高二数学椭圆试题(有答案).doc

高二数学椭圆试题一：选择题1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）Am2或m1Bm2C1m2Dm2或2m1解：椭圆的焦点在x轴上m22+m，即m22m0解得m2或m1又2+m0m2m的取值范围：m2或2m1故选D2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D8解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m210m，即m6，解得m=8故选D3椭圆（1m）x2my2=1的长轴长是（）ABCD解：由椭圆（1m）x2my2=1，化成标准方程：由于，椭圆（1m）x2my2=1的长轴长是2a=2=故选B4已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）ABCD解：由椭圆定义有4a=8a=2，所以k+2=a2=4k=2从而b2=k+1=3，c2=a2b2=1，所以，故选A5已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0）B（x0）C（x0）D（x0）解：ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC=8，AB+AC=208=12，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a=6，c=4b2=20，椭圆的方程是故选B6方程=10，化简的结果是（）ABCD解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=210，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21所以椭圆的方程为：故选D7设是三角形的一个内角，且，则方程x2siny2cos=1表示的曲线是（）A焦点在x轴上的双曲线B焦点在x轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在y轴上的椭圆解：因为（0，），且sin+cos=，所以，（ ，），且|sin|cos|，所以（ ，），从而cos0，从而x2siny2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆故选 D8.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）ABCD解：设点P在x轴上方，坐标为，F1PF2为等腰直角三角形|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=故选D9.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）ABCD解：依题意，设P（c，y0）（y00），则+=1，y0=，P（c，），又A（a，0），B（0，b），ABOP，kAB=kOP，即=，b=c设该椭圆的离心率为e，则e2=，椭圆的离心率e=故选C10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D8解：由题意，F（1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2，因为2x02，所以当x0=2时，取得最大值，故选C11.如图，点F为椭圆=1（ab0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）ABCD解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F，由题意知，OM=b，又OM是FPF的中位线，OM=PF=b，PF=2b，由椭圆的定义知 PF=2aPF=2a2b，又 MF=PF=（2a2b）=ab，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又a2b2=c2，可求得离心率 e=，故答案选 B12椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（）ABCD解：由题意可得直线AB的方程为即bx+ayab=0，F（c，0）F（c，0）到直线AB的距离d=，|AF|=ac则a2=3b2a2=3a23c2即3c2=2a2=故选B13已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2，3c2，其中c=则椭圆的离心率的取值范围为（）A，B，1）C，1）D，解：|PF1|PF2|的最大值=a2，由题意知2c2a23c2，故椭圆m的离心率e的取值范围 故选A14在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）ABCD解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF2|ac，故，即a3c，故，即，又e1，故该椭圆离心率的取值范围是故选B二：填空题15.已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=3解：由题意知PF1F2的面积=，b=3，故答案为316若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是4k7解：+=1表示焦点在y轴上的椭圆，k17k04k7故k的取值范围是4k7故答案为：4k717.已知椭圆的焦距为2，则实数t=2，3，6解：当t25t0即t5时，a2=t2，b2=5t此时c2=t25t=6解可得，t=6或t=1（舍）当0t25t即0t5时，a2=5t，b2=t2此时c2=a2b2=5tt2=6解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6故答案为：2，3，618.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A（4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=解：利用椭圆定义得a+c=25=10b=24=8由正弦定理得=故答案为19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为20.若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是解：设切点坐标为（m，n）则即m2+n2=1m即AB的直线方程为2x+y2=0线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点2c2=0；b2=0解得c=1，b=2所以a2=5故椭圆方程为故答案为三：解答题21.已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（1）求|PF1|PF2|的最大值；（2）若F1PF2=60且F1PF2的面积为，求b的值解：（1）P点在椭圆上，|PF1|+|PF2|=|2a=20，|PF1|0，|PF2|0，|PF1|PF2|=100，|PF1|PF2|有最大值100（2）a=10，|F1F2|=2c设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20，在F1PF2中，F1PF2=60，所以根据余弦定理可得：t12+t222t1t2cos60=4c2，由2得3t1t2=4004c2，所以由正弦定理可得：=所以c=6，b=822.如图，F1、F2分别是椭圆C：（ab0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF2=60（）求椭圆C的离心率；（）已知AF1B的面积为40，求a，b 的值解：（）F1AF2=60a=2ce=（）设|BF2|=m，则|BF1|=2am，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120（2am）2=m2+a2+amm=AF1B面积S=|BA|F1F2|sin60=40a=10，c=5，b=523.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a0，b0），且可知左焦点为F（2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t212=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有=（3t）243（t212）0，解得4t4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=2，由于24，4，所以符合题意的直线l不存在24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求E的离心率；（2）设点P（0，1）满足|PA|=|PB|，求E的方程解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得l的方程为y=x+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2b2）=0则因为直线AB斜率为1，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，由|PA|=|PB|，得kPN=1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为25.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（） 求椭圆的方程；（） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若，求k的值解：（I）根据椭圆方程为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，=，离心率为，=，解得b=，c=1，a=椭圆的方程为；（II）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1）=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得k=26.设椭圆E：，O为坐标原点（）求椭圆E的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由解：（1）因为椭圆E：（a，b0）过M（2，），N（，1）两点，所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，则=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，即8k2m2+40，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m28k28=0，所以又8k2m2+40，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且因为，所以，=，当k0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”2当k=0时，27.已知直线x2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（2，0），上顶点为D（0，1），a=2，b=1故椭圆C的方程为（4分）（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k24=0设S（x1，y1），则得，从而即，（6分）又B（2，0）由得，（8分）故又k0，当且仅当，即时等号成立时，线段MN的长度取最小值（10分）（2）另解：设S（xs，yS），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由kAM=kAS，可得同理可得：又所以，=不仿设yM0，yN0当且仅当yM=yN时取等号，即时，线段MN的长度取最小值（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，（11分）要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上设直线l：x+y+t=0，则由，解得或又因为T为直线l与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件（14分）