1 e k 1 p 令 1 1 C B d1 Cexp A B p1 A B d1 1 2 1 C B d0 Cexp A B p0 A B d0 1 即可得 e k 1 p c 1 1 e k p c 2 2 e k 1 p 7 当 lim k e k t 0 时 系 统 收 敛 所 以 系 统 收 敛 的充分条件为 1 1 2 1 2 2 一阶 PD 型迭代学习策略 假 设 式 6 中 当 c 1 1 时 控 制 律 退 化 为 一 阶PD 型ILC 规则 L 1 如下 L 1 u k 1 t u k t p1 e k t d1 e k t 8 t 0 T 0 k 1 2 3 式 8 中 p1 d1 与 式 6 相 同 即 u k t p1 e k t d1 e k t 为式 6 一阶成分 结 合 5 式 8 可 得 L 1 作 用 下 系 统 跟 踪 误差为 e k 1 t y d t y k 1 t y d t y k t y k 1 t y k t e k t y k 1 t y k t e k t C 0 t exp A t B p1 e k d C 0 t exp A t B d1 d e k e k t C 0 t exp A t B p1 A B d1 e k d Cexp A t B d1 e k t 0 因为 e k 0 y d 0 y k 0 0 则上式可化简为 e k 1 t 1 C B d1 e k t C 0 t exp A t B p1 A B d1 e k d 对 上 式 等 式 两 边 分 别 取 Lebesgue p 范 数 并 应 用广义Young 不等式可得 e k 1 p 1 C B d1 e k p Cexp A B p1 A B d1 1 e k p 整理可得 e k 1 p 1 C B d1 Cexp A B p1 A B d1 1 e k p 令 1 1 C B d1 Cexp A B p1 A B d1 1 即可得 e k 1 p 1 e k p k 1 2 3 当 lim k e k t 0 时 系 统 收 敛 所 以 系 统 收 敛 的充分条件为 1 1 3 收敛速度分析 定 义2 设 L 1 L 2 L 1 L c 1 c 2 为 任 意2 个 迭 代 学 习 规 则 Q p L1 e Q p L2 e 分 别为 ILP L 1 和 ILP L 2 的 Q 因子 由 文 献 15 可 知 Q 因 子 越 小 收 敛 速 度 越 陈才学 等 永磁同步电机二阶迭代学习控制 9电气传动 2016 年 第 46 卷 第 5 期 快 从 而 L 1 L c 1 c 2 收 敛 速 度 快 慢 的 比 较 问 题 转换为 Q 因子值大小的 比较问 题 令 lim k e k 1 p e k p 由 式 7 两 边 同 时除以 e k p 并取极限可得 2 c 1 1 c 2 2 0 9 二 次 多 项 式 2 c 1 1 c 2 2 被 称 为 ILP L c 1 c 2 的 特 征 多 项 式 那 么 不 等 式 9 解 的 范 围 在 特 征多项式2 个零点内 即 c 1 1 c 1 1 2 4c 2 2 2 0 则 上 述 不 等 式 等 价于 0 F c 1 这里 F c 1 c 1 1 c 1 1 2 4c 2 2 2 0 c 1 2 那么 1 c 1 1 2 4 2 1 c 1 1 2 c 1 2 4 1 2 2 4 1 2 2 c 1 1 2 c 1 2 4 2 2 4 1 2 2 c 1 2 2 1 2 c 1 2 上式表明 F c 1 0 即 F c 1 严格增 可得 F c 1 min F 0 2 F c 1 max F 1 1 所以 Q p L c 1 c 2 0 F c 1 1 Q p L 1 0 证 明 ILP L c 1 c 2 误 差 收 敛 速 度 比 ILP L 1 的快 假 设 2 若 1 2 2 那 么 F c 1 0 可 得 F c 1 1 即 Q p L c 1 c 2 0 F c 1 1 Q p L 1 0 证 明 ILP L c 1 c 2 误 差 收 敛 速 度 与 ILP L 1 相 当 假设3 若 1 2 2 那么 2 1 c 1 1 2 4 2 1 c 1 2 2 1 2 c 1 2 又 因 为 c 1 1 2 2 1 2 2 2 可 得 0 2 2 1 2 c 1 所以 F c 1 1 Q p L 1 0 证 明 ILP L c 1 c 2 误 差 收 敛 速 度 比 ILP L 1 的慢 从 上 述 分 析 可 得 比 例 增 益 p1 p 0 和 微 分 增 益 d1 d 0 的 值 决 定 不 同 的 1 2 的 值 决 定 ILP L c 1 c 2 收 敛 速 度 与 ILP L 1 收 敛 速 度 的 关 系 4 数值仿真 为 了 验 证 永 磁 同 步 电 机 在 控 制 规 律 作 用 下 的 转 矩 跟 踪 效 果 在Matlab2011 平 台 上 进 行 仿 真 永 磁 同 步 电 机 额 定 参 数 为 转 动 惯 量 J 9 10 3 kg m 2 极 对 数 p 4 定 子 电 阻2 58 定 子 交 轴 直 轴 电 感 均 为6 25mH 永 磁 磁 极 与 定 子 绕 组 交 链 的 磁 链 为0 192Wb 代 入 式 5 可 得 LTI 系统为 x 1 x 2 413 8 122 8 128 0 x 1 x 2 160 0 u y 1 0 x 1 x 2 x 0 x 1 0 x 2 0 0 设期望跟踪转矩轨迹如下 y d t 12t 2 1 t t 0 1 4 1 ILP L 1 单调收敛性 一 阶PD 型ILC 规 则 选 取 p1 0 8 d1 0 01 满 足 定 理2 的 收 敛 条 件 1 0 6 1 跟 踪 误 差的 Lebesgue 2 范数如图1 所示 图 1 ILP L 1 跟踪情况 Fig 1 Tracking behavior of ILP L 1 陈才学 等 永磁同步电机二阶迭代学习控制 10电气传动 2016 年 第 46 卷 第 5 期 仿 真 结 果 证 明 跟 踪 误 差 严 格 并 且 单 调 收 敛 4 2 ILP L c 1 c 2 与 ILP L 1 收敛速度比较 二 阶 PD 型 ILC L c 1 c 2 选 择 加 权 系 数 c 1 c 2 0 5 选 取 p1 0 8 d1 0 01 p 0 0 3 d 0 0 006 可 得 1 0 6 2 0 04 满 足 2 1 2 ILP L 1 ILP L c 1 c 2 跟 踪 误 差 的 Lebesgue 2 范数如图2 所示 仿 真 结 果 证 明 当 2 1 2 时 ILP L c 1 c 2 收 敛速度比 ILP L 1 快 选 择 p1 0 8 d1 0 01 p 0 0 3 d 0 0 01 可 得 1 2 0 6 满 足 1 2 2 ILP L 1 ILP L c 1 c 2 跟 踪 误 差 的 Lebesgue 2 范 数 如 图3 所示 仿 真 结 果 证 明 当 1 2 2 时 ILP L c 1 c 2 收 敛速度比 ILP L 1 慢 5 结论 本 文 根 据 目 前 永 磁 同 步 的 研 究 热 点 结 合 Lebesgue p 范 数 研 究 了 L c 1 c 2 L 1 中 永 磁 同 步 电 机 收 敛 速 度 分 析 不 同 比 例 微 分 增 益 对 收 敛 速 度 的 影 响 可 得 二 阶 迭 代 学 习 控 制 在 选 择 增 益 方 面 更 自 由 具 有 更 优 的 鲁 棒 性 等 特 点 参考文献 1 Jahns T M Soong W L Pulsating Torque Minimization Tech niques for Permanent Magnet AC Motor Drives a Review J Industrial Electronics IEEE Transactions on 1996 43 2 321 330 2 Chu W Q Zhu Z Q Investigation of Torque Ripples in Perma nent Magnet Synchronous Machines with Skewing J Magnet ics IEEE Transactions on 2013 49 3 1211 1220 3 Lee G H Kim S I Hong J P et al Torque Ripple Reduction of Interior Permanent Magnet Synchronous Motor Using Har monic Injected Current J Magnetics IEEE Transactions on 2008 44 6 1582 1585 4 Kung Y S Quynh N V Huang C C et al Design and Simula tion of Adaptive Speed Control for SMO based Sensorless PMSM Drive C Intelligent and Advanced Systems ICIAS 2012 4 th International Conference on IEEE 2012 1 439 444 5 Xu Y Parspour N Vollmer U Torque Ripple Minimization for PMSM Using Online Estimation of the Stator Resistances C Electrical Machines ICEM 2012 XXth International Conference on IEEE 2012 1107 1113 6 许 建 新 侯 忠 生 学 习 控 制 的 现 状 与 展 望 J 自 动 化 学 报 2005 31 6 943 955 7 吴 敬 兵 罗 安 混 合 有 源 滤 波 器 的 新 型 电 流 迭 代 学 习 控 制 J 电力自动化设备 2011 8 58 61 65 8 李 兵 强 林 辉 抑 制 PMSM 周 期 性 转 矩 脉 动 的 迭 代 学 习 方 法 J 电机与控制学报 2011 15 9 51 55 9 池 荣 虎 侯 忠 生 于 镭 等 高 阶 无 模 型 自 适 应 迭 代 学 习 控 制 J 控制与决策 2008 23 7 795 798 10 Chen Yangquan Gong Zhiming Wen Changyun Analysis of a High order Iterative Learning Control Algorithm for Uncertain Nonlinear Systems with State Delays J Automatica 1998 34 3 345 353 11 Andres D Pandit M Convergence and Robustness of Iterative Learning Control for Strongly Positive Systems J Asian Jour nal of Control 2002 4 1 1 10 12 Yang Z Chan C W Conditional Iterative Learning Control for Non linear Systems with Non parametric Uncertainties Under Alignment Condition J Control Theory Applications IET 2009 3 11 1521 1527 13 Arimoto S Kawamura S Miyazaki F Bettering Operation of Robots by Learning J Journal of Robotic Systems 1984 1 2 123 140 14 Pinsky M A Introduction to Fourier Analysis and Wavelets J Graduate Studies in Mathematics 2002 32 9 169 174 15 Xu J X Tan Y Robust Optimal Design and Convergence Prop erties Analysis of Iterative Learning Control Approaches J Automatica 2002 38 11 1867 1880 图 3 ILP L c 1 c 2 与 ILP L 1 跟踪情况 Fig 3 Tracking behavior of ILP L 1 and ILP L c 1 c 2 收稿日期 2015 09 20 图 2 ILP L c 1 c 2 与 ILP L 1 跟踪情况 Fig 2 Tracking behavior of ILP L 1 and ILP L c 1 c 2 陈才学 等 永磁同步电机二阶迭代学习控制 11