角的平分线的性质.doc

角的平分线的性质一. 基础知识1角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式如图所示，点P在AOB的角平分线上，PDOA，PEOB，PDPE.2角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上(2)书写格式如图所示，PDOA，PEOB，PDPE，点P在AOB的角平分线上3运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法4运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题解技巧 巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点5综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据析规律 构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可6运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个 【例6】 如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；ACB，ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有BAC，BCA的外角平分线的交点；BAC，CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个作法：(1)如右图所示，作出ABC两内角BAC，ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出ACB，ABC的外角平分线的交点O2，BAC，BCA的外角平分线的交点O3，BAC，CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处课堂练习一、填空题 1已知：ABC中，B=90， A、C的平分线交于点O，则AOC的度数为 .2角平分线上的点到_距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_3AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_.4如图，AOB=60，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，则DOC=_.5如图，在ABC中，C=90，AD是角平分线，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_cm.6如图，CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FGAB，垂足为G，则CF_FG，CE_CF.7如图，已知AB、CD相交于点E，AEC及AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_.8三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_相等9点O是ABC内一点，且点O到三边的距离相等，A=60，则BOC的度数为_10在ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32且BDCD=97，则D到AB的距离为. 二、选择题 11三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点12如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD13如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处 B、2处 C、3处D、4处14如图，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，则DEB的周长为（）A、4 B、6 C、10 D、不能确定 第12题 第13题 第14题 15如图，MPNP，MQ为MNP的角平分线，MTMP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）A、TQPQB、MQTMQPC、QTN90D、NQTMQT 第15题 16如图在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 17如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分线上其中正确的是（ ）A B C和 D18如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ） AOA=OC B点O到AB、CD的距离相等 CBDA=BDC D点O到CB、CD的距离相等 19ABC中，C=90，点O为ABC三条角平分线的交点，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ） A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 20两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A两个三角形全等 B如果还有一角相等，两三角形就全等C两个三角形一定不全等 D如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明 21 如图，已知ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等. 22 如图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD求证：AD平分BAC.23 如图，已知BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于E求证：AE平分FAC.24 如图，已知AB=AC，AD=AE，DB与CE相交于O. (1)若DBAC于D，CEAB于E，试判断OE与OD的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.25如图，B=C=90M是BC的中点，DM平分ADC，求证：AM平分DAB.重点题型讲解1.如图已知在ABC中，A、B的角平分线交于点O，过O作OPBC于P，OQAC于Q，ORAB于R，AB=7，BC=8，AC=9（1）求BP、CQ、AR的长（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若A=60，求证：OE=OF2.如图AE、BD是ABM的高AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分ABM（1）求证：BC=2AD；（2）求证：AB=AE+CE；（3）求证：DE平分MDB3.如图，点M（2，2），将一个90的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分OAB，交OM于点P，PNx轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分AOB；（2）求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于点H，连CH（1）求证：ACDBCE；（2）求证：CH平分AHE；（3）求CHE的度数（用含的式子表示）家庭作业1角平分线上的点到_距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_2、AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_.3、如图，AOB=60，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，则DOC=_.4、如图，在ABC中，C=90，AD是角平分线，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_cm.5、 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_相等。6、 点O是ABC内一点，且点O到三边的距离相等，A=60，则BOC的度数为_7、 在ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，则D到AB的距离为. 8、三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点9、如图，12，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD10、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处 B、2处 C、3处D、4处11、如图，ABC中，C90，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，则DEB的周长为（）A、4 B、6 C、10 D、不能确定 第9题 第10题 第11题12、如图，MPNP，MQ为MNP的角平分线，MTMP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）A、TQPQB、MQTMQPC、QTN90D、NQTMQT 第12题 第13题 第14题13、如图在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 14、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分线上其中正确的是（ ）A B C和 D15、ABC中，C=90，点O为ABC三条角平分线的交点，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 16、在RtABC中，C90，DE是AB的垂直平分线，且BADBAC13，求B的度数 17、已知：如图ABC中，AB=AC，C=30，ABAD，AD=4cm，求BC的长 18、如图1134，在ABC中C=900，AC=BC，AD平分交BC于点D，DEBE求证：（1）DE+BD=AC （2）若AB=6cm，求DBE的周长 19、如图1136，已知：AB=AC，BD=CD，求证：DE=DF20、如图1133，在，交BC于D，若BC=10cm，BD=6cm，求点D到AB的距离21、如图ll37，BN是的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，都不是直角，求证：PD=PE22如图11310，已知0为的平分线的交点，0E_kAC于E，若0E=2求0到AB与0到CD的距离之和23如图113一ll，已知于F，BE、CF相交于点D若BD=CD求证：