超静定次数的确定及基本结构的取法.doc

第六章 力法 6—1 超静定次数的确定及基本结构的取法 超静定结构：具有多余联系的几何不变体系。 超静定次数：多余联系的数目。 多余力：多余联系所发生的力。 超静定次数的判定： 1、去掉一个支链杆相当于去掉一个约束。 x1 x1 绝对需要的约束不能去掉 x1 x1 x1 x1 x2 2、去掉一个铰相当于去掉两个约束。 x2 3、去掉一个固定端相当于去掉三个约束。 x2 x3 x1 x3 x1 x2 4、切断一个梁式杆去掉三个约束。 5、刚结变铰接去掉一个约束。 6—2 力法原理 P 例： 解：①基本结构，基本体系 ②列力法方程：基本结构在多余约束力和荷载的共同作用下，在去掉约束处的位移等于原结构的实际位移。 ——单位约束力作用下，基本结构去掉约束处的位移。 ——荷载作用下，基本结构去掉约束处的位移。 *a）、力法方程是一个位移协调方程。 b）、右侧不一定为零。 ③求系数和自由项 ④ 基本结构 P 基本体系 x1 L PL/2 P 3PL/16 5PL/32 解法二： 解：1）、基本结构； 2）、 3）、 4）、 （同上） P x1 1 PL/4 解法三： P 解：1）、基本结构； 2）、 3）、 4）、 （同上） x1 L PL/2 通过选择多种基本结构，加深理解力法方程的物理意义。 熟悉力法解题步骤，增加解题的灵活性。 例题：作M图（提问：加深对脚标的印象及系数的特点） M x2 M M x1 L 基本结构 L L L L 解：1）、基本结构； 2）、力法方程： 3）、求系数： 4）、 （讲一下弯矩图的叠加） 几次超静定的力法方程：叙述一下力法方程的物理意义。 位移协调方程。 （1）、主系数：>0 ：j方向上的单位力在I方向产生的位移。 （2）、负系数：可以正、负、零 ——位移互等定理。 （3）、：自由项 （4）、 （5）、 例题：选择恰当的基本结构，作弯矩图。 （基本结构的选择直接影响到解题过程的繁简程度） l x2 x2 l l x1 x2 x1 worst better x1 best q 6—3 荷载作用下，力法解超静定 一、超静定刚架、梁 例题： q 解： EI EI l l x1 q M 解： EI EI l l x1 l l M P 例题： x1 C B P P 2EI PL/4 EI L x2 A L/2 L/2 M 解：（1） (2)、求剪力，轴力。 QBC QCB QBA QAB QBC QBA NBA NBC Q N 例：分析图示结构（让学生先看书上例题，提问这样造基本结构的好处） x1 q=14kN/m x3 x2 3EI 6m 2EI 2EI 252kN 3m 3m 3m 3m 解：1、方程： 提示物理意义。 根据对称性： 得： 46.8 28.8 （63） 与教材所造基本结构难易程度对比， 说明利用对称性的重要性。 M（kNm） 61.2 115.2 二、桁架 例题：试计算图示桁架。 P P (1) x1 a 2a 2a P P P P (2)将水平杆去掉：列力法方程。 （说明“-”的意义） （3）将中间支链杆去掉： -P P P P P 1 三、组合结构 讲清概念，看书上例题 四、排架计算 力法解排架：将横梁看成多余联系，柱两端的相对位移等于零。 EI q l EI 3ql2/16 5ql2/16 EI l M x1 x1 l l ql2/2 P EI EI EI EI EI l Pl/3 Pl/3 Pl/3 关于不等高排架看书上例题。 Pl 6—4 对称性的利用 对称结构：对称荷载作用 对称轴截面上 对称内力位移存在 反对称内力位移等于零 反对称荷载作用 对称轴截面上 反对称内力位移存在 对称内力位移等于零 N 内力： M、N：对称内力 Q：反对称内力 Q M 位移： 反对称 反对称 正对称 利用对称性质去半边结构画弯矩。 对称荷载： P P P P x1 x2 x1 反对称荷载： P P P P x1 q q q x1 二、两跨结构 P P P P EI 只有 轴力 q 反对称荷载： 非常靠近杆，只能提供轴力。 P P EI/2 P P P P EI EI/2 EI/2 P P EI/2 P P P P 根据以上分析，对称性利用时，可分为奇数跨，偶数跨两种，其中奇数跨按单跨考虑，偶数跨按两跨考虑。 例题1： 讲清轴力图要用原结构的荷载。 Pl/2 P/2 P/2 P/2 Pl/2 Pl/2 P l l q 例题2： 1 l q q l x1 q ql2/12 M ql2/8 x1 a EI 2a a ql2/8 ql2/2 EI EI EI EI EI EI 2EI a 2EI 2EI 2EI EI EI a a a P P/2 a P/8 a/2 EI P/4 EI 习题： m m m m （1） m m l l P P （2） Pl Pl （3） l l 半边 结构 l l P P P 3Pl/8 l l 5Pl/8 5Pl/8 l （4） m m m 2l EI l l 3m/4 m l m/4 （5） m/3 2m/3 m m m/3 2m/3 P P （6） P P P 6—5 两铰拱的计算 自学看书，然后提问 6—6 支座位移、制造误差作用下超静定结构计算 一、支座位移 例1： EI 解法1：1）、基本体系 2）、力法方程：基本结构在多余约束力和支座位移的作用下，去掉约束处的位移为零。 3）、求系数和自由项。 其中：——线刚度 4）、 l 3iθ M l θ x1 l 结论：对于超静定结构，支座位移引起的内力几支反力与刚度成正比。 对于静定结构，支座位移不产生内力。 x1 解法2：1）、基本体系 2）、力法方程：基本结构在多余约束力作用下，基本结构在去掉约束处的位移为θ。 3）、 1 M 3iθ 例2： x1 x3 1 2 3 l x2 EI l 1 3 l 1 0 2 6 0 1 0 0 1 M 18 l 解法1：1）、基本体系 2）、力法方程：基本结构在多余约束力和支座位移的作用下，去掉约束处的三个位移均为零。 3）、求系数和自由项。 解法2： 尽量将有支座位移的多余约束去掉，可减少计算自由项的工作量。 x1 x3 x2 AB杆短e 二、制造误差： e B EI x1 E1A l/2 A M、N EI l/2 l/2 l/2 解：解法1、 （1） 基本体系：切断有制造误差的杆件； （2） 力法方程：在x1作用下，切开处两截面的相对位移等于e——； （3） 求系数： （4） 桁架杆 解法2、（1）、基本体系：去掉有制造误差的杆件； （2）、力法方程：在x1作用下，AB两点的相对位移等于制造误差减去杆件的伸长。 （3）、 …… x1 解法3、（1）、基本体系：将C点变成铰； （2）、力法方程：在x1和制造误差e的作用C截面两侧的相对转角为零。 （3）、 （4）、 桁架杆 *尽量将有制造误差杆切断或去掉，避免求。 练习或作业：，CD杆短了，求各杆内力。 530 D C 解： 3m -750 B A 3m 1 1 1 6—7 温度改变时超静定结构计算 例1、已知： =常数， =600m，，温度膨胀系数。求：M、N 6 B -50℃ C 0℃ x1 -50℃ 6m 基本体系 0℃ A 8m 3/4 1 20.49 163.93 27.32 M（kNm） N（kN） 解法1：1）、基本体系 2）、力法方程：基本结构在多余约束力和温度改变的共同作用下，去掉约束处的位移为原结构的实际位移。 3）、求系数和自由项。 结论：温度改变引起的内力及支反力与刚度（如EI）成正比，与线膨胀系数成正比。 4）、作内力图：基本结构（静定）在温度改变时，不产生内力，故内力由多余约束引起。 例：已知：t2 ﹥t1﹥0；（h=l/10）；求：M、N t1 t2 基本体系 t1 x2 x1 t2 l M N x2 6—8超静定结构位移计算及内力图校核 一、位移计算； 1、荷载作用； 例1：已知：M、EI、l、q；求。 ql2/12 q M C B A EI ql2/24 l/2 l/2 l/2 x3 x2 x1 l/2 l/2 x3 x1 x2 l/4 任取一个基本结构加单位力，然后计算位移。 例2：桁架（加一桁架例题），也可加一个组合结构的例题。 例题：已知：M、，求 2、支座位移作用下； B A （1） （2） M l 1 1/l 1 （1） （2） 尽量将有支座位移的多余约束去掉，选取基本结构。 解：1）、基本体系 2）、 2、温度改变作用下； 基本体系 x1 x2 t1 t2 x2 加单位力产生的 1 加单位力N=0 t1 t2 练习1： B A C 1 1 1/2 练习2： l Pl/8 Pl/8 为位移校核做准备。 B 1 例题：结构温度改变如图；（1）、试求M、N；（2）、求杆端A的转角，线膨胀系数，为常数；（3）、验证： 解： t1﹥0 x1 l t2﹥0 x2 内力图校核： 1、 平衡条件的校核只能检验由； 2、 不能检验，多余力求的对不对； 3、 只有既满足位移条件，有满足平衡条件的内力图才是唯一正确的。 例题：看书，一起看，一起讲。 已知：条件如图所示 l -15℃ B C A 25℃ l 25℃ -15℃ x1 l x2 1 1 l l 解： 6—9超静定结构与静定结构的比较 1、 静定结构除荷载外，其他任何因素都不能引起内力（如温度改变、支座位移、制造误差、材料收缩等），而超静定结构任何因素都可能引起内力。 2、 静定结构只需用静力平衡条件就可确定全部内力，与材料特性无关，而超静定结构需要同时用静离平衡和位移协调方程来求解内力，与材料性质有关。 3、 静定结构在一个联系破坏后，变成可变体系而失去承载能力，超静定结构在多余约束力去掉以后，仍能维持几何不变性。承受荷载，从抵抗突然破坏的观点来说，超静定结构比静定结构具有较强的防御能力。 4、 超静定结构内力分布均匀，充分发挥材料性能。 力法习题课 M M/2 1、 M/2 P 2、 P 9Pl/14 Pl Pl l l 3、 问：A、B两点的相对位移。 -5P/14 P EI P A EA l l l B P P 解： AB两点的相对位移：（灵活性） 4、 P -P P EA l -1 l -1 -1 5、 M l M l EI M M M 0.25M M 0.25M 0.5M 例：求内力图。 P P/2 P/2 R θ P/2 P P/2 P/2 P/2 Q N P/2 力法总结 一、 基本未知数：多余约束力； 个数：超静定次数； 力法方程（位移协调方程）：在多余约束力及各种因素作用下（荷载、温度改变、支座位移、制造误差等）基本结构在去掉约束处的位移与原结构实际位移相等。 二、 力法举例： 1、 荷载作用下： 2、 支座位移作用下： A B x1 3、温度变化： 4、桁架： 切断一个杆：（包括切断杆） 去掉一个杆： 三、位移：1、荷载作用下： 2、支座位移： 3、温度改变： 四、校核：平衡条件 位移条件