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第 四 章 函 数 的 连 续 性1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数 .从几何形象上粗略地说 , 连续函 数在坐 标平 面上 的图象 是一 条连绵 不断 的 曲线 .当然我们不能满足于这种直 观的认 识 , 而应 给出函 数连 续性 的精确 定义 , 并由此出发研究连续函数的性质 .本 节中先 定义 函数 在一点 的连 续性和 在区 间 上的连续性 .一 函数在一点的连续性定义 1 设函数 f 在某 U( x0 ) 内有定义 .若limx xf ( x ) =f ( x0 ) ,( 1)0则称 f 在点 x0 连续 .例如 , 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点 x = 2 连续 , 因为又如 , 函数limx 2f ( x) = limx 2( 2 x + 1 ) = 5 =f (2 ) .f ( x) =xsin 1x,x 0 ,0 ,x = 0在点 x = 0 连续 , 因为limx 0f ( x) = limx 0xsin 1x= 0 =f ( 0) . 为引入函数 y = f ( x ) 在点 x0 连 续 的另 一种 表述 , 记 x = x - x0 , 称为 自 变量 x( 在点 x0 ) 的增量或改变量 .设 y0 = f ( x0 ) , 相应 的函数 y ( 在 点 x0 ) 的 增 量记为y =f ( x ) -f ( x0 ) =f ( x0 + x) -f ( x0 ) = y - y0 . 注 自变量的增量 x 或函数的增量 y 可以是正数 , 也可以是 0 或负数 .引进了增量的概念之后 , 易见“ 函数 y = f ( x ) 在点 x0 连续”等价于lim y = 0 . x 070第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性 是通 过 极限 来定 义的 , 因 而 也可 直接 用 - 方 式来叙述 , 即 : 若对任给的 0 , 存在 0 , 使得当 | x - x0 | 时有|f ( x) -f ( x0 ) | ,( 2)则称函数 f 在点 x0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x0 有 极限 与 f 在 x0 连 续这两 个概 念之间的联系 .首先 , f 在点 x0 有极限是 f 在 x0 连续的必要条件 ; 进一步说“,f 在点 x0 连续”不仅要求 f 在点 x0 有极限 , 而且其 极限值应 等于 f 在 x0 的 函数 值 f ( x0 ) .其次 , 在讨论极限 时 , 我们假 定 f 在 点 x0 的某 空心 邻域 U( x0 ) 内有 定 义 ( f 在点 x0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x0 连续”则要求 f 在某 U( x0 ) 内 ( 包 括 点 x0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x0 时总是成 立的 , 所以在 极限定义 中的“0 | x - x0 | ”换成了在连续定义中的“ | x - x0 | 0 , 为使|f ( x ) -f ( 0) | = | xD( x ) | | x | ,只要取 = , 即可按 - 定义推得 f 在 x = 0 连续 . 相应于 f 在点 x0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x0 ) ( U - ( x0 ) ) 内有定义 .若limx x +0f ( x) =f ( x0 )lim-x x0f ( x) =f ( x0 ),则称 f 在点 x0 右 ( 左 ) 连续 .根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4.1 函数 f 在点 x0 连续的充 要条 件是 : f 在 点 x0 既是 右连续 , 又 是 左连续 .例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性 .解 因为f ( x ) =x + 2 , x 0 , x - 2 , x 0不妨设 12, 满足 1 的正 整q数 q 显然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使 R( x ) 的 有理数 x (0 , 1 ) 只有有限个 至少有一个 , 如 12, 设为 x1 , xn .取 = min| x1 - | , | xn - | , 1 - ,1 连续性概念73则对任何 x U(;) ( ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有 R( x ) , 当 x 为无理数 时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何 x U(;) , 总有R ( x) -R()= R ( x ) 0 .所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 .习 题1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续 : ( 1) f ( x ) = 1 ; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 : ( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x ;x| x | ( 3) f ( x ) = | cos x | ; (4) f ( x) = sgn | x | ; ( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x ,x 为有理数 , ( 6) f ( x ) = ( 7) f ( x ) =- x ,x 为无理数 ; 1x + 7 , - x - 7 ,x , - 7 x 1( x - 1 )sin 1 , 1 x 0 ( 或 0 ) , 则 对任何正数 r f ( x0 ) ( 或 r r ( 或 f ( x ) 0 时 ) 存在某 U( x0 ) , 使在其内有 f ( x) 12f ( x0 ) .定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x0 连续 , 则 f g , fg, 6f g( x0 ) 0) 也都在点 x0 连续 .以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .g/( 这里对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数nn - 1P( x) = a0 x+ a1 x+ an - 1 x + an和有理函数 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每 一点都是 连续的 .同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每2 连续函数的性质75一点都连续 .关于复合函数的连续性 , 有如下定理 :定理 4.5 若函数 f 在点 x0 连续 , g 在点 u0 连续 , u0 = f ( x0 ) , 则复合函 数gf 在点 x0 连续 .证 由于 g 在 u0 连续 , 对任给的 0, 存在 1 0 , 使得当| u - u0 | 1 时有| g( u) -g( u0 ) | 0 , 存在 0 , 使得 当| x - x0 | 时有 | u - u0 | = | f ( x ) - f ( x0 ) | 0 ,存在 0 , 当 | x - x0 | 时有| g ( f ( x ) ) -g( f ( x0 ) ) | .这就证明了 gf 在点 x0 连续 .注 根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为limx x0g( f ( x) ) = glimx x0f ( x )= g( f ( x0 ) ) .( 2) 例 1 求lim sin (1 - x2 ) .x 1解 sin( 1 - x2 ) 可看作函数 g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x2 的复合 .由 ( 2) 式得lim sin( 1 -x2 ) = sin lim(1 -x2 )= sin 0 = 0 .x 1x 1 注 若复合函数 g f 的内函 数 f 当 x x0 时 极限 为 a , 而 a f ( x0 ) 或 f 在 x0 无定义 ( 即 x0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在 u = a 连续 , 则我们仍可 用上述定理来求复合函数的极限 , 即有limx x0g( f ( x ) ) = glimx x0f ( x).( 3)读者还可证明 : ( 3 ) 式 不 仅 对 于 x x0 这 种 类 型 的 极 限 成 立 , 而 且 对 于 x 0+ , x - 或 x x等类型的极限也是成立的 .例 2 求极限 : (1 ) lim2 - sin x ; (2 ) lim2 - sin x .x 0解 (1 ) limx 0x2 - sin xxx =2 - limx 0xsin x =2 - 1 = 1; x(2 ) lim2 - sin x =2 - limsin x=2 - 0 =2 .x xx x二 闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间 a , b 上 的连续 函数 , 本 段中我 们讨 论 f 在 a , b 上 的整 体 性质 .76第四章 函数的连续性定义 1 设 f 为定义在数集 D 上的函数 .若存在 x0 D, 使得对一切 x D有f ( x0 ) f ( x ) ( f ( x0 ) f ( x) ) ,则称 f 在 D 上有最大 ( 最小 ) 值 , 并称 f ( x0 ) 为 f 在 D 上的最大 ( 最小 ) 值 .例如 , sin x 在 0 , 上有最大 值 1 , 最小 值 0 .但 一般 而言 , 函 数 f 在 其定 义 域 D 上不一定有最大值或最小值 ( 即使 f 在 D 上有界 ) .如 f ( x) = x 在 ( 0 , 1) 上 既无最大值也无最小值 .又如g( x ) = 1x ,x (0 , 1 ) ,2 ,x = 0 与 1 ,( 4)它在闭区间 0 , 1 上也无最大、最小值 .下述定理给出了函数能取得最大、最小值 的充分条件 .定理 4 .6 ( 最大、最 小 值 定理 ) 若函 数 f 在闭 区 间 a , b 上 连 续 , 则 f 在 a , b 上有最大值与最小值 .此定理和随后的定理 4.7 以及本节最后的定理 4.9 , 其证明 将在第 七章2 给出 .在这里读者先对这些定理有所了解 , 并能初步运用它们 .推论 ( 有界性定理 ) 若 函 数 f 在 闭 区 间 a, b 上 连 续 , 则 f 在 a , b 上 有界 . 易见由 (4 ) 式给出的函数 g 在闭区间 0 , 1 上无界 , 请读 者考虑为 什么对 函 数 g 上述推论的结论不成立 .定理 4 .7 ( 介 值 性 定 理 ) 设 函 数 f 在 闭 区 间 a , b 上 连 续 , 且 f ( a ) f ( b) .若 为介于 f ( a) 与 f ( b) 之间的任何实数 ( f ( a) f ( b) ) , 则至少存在一点 x0 ( a , b) , 使得f ( x0 ) = . 这个定理表明 , 若 f 在 a , b 上连续 , 又不妨设 f ( a) f ( b) , 则 f 在 a, b上必能取得区间 f ( a) , f ( b) 中的一切值 , 即有 f ( a) , f ( b) f ( a, b ) ,其几何意义如图 4 - 2 所示 .推论 ( 根的存在定理 ) 若函数 f 在闭 区间 a, b 上 连续 , 且 f ( a ) 与 f ( b)异号 ( 即 f ( a) f ( b) 0 , n 为正整数 , 则存在唯一正数 x , 使得 xn = r( x称为nr 的 n 次正根 ( 即算术根 ) , 记作 x0 =r ) .证 先证存在性 .由于当 x + 时有 xn + , 故必存在正数 a , 使得 an000 r .因 f ( x ) = xn 在 0 , a 上连续 , 并 有 f ( 0) r f ( a) , 故 由介 值性定 理 , 至 少存在一点 x ( 0 , a) , 使得 f ( x ) = xn = r .11再证唯一性 .设正数 x 使得 x n = r , 则有x nnn - 1n - 2n - 10 -x1 = ( x0 -x1 )x0+ x0x1 + x1= 0 ,由于第二个括号内的数为正 , 所以只能 x0 - x1 = 0 , 即 x1 = x0 .例 4 设 f 在 a , b 上连续 , 满足f ( a , b ) a , b .( 5)证明 : 存在 x0 a , b , 使得f ( x0 ) =x0 .( 6) 证 条件 (5 ) 意味着 : 对任何 x a , b 有 a f ( x ) b, 特别有a f ( a) 以及 f ( b) b .若 a = f ( a) 或 f ( b) = b, 则 取 x0 = a 或 b, 从 而 ( 6 ) 式 成 立 .现 设 a f ( a ) 与f ( b) 0 , F( b) = f ( b) - b 0 , 可在 ( a , b) 内 x0 的两 侧各 取异 于 x0 的 点 x1 , x2 ( x1 x0 x2 ) , 使 它们 与 x0 的 距 离 小于 ( 图 4 - 4) .设与 x1 , x2 对应的函数值分别为 y1 , y2 ,由 f 的严格增性知 y1 y0 y2 .令 = min( y2 -y0 , y0 -y1 ) ,图 4 - 4- 1则当 y U ( y0 ;) 时 , 对应的 x = f( y) 的值都落在 x1 与 x2 之间 , 故有00| f - 1 ( y) -f - 1 ( y ) | = | x -x| 0 , 存在 = () 0 , 使得对任何 x, x I , 只要 | x- x| , 就有|f ( x) -f ( x) | , 则称函数 f 在区间 I 上一致连续 .直观地说 , f 在 I 上一致 连 续意 味着 : 不 论 两点 x与 x在 I 中 处 于什 么 位 置 , 只要它们的距离小于 , 就可使 | f ( x) - f ( x) | 0 , 由于|f ( x) -f ( x) | = | a | | x-x| ,故可选取 = | a |, 则对任何 x, x ( - , + ) , 只要 | x- x| , 就有|f ( x) -f ( x) | 0 , 对任 何正数 ( 不 论 多么小 ) , 总 存在 两点 x, x I , 尽 管| x- x| , 但有 | f ( x) - f ( x) | 0 .对于本例中函数 y = 1 , 可取 0 = 1 , 对无论多么小的正数 1 , 只要取x2x= 与 x= ( 图 4 - 5) , 则虽有2| x-x| = 2但 1 ,所以 y = 1 在 ( 0 , 1) 内不一致连续 .x函数在区间上 连续 与一 致连 续 这两 个概 图 4 - 580第四章 函数的连续性念有着重要的差别 . f 在区间 I 上连续 , 是指任给 0 , 对每 一点 x I , 都存 在 相应的正数 = (, x) , 只要 x I 且 | x - x| , 就有 | f ( x ) - f ( x) | 0 , 由 f 在 I1 和 I2 上 的 一致 连续 性 , 分别 存在 正 数 1 和 2 ,使得对任何 x, x I , 只要 | x- x| 1 , 就有|f ( x) -f ( x) | ;( 7)又对任何 x, x I2 , 只要 | x- x| 0 , 存在 3 0 , 当 | x - c | 3 时有|f ( x ) -f ( c) | .( 8)2 令 = min(1 , 2 , 3 ) , 对任何 x, x I , | x- x| , 分别讨论以下两种 情形 :( i) x, x同时属于 I1 或同时属于 I2 , 则 ( 7) 式成立 ; ( ii) x, x分属 I1 与 I2 , 设 x I1 , x I2 , 则| x- c | = c -xx-x 3 ,故由 (8 ) 式得 | f ( x) - f ( c) | 2.同理得 | f ( x) - f ( c) | g( x0 ) , 则存在 U( x0 ;) , 使在其内有 f ( x ) g( x) ; ( 2) 若在某 U( x0 ) 内有 f ( x ) g( x) , 则 f ( x0 ) g( x0 ) .3. 设 f , g 在区间 I 上连续 .记F( x) = max f ( x) , g( x) , G( x ) = min f ( x) , g( x) .证明 F 和 G 也都在 I 上连续 .提示 : 利用第一章总练习题 1 .4. 设 f 为 R 上连续函数 , 常数 c 0 .记- c ,若 f ( x) c .提示 : F( x) = max - c, min c , f ( x) .x - , x0 ,5. 设 f ( x) = sin x , g( x) =x + , x 0 .证明 :复合函数 f g 在 x = 0 连续 , 但 g 在 x = 0 不连续 .6. 设 f 在 a , + ) 上连续 , 且 limx + a , + ) 上必有最大值或最小值吗 ?f ( x ) 存 在 .证明 : f 在 a , + ) 上 有界 .又 问 f 在7. 若对任何充分小的 0 , f 在 a + , b - 上连续 , 能否由此推出 f 在 ( a , b) 内连续 .8. 求极限 :2 ( 1) lim (- x ) tan x ; (2 ) lim x1 + 2 x -x- 1 .x 4x 1 +x + 19. 证明: 若 f 在 a , b上连续 , 且对 任何 x a , b , f ( x ) 0 , 则 f 在 a , b 上 恒正 或 恒负 . 10. 证明 :任一实系数奇次方程至少有一个实根 .11. 试用一致连续的定义证明 : 若 f , g 都在 区间 I 上一 致连 续 , 则 f + g 也 在 I 上一 致 连续 . 12. 证明 f ( x) =x 在 0 , + )上一致连续 . 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) , 利用定理 4.9 和例 10 的结论 .13. 证明 : f ( x) = x2 在 a , b 上一致连续 , 但在 ( - , + ) 上不一致连续 .14. 设函数 f 在区间 I 上满足利普希 茨 ( Lipschitz) 条件 , 即存 在常数 L 0 , 使得 对 I 上 任意两点 x, x都有| f ( x) -f ( x) | L | x- x| .证明 f 在 I 上一致连续 .15. 证明 sin x 在 ( - , + ) 上一致连续 . 提示 : 利用不等式 | sin x- sin x| | x- x| ( 见第三章1 例 4) . 82第四章 函数的连续性 16. 设函数 f 满足第 6 题的条件 .证明 f 在 a , + ) 上一致连续 .17. 设函数 f 在 0 , 2 a上连续 , 且 f (0 ) = f (2 a) .证 明 :存在 点 x0 0 , a , 使 得 f ( x0 )= f ( x0 + a) .18. 设 f 为 a , b上的增函数 , 其值域为 f ( a) , f ( b) .证明 f 在 a , b 上连续 .19. 设 f 在 a , b上连续 , x1 , x2 , xn a , b .证明 :存在 a , b , 使得f () = 1 f ( x ) + f ( x ) + f ( x) .n12n 20. 证明 f ( x) = cosx 在 0 , + )上一致连续 . 提示 : 0 , + ) = 0 , 1 1 , + ) .在 1 , + ) 上成立不等式cosx- cosx x-x x- x .3 初等函数的连续性从前面两节知道 , 在基本初等函 数中 , 三 角函 数、反三角 函数 以及有 理指 数 幂函数都是其定义域上的连续函数 .本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂 函数的连续性 , 以及初等函数的连续性 .一 指数函数的连续性在第一章中 , 我们已定义了实指数的乘幂 , 并证明了指数函数 y = ax( 0 0 , , 为任意实数 , 则有+ a a= a, ( a )= a. 证 不妨设 a 1 , 则 ax 由第一章3 (6 ) 式所定义 , 即ax = supr 0 , 设 r , s 为两个有理数 , 且 r , s , 使得由 ax 的严格增性得a- ar , a- as .又有 aras = ar + s , 故得ar + s a+ .+ 由 的任意性推出( a- ) ( a- ) a.+ a a a. 为证相反的不等式 , 设 p 为有理数 , 且 p + , 使得a+ - ap .再取有理数 r , s 使 r , s 以及 p r + s , 则有3 初等函数的连续性83故得到ap ar + s = ar as a a, a+ - 0 ) 在 R 上是连续的 .证 先设 a 1 .由第三章 2 例 4 知lim ax = 1 = a0 ,x 00这表明 ax 在 x = 0 连续 .现任取 x R .由定理 4.10 得ax = ax0 + ( x - x0 ) = ax 0 ax - x0 .令 t = x - x0 , 则当 x x0 时有 t0 , 从而有limx x0ax = limx x0ax0 ax - x 0 = ax0 limt 0at = ax 0 .0这就证明了 ax 在任一点 x 连续 .当 0 a 1 时 , 令 b
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