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投资收益和风险的优化模型摘要如何投资是现代企业所要面临的一个实际问题，投资的目标是收益尽可能大，但是投资往往都伴随着风险。实际情况不可能保证风险和收益同时达到最优，因为收益和风险是矛盾的两个方面，收益的增长必然伴随着风险的提高。“高风险，高回报”是经济学中一个重要的准则。但是企业总是追求风险尽可能小，与此同时又追求收益尽可能大。怎样分配资金才能做到统筹兼顾？在本文中，我们首先建立了一个多目标规划模型（模型一），目标函数分别为风险和收益。由于是一笔相当大的资金，所以我们开始先忽略了对模型的影响，将其转化成了一个形式更为简单的多目标线性规划模型。为了求解此模型，我们将风险的上限限制为c，这样多目标规划模型就转化成了一个带参量c的线性规划模型（模型二）。当给定参数c时，这带参量c的线性规划个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值。所以若c作为变量，便是一个关于c的函数。如果我们求得了函数，就能够知道：当公司能承担的总风险损失率时，公司能得到的最大总平均收益率，及其应投入各个项目的资金率。这样我们在求解模型二的同时，也将模型一的非劣解解空间给了出来，即图1中的OA、AB段。不同的企业，对于风险和收益的侧重不同，所以作出的决策也不同，自然得到的收益和承受的风险也不尽相同。但无论怎样都应在我们给出的非劣解解空间中取值，这样才可能实现“风险尽可能小，收益尽可能大”。针对第一组数据，我们给出了一个“通用性较强”的投资分配方案，即对大多数企业都合适的投资选择方案，应用此方案，总风险为, 总收益可以达到；类似地，针对第二组数据，我们利用效用函数的方法也给出了一个“通用性较强”的投资分配方案应用此方案，总风险为, 总收益可以达到。在模型评价中，我们通过分析在考虑后,模型以及解的改变程度,验证了对模型的改变很小,可以忽略不计,从而证明了我们给出的模型的正确性、实用性。关键词 投资风险 收益 投资方案 多目标规划 线性规划 非劣解一 问题的提出某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。现在市场上有种资产（如股票、债券、）（）供投资者选择，公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是,且既无交易费又无风险。（=5%）我们在此建立数学模型，为企业作出一种投资方案，使企业得到的收益近可能的大,与此同时要求企业承受风险尽可能的小。两组数据如下：表1：数据表1(%)(%)(%)(元)282123252.51.55.52.6124.56.51031985240表2：数据表2(%)(%)(%)(元)9.618.549.423.98.11440.731.233.636.811.89359.415425460421.2396833.453.340315.5465.3232.13.261.57.63.45.63.12.72.95.15.72.74.57.6181407428549270397178220475248195320267328131二 基本假设1. 假设总资产为一笔相当大的资金。2. 总资产全部用于投资项目或存入银行，没有闲置资产。3. 若资产存进银行，交易费和风险损失率为零。4. 若资产存进银行，平均收益率用同期银行利率来计算。5. 总风险可以用所投资项目中最大的一个风险损失值来度量，即。6. 当第个项目投资额不超过时，交易费按购买计算，且不买无须付费；投资额不超过时，按费率计算。7. 我们认为种资产的平均收益率，风险损失率，交易费率在一定时期内都保持不变。8. 银行的利率也在一定时期内保持不变。三 符号说明公司要投资的总资金总共的项目数时表示将资金存入银行第个项目（）投入的资金数目（）投入的资金数目占总资金的百分比（）同期银行存款利率，5购买的平均收益率（）,表示将资金存入银行的风险损失率为零购买的风险损失率（）,表示将资金存入银行要交的费率为零购买要交的费率（）当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（）购买要交的总手续费（）公司能承受的最大的总风险损失率总收益总平均收益率，即/总风险，即各投资项目中最大的风险值总风险损失率，即/项目要盈利的最小投入资本四 问题分析 公司在一定时期内的投资决策，主要由三个因素制约：第一，投资项目的盈利空间；第二，投资项目的风险大小；第三，投资项目的费用。显然，投资的目的是为了尽可能多的盈利，这样就希望将钱投入收益率较大的项目，然而，高收益往往伴随着高风险，如果为了多盈利而投资收益大的项目，往往带来了较大的风险，这就需要综合评价各个项目的收益与风险，从中恰当的进行取舍找到最优结合点。 以上投资问题的目标是使风险尽可能的小而收益尽可能的大，即达到最优化，同时目标的实现又受具体项目风险,费用和获利的制约，所以这是一个关于优化的规划问题，属于一个多目标决策。目标函数有两个：一、总收益尽可能的大；二、总风险损失尽可能的小。如果直接给出一个评价函数，对目标进行求解，则由于多目标决策求解的复杂性和不定性，求解的过程将显得非常繁琐而且得到的结果并不具有普适性（因为对于不同的人或情况，对风险和收益的侧重不同）。所以我们可以通过对其中的一个目标进行限制，作为另一个目标的约束条件，再对其进行求解。这样就将多目标决策转化为基本的单目标决策。由于总风险的大小是取各项风险的最大值，而不是简单的线性关系，所以为了简化运算，具体的，我们对总风险损失率进行限制（即得到公司能承受的最大总风险损失率），作为总平均收益率求解最优的约束条件，再对其进行求解。这样我们对于每一个公司能承受的最大总风险损失率，总有一个总平均收益率的最优值与之相对应。这样便得出了总收益最优和公司能承受的最大风险之间的函数关系。根据关系函数，能得到一个非劣解的可行域。然后可根据各种实际情况选择一个适当的评价函数，在可行域中便可找到最优的投资方案。这样可使模型具有普适性，而且模型求解的过程也变得简单而清晰。五 模型的建立与求解(1) 模型的建立模型一 多目标规划模型购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算，且不买无须付费。所以购买要交的总手续费为： ，由于要使风险尽可能的小，且收益尽可能的大，所以得到以下多目标规划模型： s.t. ， 但是由于是一个分段函数，所以不易求解。考虑到是一个相当大的值，若对项目进行投资，则投资到的资金也会很大（）。基于以上分析，我们对模型作如下的简化： 1)先暂时把当作线性函数： 2)将作归一化处理：令, , 得到的多目标规划模型如下：s.t. ， 为了求解此多目标规划模型，我们将其转化为模型二：带参量c的线性规划模型。模型二 带参量c的线性规划模型 由于的平均收益率小于其他项目的平均收益率，只要将投入的比率减小，将其他项目的投入比率加大（0的不变），收益便一定会增大。但此时风险也相应的增大了。所以当要想获得更大的收益，必须要承担更大的风险。我们假定公司能承受的最大总体风险损失率为，即：可以写成：，。在此约束条件下，上面的多目标规划模型可以转化成带参量的线性规划模型，如下：s.t. ， ， ， ， 若给定c的值，这个模型就是一个一般的线性规划模型，由此可以唯一地求解出目标函数的最大值。所以若c作为变量，便是一个关于c的函数，c0。由以上分析可知，如果我们求得了函数，就能够知道：当公司能承担的最大总风险损失率时，公司能得到的最大投资收益值，及其应投入各个项目的资金率。从而，多目标规划模型的非劣解解空间也就求解出来了。下面我们就来求函数。(2) 模型的求解第一组数据的求解：为了搞清楚风险与收益之间关系函数，我们用计算机来计算对于一组给定的总风险损失率上限c，代入到上面的线性规划（模型二）中去，进而得到一组总平均收益率的最大值，然后比较这些值，从中选择一个较符合实际的解作为最优解。首先，必须确定总风险损失率（）的可能范围。显然最大的就是将所有的钱都投入到风险损失率最大的项目中去，而最小的风险就是将所有的钱都存入银行中去，这时没有风险，即风险为0。所以对于第一个例子，的可能范围是0, 5.5%。为了准确反映风险与收益的关系，在0到0.055之间取100个分度，来代入到上面的线性规划（模型二）中去，分别求解相应的最大总平均收益率，以及最大收益时资金的分配情况。运用MATLAB进行求解我们得到101组值，将部分列表（如表3）。c表示总风险损失率的上限。表3：总风险损失率上限c与最大总平均收益率的关系表 （4）序号c (%) (%) (%) (%) (%) (%)(%)00.0000100.000.000.000.000.005.000010.055091.022.203.671.002.126.417920.110082.044.407.332.004.327.835830.165073.056.6011.003.006.359.253740.220064.078.8014.674.008.4610.671650.275055.0911.0018.335.0010.5812.0896100.550010.1822.0036.6710.0021.1519.1791110.60501.2024.2040.3311.0023.0720.5970120.66000.0026.4044.0010.0919.5120.9640130.71500.0028.6047.6712.5811.1521.1693140.77000.0030.8051.3311.086.7921.3747150.82500.0033.0055.007.434.5721.5800442.42000.0096.803.200.000.0026.7440452.47500.0099.001.000.000.0026.9200462.53000.00100.000.000.000.0027.0000472.58500.00100.000.000.000.0027.0000995.44500.00100.000.000.000.0027.00001005.50000.00100.000.000.000.0027.0000从表中我们可以看到随着c的增加，也相应的增加，这说明风险越大，收益也越大。而随着收益的增加，投资由银行逐渐向项目集中。事实上当=2.53%时，就达到了最大值，这说明实际投资的风险最大为2.53%，如果企业对风险的要求很低，完全可以接受2.53%的风险损失率，那么可将所有资金都投入第一个项目。然而实际上对于一个企业来说，风险与收益是必须统筹兼顾的，那么既然是高风险高回报，能不能找到一个比较好的结合点，使投资风险比高一些呢？经过作图观察，与c并不是线性关系，这里将风险与收益的关系图通过上面列出的101个点画出，得到如下曲线：图1 投资风险上限c与投资收益关系图 （4） 很显然，图中的曲线是由三段线段组成的折线，有两个转折点，分别为A(0.61,20.59)、B(2.5,27)。 根据此图，我们可以看出：（1）在OA段，随着公司能接受的风险上限的增加，公司的最大收益增长很快。在A点处20.7。（2）在AB段，随着公司能接受的风险上限的增加，公司的最大收益的增长速度相对较慢。在B点处达到最大值27。（3）在BC段，随着公司能接受的风险上限的增加，不再增加。也就是说，OA段、AB段上的所有点（不只是画出的点）都是符合公司选择要求的，即风险尽可能小、收益尽可能大，反映在模型中，即解向量满足以下两个方程：其中(,)是在OA、AB线段上的所有点。这样，我们便解出了多目标规划模型（模型一）的非劣解解空间。 虽然OA、AB线段上的所有点都符合要求，但在此我们特别地给出一种投资方案。“通用性较强”的投资分配方案“通用性较强”的投资分配方案是指：对于不很保守、又不很贪心的决策者都能接受的方案。 从图上明显可以看出A点是“通用性较强”的方案。因为OA段总平均收益率随着可接受风险损失率增长速度很快，之后AB段增长速度明显放缓。 “通用性较强”的分配方案(A点)如下： (%) (%) (%) (%) (%)1.1924.240.3311.0023.27此时，总风险损失率上限0.61, 总平均收益率g20.59。第二组数据的求解 同样地，我们用同上面类似的方法借助于计算机对于一组给定的总风险损失率代入上述的线性规划里去，对总平均收益进行最大值求解得到。然后比较这些值，从中选择一个较符合实际的解作为最优解。 根据题目中的16个项目（包括存入银行）的不同的风险损失率，和问题1类似很容易得到总风险损失率（）的取值范围。即0,68%。 为了准确反映风险和收益之间的函数关系，表示公司可接受的风险的上限，我们让它在0,68%之间取100个分度，代入上述线性规划模型，用MATLAB分别求解相应的最大总平均收益率，以及最大收益时资金的分配情况。同样将得到101组值，部分列表（如表4）：表4：总风险损失率上限c与最大总平均收益率的关系表（15）序号c(%) ()(%)00.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00005.000010.68000.3694 0.0126 0.0113 0.0162 0.1785 0.0174 0.0100 0.0204 0.0128 0.0170 0.0219 0.1236 0.0148 0.1283 0.0296 0.01625.400921.36000.0174 0.0324 0.0252 0.0227 0.0324 0.0784 0.0349 0.0200 0.0407 0.0255 0.0340 0.0439 0.2473 0.0296 0.2566 0.059110.301932.04000.0000 0.0486 0.0378 0.0340 0.0486 0.0000 0.0523 0.0300 0.0611 0.0383 0.0510 0.0658 0.0147 0.0443 0.3849 0.088714.205342.72000.0000 0.0648 0.0504 0.0453 0.0648 0.0000 0.0697 0.0400 0.0814 0.0510 0.0680 0.0877 0.0000 0.0591 0.1994 0.118317.338453.40000.0000 0.0810 0.0630 0.0567 0.0810 0.0000 0.0872 0.0500 0.1018 0.0638 0.0850 0.1090 0.0000 0.0739 0.0000 0.147820.4467106.80000.0000 0.0000 0.0000 0.1133 0.1377 0.0000 0.0000 0.1000 0.2036 0.1276 0.1700 0.0000 0.0000 0.1478 0.0000 0.000031.7134117.48000.0000 0.0000 0.0000 0.1247 0.0514 0.0000 0.0000 0.1100 0.2240 0.1403 0.1870 0.0000 0.0000 0.1626 0.0000 0.000032.6447128.16000.0000 0.0000 0.0000 0.1360 0.0000 0.0000 0.0000 0.1200 0.2095 0.1531 0.2040 0.0000 0.0000 0.1774 0.0000 0.000033.3777138.84000.0000 0.0000 0.0000 0.1473 0.0000 0.0000 0.0000 0.1300 0.1436 0.1659 0.2210 0.0000 0.0000 0.1922 0.0000 0.000033.8175149.52000.0000 0.0000 0.0000 0.1587 0.0000 0.0000 0.0000 0.1400 0.0778 0.1786 0.2380 0.0000 0.0000 0.2070 0.0000 0.000034.25731510.20000.0000 0.0000 0.0000 0.1700 0.0000 0.0000 0.0000 0.1500 0.0119 0.1914 0.2550 0.0000 0.0000 0.2217 0.0000 0.000034.69714429.92000.0000 0.0000 0.0000 0.4987 0.0000 0.0000 0.0000 0.4400 0.0000 0.0000 0.0613 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000039.16534530.60000.0000 0.0000 0.0000 0.5100 0.0000 0.0000 0.0000 0.4500 0.0000 0.0000 0.0400 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000039.28504631.28000.0000 0.0000 0.0000 0.5213 0.0000 0.0000 0.0000 0.4600 0.0000 0.0000 0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000039.40474731.96000.0000 0.0000 0.0000 0.5327 0.0000 0.0000 0.0000 0.4673 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000039.52119967.32000.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000043.400010068.00000.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.000043.4000根据表2中列出的c和的101组对应值可画出关于c的函数图像。如图2所示：图2 投资风险上限c与投资收益关系图（15）图2和图1对比分析可看出，收益率的最优值仍旧随着允许风险损失率的增加而增加，仍旧不是线性函数，但是增加的趋势有所不同。图1中的曲线基本上由三条折线段组成，随的变化率变化比较明显。而图2中的曲线随的变化率变化的相对平坦。只有在点(68，43.4)处随的变化的斜率突然减小。 和图1一样，由图2可得到投资问题的非劣解空间，即所有满足以下方程的解向量： 其中，(,)是图2中点O(0,5)到点C(68,43.4)之间的所有的点（不只是画出的点）。具体分析因为在C点以后，随着允许风险损失率上限的进一步提高，最大收益已经不再提高而保持不变。所以在C点以后的点均为劣解，而从点O(0,5)到点C(68,43.4)之间均在不同程度上满足不同情况的公司。对比较注重风险的公司可把投资点选在O点的附近，因为O点附近的允许风险损失率上限比较低；而偏重收益的公司可以把投资点选在C点附近，因为C点附近的收益率较高。但是，任何一种选择必然不能即获得风险的最低值，又获得收益率的最高值。而这一点也恰恰符合了实际情况：高收益必然伴随着高风险。“通用性较强”的投资分配方案：同样地，作为一个实际的企业，必然要求风险与收益统筹兼顾，不能极端地偏向任何一端，所以我们用类似与求解第一组数据的方法来求解上述数据。在第一组数据的风险投资图中，可以明显的看出随增长率的转折点，而在上述这组数据图中随增长率没有明显的变化。所以并不能够完全的照搬上面的做法来作出决策。由此，我们定义： ; 其中和分别表示和的效用函数，我们利用这两个效用函数作出风险损失率上限率和最佳收益率的效用函数曲线（如下图所示）在O点和C点之间（因为在C点以后不再随着增加而增加）。由上式可以看出和分别是把两个目标函数从最低值到最高值之间看为单位1，而和是在区间0,1之间取值（即通过归一化而得出的结果）。这样函数上的点就有了实际的意义，其横纵坐标分别表示决策所占整个目标值的权重。我们由上述归一化的结果而得到的效用函数曲线，观察可得到在靠近O点的附近点增长的比增长的要快，在C点的附近增长的比增长的要慢。从投资的实际情况来解释就是在O点附近承受的风险上限增加一点，就可以换得较高的收益增长，而在C点附近承受的风险上限增加许多，确只能换来较低的收益增长。作为一个风险与收益统筹兼顾的实际公司，可以把增长率和增长率相等的点作为决策点，即：因为这一点是转折点，这点以前增长得相对较快，只需增加较少的风险便能够获得较大的收益增加；而这点以后增长得相对较慢，需增加较大的风险，才能增加较小的收益。具体的，我们可以做一簇斜率1的直线，则必有一条（即图中的45度切线）与效用曲线相切，设切点为A,则A点即为所求的通用性较为强的决策点。0.1685；0.7734从中可解出34.70，10.20。而相对应的投资分配方案如下表所示：(%)(%)(%)(%)(%)(%)(%)(%)0.00000.00000.000017.000.00000.00000.000015.00(%)(%)(%)(%)(%)(%)(%)(%)1.19019.1425.500.00000.000022.170.00000.0000风险损失率为10.20；收益率为34.70。图3 风险上限与最佳收益的效用曲线六 模型的改进 在第一个模型中为了使模型简化，我们将费用近似的看成一个对的线性关系，那么这样的假设是否合理，对结果的影响有多大呢？首先，对于第一种情况下的四种投资，如果考虑的影响，那么当时，收费将按的费用收取，这相对于模型中的线性关系实际上是增加了收费。按最坏的情况考虑，假定公司对每种投资都有涉足，而投入的金额无限小，那么我们可以算出相对于费用与投入的线性模型，考虑后至多会增加多少费用：由于增加了多收费的限制，显然对于某一给定的风险损失率，收益的最大值不可能比多目标规划模型(模型一)中的大，同时由于多目标规划模型的非劣解解空间已经存在，将其带入考虑后的模型中，得到的收益至少应为11.23，那么应该在至11.23之间取值。其次， 由题目给定的条件，公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资，那么根据常识判断，至少应在10000元以上，即使将这些钱全部存入银行，也有5的利率，从而获得收益500元，-11.23与 之比：显然这个比例非常接近于1，也就是说考虑的影响后，最优解与风险损失率的关系与线性模型中的仍保持相当的一致，可以说在线性模型中评价的最优解，在考虑的影响后的模型中仍可认为是最优解。 另外，在考虑的影响后，会出现这样一种情况，即当对某一项投资小到一定程度时，会出现只要投资就必然亏本的问题。例如对第三个项目只投资5元，那么必须交纳52*4.52.34（元）的费用，而这个项目预期只能获得5*0.251.25（元）的利润，实际上亏损了2.34-1.251.09（元），而只要将这些钱存入银行，那么既没有风险，又可获利5*0.050.25元。从这一点出发，我们的模型需要作进一步的改进。首先，要求出每一个项目要盈利的最小投入值。因为，所以， 求得的如下：4.4824.7513.0013.00对原MATLAB的程序进行修改，使当对某个项目的投资额小于最小值时，该项目的投资自动收回，并存入银行。经过上面的改动后，运行程序，求出了一组新的最大收益值，对比以前的值，取其增量，绘制成图2如下：图4 考虑的影响后利润的差值图由此图我们可以看到，虽然对模型进行了修正，但实际上收益值基本不变，即使是最大的增加值，也只有0.000375。这表明原模型经修正后，结果变化极小，完全可以忽略，同时也从另一方面证明了的影响极小，可以根据以上的模型求解。七 模型的评价 本模型的建立，是为了解决现实生活中的投资问题。公司以盈利为目的，希望将一定的资金用来投资，来得到较高的回报。这就涉及到投资项目的选择问题。一方面，投资的利润越高越好，一方面，又希望投资的风险不能太大，来保证投资的成果。然而由于市场的成熟和完善，实际的投资项目往往并不是利润又高，而风险又小的，高收益往往伴随着高风险，若要追求低风险，那么投资的回报必不会很高。为了表示这种风险与收益之间的矛盾关系，我们在建立数学模型时，引入了多目标规划，通过两个目标函数，客观的反映了现实中的需求情况。同时，在实际投资过程中，往往并不仅仅是投资与风险那么简单，其中还涉及到费用的问题，而费用往往有一个最低限的问题，在模型中，我们用一个分段函数来表征这一现象。总的来说，最开始的模型的建立是比较符合投资的实际的。然而它比较复杂，由于费用的非线性，就不能用一般解多目标规划的方法，这给求解带来很大的困难。为了能使模型求解，我们经数据分析发现，如果将费用的非线性关系转换为简单的线性关系，简化后的模型几乎与原模型保持一致，这样问题的中心就转化为对线性模型的求解。该模型是一个线性的多目标规划问题，对这类问题的求解必然牵涉到对风险与收益的评价问题，也即是风险与收益孰轻孰重的问题。然而对于实际的投资，不同人对这个问题的看法往往不同，甚至大相径庭。例如有的人会为利润铤而走险，而有些人则不愿冒险，宁愿把所有钱存入银行中去。针对这个问题，如果能找出风险与收益之间具体的关系，得到其非劣解的分布，那么无疑方便我们作出投资决策。这样，我们对风险的最大值给出一组限定值，作为条件，而将收益作为目标函数，得到标准的线性规划，用计算机求解，画图，从而得到风险与收益的直观图像。最后我们根据一般的经验，取利润增长最快，同时利润最大的点作为给出的投资方案。整个模型基本符合实际的投资情况，能较全面的反映投资中各各因素的关系，同时该模型又可解，可以得到一个比较好的投资方案，这样也就比较全面，完善的解决了题目中所要求的投资问题。 参考文献1 运筹学教材编写组，运筹学，北京：清华大学出版社，1990年。2 苏金明，MATLAB工具箱应用，北京：电子工业出版社，2004年。3 楼顺天，MATLAB 5.x程序设计语言，西安：西安电子科技大学，2000年。2004年8月9日