例析圆中“弦长公式”的应用.doc

例析圆中“弦长公式”的应用当直线和圆相交时，得一个弦长（设为），根据圆的图形几何性质：半弦长、半径，弦心距构成直角三角形：在解答有关弦长问题时，若注意使用圆中这一特有的“弦长公式”，会突出几何直观性，减少运算量，有事半功倍的作用，例析如下：一、 求公共弦长例1 已知圆和圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长分析：因为两个圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，联立方程组求得交点可得直线方程，但若应用圆系方程求弦所在的直线方程更为简洁，再利用弦长公式求出公共弦长解：如图1，设两圆的交点为，则两点的坐标是方程组的解，两个式子相减，得由于两点的坐标都满足此方程，故为两圆的公共弦所在的直线方程易知圆的圆心为，半径为又到直线的距离为，二、 求直线的方程例2为圆内一点，求过点的最短的弦所在直线的方程解析：过点的直线有无数条，如图2，设其中一条与圆交于两点，若半径为，圆心到直线的距离为，则根据圆的几何性质得到，则根据圆的几何性质得到，由于半径是定值，弦最短时，应当是距离最大，只有当为弦中点时，才满足题意由圆变形，得，圆心为，故所求直线方程为例3求过点且被圆截得的弦长为的弦所在的直线方程解析：由题意易知，直线斜率存在且，设过点的直线方程为，圆心到直线的距离，半径为，由弦长公式，解得或故所求直线方程为或三、 求圆的方程例4 已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程解析：根据图形的几何性质：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形且，则，又弦心距等于圆心到直线的距离，设圆心坐标为，又知，故；或所求圆的方程为或