相似三角形-比例线段.doc

相似三角形——比例线段 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用区域 沪科版 课时时长（分钟） 60 知识点 比例线段的概念、比例的基本性质、黄金分割 教学目标 1、理解并掌握两条线段的比和比例线段的概念，并运用比例线段解决简单问题； 2、理解比例的基本性质，并掌握其应用； 3、理解并掌握黄金分割比及其相关概念，并学会应用。 教学重点 1、会应用比例的基本性质解决问题； 2、掌握黄金分割的实际应用。 教学难点 1、比例的基本性质； 2、运用黄金分割解决实际问题。 教学过程 一、 课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案： 1、2：（—3）=—；—4：6=—=—；=，2，—3，—4，6四个数成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即 =，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。 三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即=，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例。考点2 比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若则。 4、比例中项：若的比例中项。 考点3 在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比。其中即 四、例题精析 【例题1】 【题干】已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm。问：这四条线段是否成比例？为什么? 【答案】这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm ∴＝，＝＝ ∴＝，即线段a、c、d、b是成比例线段。 【解析】直接利用比例线段的概念解答。 【例题2】 【题干】已知 【答案】证明:∵ ∴ ∴ ∴ 【解析】利用比例的合比性质证明。 【例题3】 【题干】根据下列条件，求a:b的值。 （1）2a＝3b；（2） =。 【答案】解：（1）；（2）。 【解析】比例的基本性质直接运用，其中第2小题两次运用了性质，初学时易差错，要求学生重视对变形结果的检验，即变形后是否仍然满足“两内项之积等于两外项之积”。 【例题4】 【题干】已知=，判断下列比例式是否成立，并说明理由。 （1）=；（2）=。 【答案】解：（1）成立，理由如下： 即 （2）成立，理由如下： 设，则 【解析】（1）比较条件和结论的形式得到解题思路，利用等式的基本性质； （2）采用设比值较为简单，其实质就是等比性质。 【例题5】 【题干】如图，设AB是已知的线段，在AB上作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，请说明点H就是AB的黄金分割点。 【答案】证明：设AB=2a，那么在 ， 因此点H是AB的黄金分割点。 【解析】利用黄金分割点的定义证明。 五、课堂运用 【基础】 1、（1）已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段。 （2）已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多少？ 【答案】解：（1）a、b、c、d不是成比例线段，理由如下： ∵ b＝2cm=20mm, c＝cm=8mm ∴ ∴ ∴a、b、c、d不是成比例线段，但是a、b、d、c成比例线段。 （2）∵a、b、c、d是比例线段 ∴ ∴ ∴ ∴ 即线段d的长度是32cm。 【解析】利用成比例线段的概念解答。 2、若=，求。 【答案】 解：∵= ∴ x+y=2(2x-3y) ∴x+y=4x-6y ∴3x=7y ∴ 【解析】根据比例的基本性质，利用方程思想解答。 【巩固】 1、若x2-3xy+2y2=0，求= 。 【答案】或1 【解析】：∵x2-3xy+2y2=0 ∴（x-y）（x-2y）=0 ∴x=y或x=2y ∴或1。根据比例的基本性质，利用方程思想解答。 2、如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？ 【答案】解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则 =315000000(mm) 即s＝315(km) 量得图中,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。 答：基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。 【解析】利用比例尺的概念及比例线段的定义解答，要注意设实际距离为s，求角度时要注意方位。 【拔高】 1、 ，则k=（ ） A、2 B、-1 C、2或-1 D、无法确定 【答案】C 【解析】当a+b+c=0时，a+b=-c，b+c=-a,c+a=-b，故；当 a+b+c≠0时，利用等比性质 ，所以k=-1或2。 2、（1）x:y:z＝2:3:4，求的值。 （2）已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b＋4c的值。 【答案】解：（1）设x=2k,y=3k,z=4k，则=； （2）设a=3k,b=4k,c=5k，则2a＋3b－4c＝23k+34k-45k=-2k=-1,所以k 故2a－3b＋4c=23k-34k+45k=14k=7。 【解析】利用设比的方法进行解答。 课程小结 1、理解并掌握比例线段的概念以及比例的性质； 2、比例式变形的常用方法：(1)利用等式性质；(2)设比值。 3、比例线段在实际问题中的应用，体会数学在生活中广泛的应用价值。