计算国土面积数值分析课程设计.doc

课程设计题目 第一题 计算国土面积 图 3 8 是某国的地图 为了计算它的国土面积 首先对地图作如下测量 以由西 向东方向为 轴 由南到北方向为 轴 选择方便的原点 得到了表 3 6 表 3 7 的地xy 图测量数据 比例尺为 30 毫米 数据单位 100 公里 实际单位 试由测量数据 采用插值的方法产生一张需要的地图 计算该国国土的近似面积 与它的精确值 156 6500 万平方公里比较 表 3 6 表 3 7 见附件 表3 6 下边疆采样坐标 x y 17 299 18 298 20 288 31 273 41 262 58 254 66 234 72 220 72 207 69 191 57 175 60 166 71 160 104 150 130 137 146 121 160 117 163 106 168 83 179 64 196 63 223 56 258 50 282 52 307 46 315 38 330 32 352 21 377 21 377 16 392 14 428 34 462 43 501 46 524 60 533 75 555 95 542 114 550 138 561 139 574 133 590 133 599 139 610 157 635 162 644 174 649 188 669 200 671 207 677 205 678 206 696 216 720 218 723 225 表3 7 上边疆采样坐标 x y 723 225 722 220 710 240 687 256 676 256 659 241 647 245 630 237 619 245 623 254 626 273 633 309 608 308 596 315 581 315 558 290 537 281 511 270 484 270 464 272 456 278 449 290 434 293 425 301 411 303 394 308 368 297 351 303 332 311 329 337 312 342 284 353 281 358 263 365 251 356 249 347 244 346 240 332 247 314 233 297 222 290 217 297 209 298 189 301 180 303 169 307 165 314 165 325 150 328 138 332 138 337 132 336 127 341 122 338 102 332 86 328 65 322 64 316 54 314 32 314 28 307 17 299 MATLAB 求解不规则图形面积 摘 要 本文建立在数值分析的理论基础上 对原有的数据进行三次样条插值 运用 梯形公式求解面积 能够在 MATLAB 环境中运行 给出了理论分析 程序清单以及计算 结果 更重要的是 还有详细的对算法的框图说明 关键词 MATLAB 不规则图形面积 三次样条插值 复化梯形公式 问题提出 图 3 8 是某国的地图 为了计算它的国土面积 首先对地图作如下测量 以由西 向东方向为 轴 由南到北方向为 轴 选择方便的原点 得到了表 3 6 表 3 7 的地xy 图测量数据 比例尺为 30 数据单位 100 公里 实际单位 试由测量数据采用 插值的方法产生一张需要的地图 计算该国国土的近似面积 与它的精确值 156 6500 万平方公里比较 表 3 6 表 3 7 见附件 问题解决 1 用 MATLAB 软件描点绘出地图的大概轮廓及三次样条插值作图 原始数据点所成图像 三次样条插值所成图像 观察图形 对三次样条插值后的图和原始数据图的比较 可得三次样条插值后的 图更加接近真实数据所形成的图形 图中 地图的面积记为 s 国土面积记为 S 上边 疆与 X 轴围成的面积记为 s2 下边疆与 X 轴围成的面积记为 s1 从下面图中可以得出 s s1 s1 再通过比例转化得 S 观察图形发现 4 个特殊段与 X 轴围成的面积 分别记 为 s11 55 x 72 s12 542 x 555 s21 619 x 633 s22 240 x 247 对特 殊段的处理见下 地图面积 s 图 s2 图 s1 原始图像和三次样条插值的绘图代码可以参照附录 2 编写 2 对特殊段面积的计算 s11 57 x 72 s12 542 x 555 s21 619 x 633 s22 240 x 247 将特殊段分割出去 对分割出的数据进行三次样条插值 1 再用复化梯形公式 2 求出特殊段 s11 s12 s21 s22 的值 由于这四个特殊段面积的计算方法类同 所以这里 就以 s11 的计算为例 s11 的计算 A2 xlsread 第一题数据 下边疆 A11 B13 x2 A2 1 y2 A2 2 x21 max x2 0 001 min x2 y2i1 interp1 x2 y2 x21 spline s11 trapz x21 y2i1 由于 x21 的值是降序的所以符号取反的结果才是面积 s11 计算结果为 s11 2 7150e 003 s12 1 3585e 003 s21 3 8407e 003 s22 2 2610e 003 3 计算 s1 和 s2 s1 中包含 s11 和 s12 的图 s2 中包含 s21 和 s22 的图 由于 s1 和 s2 的计算方法类同 所以这就以 s1 的计算为例 对分段的数据进行三 次样条插值 除特殊段以外 具体分割见附录 1 下边疆 每段都运用复化梯形公式 并求出和记为 s10 观察图形可得出 s10 与 s1 相比就只多算了两个特殊段的面积 s11 s12 所以 s1 s10 s11 s12 计算 s1 的关键代码 s10 trapz x10 y1i trapz x30 y3i trapz x40 y4i trapz x60 y6i 用复化梯形公式求除特殊段以外的各段与 X 轴围成的面积并求和 计算结果为 s1 7 4597e 004 s2 2 1257e 005 4 计算 S 从以上的过程已经得出 s s2 s1 还要将 s 按比例转化所得就是国土面积 S s s2 s1 S s 100 9 S 计算结果为 S 1 5331e 006 平方公里 5 计算相对误差 t 相对误差的求解公式为 065 1t eS 计算结果为 t 0 0213 6 误差分析 误差的产生主要来源于数据点的个数有点少以及数据点之间不够均匀 这样三次 样条插值后的数据作图就会与实际地图和地形相比有较大的误差 7 分析和总结 由于 t 的值较小 所以以上的计算结果 S 1 5331e 006 平方公里可以作为国土面 积的近似值 在以后的不规则图形面积的计算中 此方法可以考虑选择使用 由于梯 形公式只有一次代数精确度 3 所以会产生计算的结果不够精确 但要很精确求出不 规则图形面积 就必须测量出更多的数据点以及选用代数精确度更高的算法 才能够 更加减少插值和计算上的误差 至此 国土面积计算完成 注释 1 三次样条插值 参照 参考文献 2 46 50 页 2 复化梯形公式 参照 参考文献 2 90 91 页 3 代数精确度 参照 参考文献 2 88 页 参考文献 1 李玉莉等 MATLAB 函数速查手册 北京 化学工业出版社 2010 2 袁东锦 计算方法 数值分析 南京 南京师范大学出版社 2007 3 蒲俊 吉家锋 伊良忠 MATLAB6 0 数学手册 上海浦东 浦东电子出版社 2002 附录 1 对附件数据的分段 下边疆 A03 B10 A11 B13 特殊段 s11 A13 B31 A32 B39 A39 B40 特殊段 s12 A40 B56 上边疆 A03 B11 A11 B14 特殊段 s21 A14 B40 A40 B41 特殊段 s22 A41 B49 A50 B52 A53 B64 2 求国土面积及相对误差的完整代码 A1 xlsread 第一题数据 下边疆 A03 B10 A2 xlsread 第一题数据 下边疆 A11 B13 A3 xlsread 第一题数据 下边疆 A13 B31 A4 xlsread 第一题数据 下边疆 A32 B39 A5 xlsread 第一题数据 下边疆 A39 B40 A6 xlsread 第一题数据 下边疆 A40 B56 导入下边疆的实验数据并分好计算的数据段 x1 A1 1 x2 A2 1 x3 A3 1 x4 A4 1 x5 A5 1 x6 A6 1 y1 A1 2 y2 A2 2 y3 A3 2 y4 A4 2 y5 A5 2 y6 A6 2 给相应的变量赋值 x10 min x1 0 001 max x1 对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理 x20 max x2 0 001 min x2 x30 min x3 0 001 max x3 x40 min x4 0 001 max x4 x50 max x5 0 001 min x5 x60 min x6 0 001 max x6 y1i interp1 x1 y1 x10 spline 对数据进行三次样条插值 y2i interp1 x2 y2 x20 spline y3i interp1 x3 y3 x30 spline y4i interp1 x4 y4 x40 spline y5i interp1 x5 y5 x50 spline y6i interp1 x6 y6 x60 spline x x10 x20 x30 x40 x50 x60 y y1i y2i y3i y4i y5i y6i 对三次样条插值后的数据按连结顺序合并 s10 trapz x10 y1i trapz x30 y3i trapz x40 y4i trapz x60 y6i 用梯形公式求除特殊段以外的各段与 X 轴围成的面积并求和 s11 trapz x20 y2i 对特殊段面积 s11 的计算 s12 trapz x50 y5i 对特殊段面积 s12 的计算 s1 s10 s11 s12 计算下疆界与 X 轴围成面积的精确值 plot x y hold on A1 xlsread 第一题数据 上边疆 A03 B11 A2 xlsread 第一题数据 上边疆 A11 B14 A3 xlsread 第一题数据 上边疆 A14 B40 A4 xlsread 第一题数据 上边疆 A40 B41 A5 xlsread 第一题数据 上边疆 A41 B49 A6 xlsread 第一题数据 上边疆 A50 B52 A7 xlsread 第一题数据 上边疆 A53 B64 导入上边疆的实验数据并分好计算的数据段 x1 A1 1 x2 A2 1 x3 A3 1 x4 A4 1 x5 A5 1 x6 A6 1 x7 A7 1 y1 A1 2 y2 A2 2 y3 A3 2 y4 A4 2 y5 A5 2 y6 A6 2 y7 A7 2 给相应的变量赋值 x10 min x1 0 001 max x1 对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理 x20 max x2 0 001 min x2 x30 min x3 0 001 max x3 x40 max x4 0 001 min x4 x50 min x5 0 001 max x5 x60 min x6 0 001 max x6 x70 min x7 0 001 max x7 y1i interp1 x1 y1 x10 spline 对数据进行三次样条插值 y2i interp1 x2 y2 x20 spline y3i interp1 x3 y3 x30 spline y4i interp1 x4 y4 x40 spline y5i interp1 x5 y5 x50 spline y6i interp1 x6 y6 x60 spline y7i interp1 x7 y7 x70 spline x x70 x60 x50 x40 x30 x20 x10 y y7i y6i y5i y4i y3i y2i y1i 对三次样条插值后的数据按连结顺序合并 s20 trapz x10 y1i trapz x30 y3i trapz x50 y5i trapz x60 y6i trapz x70 y7i 用梯形公式求除特殊段以外的各段与 X 轴围成的面积并求和 s21 trapz x20 y2i 对特殊段面积 s21 的计算 s22 trapz x40 y4i 对特殊段面积 s22 的计算 s2 s20 s21 s22 计算上疆界与 X 轴围成面积的精确值 s s2 s1 S s 100 9 计算实际国土面积 S plot x y grid on t abs 1 5665e 006 S 1 5665e 006 计算相对误差 t