高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第八节解三角形课件理.ppt

理数课标版 第八节解三角形 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离 高度 角度问题 计算面积问题等 教材研读 2 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角 目标视线在水平线 上方的角叫仰角 目标视线在水平线 下方的角叫俯角 如图 2 方向角 一般指相对于正北或正南方向的水平锐角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角从 正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角 如点B的方位角为 如图 4 坡角 坡面与水平面所成的锐二面角 附 坡度 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 3 解关于解三角形的应用题的一般步骤 1 理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题 3 根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解 4 将所得结论还原到实际问题 注意实际问题中有关单位 近似计算等的要求 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 与 的关系为 A B C 90 D 180 答案B根据题意和仰角 俯角的概念画出草图 如图 可知 2 如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm 灯塔A在观察站C的北偏东20 的方向上 灯塔B在观察站C的南偏东40 的方向上 则灯塔A与灯塔B的距离为 A akmB akmC akmD 2akm 答案B ACB 180 20 40 120 在 ABC中 AB2 AC2 BC2 2AC BCcos120 a2 a2 2a2 3a2 AB a km 故选B 3 在上题的条件下 灯塔A相对于灯塔B的方向为 A 北偏西5 B 北偏西10 C 北偏西15 D 北偏西20 答案B易知 B A 30 C在B的北偏西40 的方向上 又40 30 10 故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10 4 在相距2千米的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为千米 答案解析 ACB 180 75 60 45 由正弦定理得 AC 千米 5 一艘船自西向东匀速航行 上午10时到达灯塔P的南偏西75 距灯塔68海里的M处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处 则此船航行的速度为海里 小时 答案解析如图 由题意知 MPN 75 45 120 PNM 45 在 PMN中 MN 68 34海里 又由M到N所用的时间为14 10 4小时 此船的航行速度v 海里 小时 考点一测量距离问题 考点突破 典例1 1 2014四川 13 5分 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为67 30 此时气球的高是46m 则河流的宽度BC约等于m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 sin67 0 92 cos67 0 39 sin37 0 60 cos37 0 80 1 73 2 如图 某观测站C在城A的南偏西20 的方向上 从城A出发有一条走向为南偏东40 的公路 在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去 行驶了20km后到达D处 测得C D两处的距离为21km 这时此车距离A城千米 答案 1 60 2 15解析 1 设气球A在地面的投影为点D 则AD 46m 于是BD AD tan 90 67 46 19 5m DC AD tan 90 30 46 79 6m BC DC BD 79 6 19 5 60m 2 在 BCD中 BC 31km BD 20km CD 21km 由余弦定理得cos BDC 所以cos ADC 所以sin ADC 在 ACD中 CD 21km CAD 60 所以sin ACD sin 60 ADC 由正弦定理得 所以AD 15km 方法技巧求解距离问题的一般步骤 1 画出示意图 将实际问题转化成三角形问题 2 明确所求的距离在哪个三角形中 有几个已知元素 3 使用正弦定理 余弦定理解三角形 对于解答题 应作答 1 1 2017安徽铜陵一中期末 如图所示 A B两点在一条河的两岸 测量者在A的同侧 且B点不可到达 要测出A B的距离 其方法是在A所在的岸边选定一点C 测出A C的距离m 再借助仪器 测出 ACB CAB 在 ABC中 运用正弦定理就可以求出AB 若测出AC 60m BAC 75 BCA 45 则A B两点间的距离为m 答案20解析 ABC 180 75 45 60 由正弦定理得 AB 20 m 即A B两点间的距离为20m 考点二测量高度问题典例2 2015湖北 13 5分 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 答案100解析依题意有AB 600 CAB 30 CBA 180 75 105 DBC 30 DC CB ACB 45 在 ABC中 由 得 有CB 300 在Rt BCD中 CD CB tan30 100 则此山的高度CD 100m 易错警示解决高度问题的注意事项 1 在解决有关高度的问题时 要理解仰角 俯角的概念 2 在实际问题中 可能会遇到同时研究空间与平面 地面 的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 3 一般是把高度问题转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关系的应用 若是空间的问题 则要注意空间图形和平面图形的结合 2 1 2016湖北七市 州 协作体联考 如图 为了估测某塔的高度 在同一水平面的A B两点处进行测量 在点A处测得塔顶C在西偏北20 的方向上 仰角为60 在点B处测得塔顶C在东偏北40 的方向上 仰角为30 若A B两点相距130m 则塔CD的高度为m 答案10 解析设CD hm 则AD m BD hm 在 ADB中 ADB 180 20 40 120 由余弦定理得AB2 BD2 AD2 2BD AD cos120 可得1302 3h2 2 h 解得h 10 负值舍去 故塔的高度为10m 考点三测量角度问题典例3如图 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇 位于A处 发现在北偏东45 方向 相距12nmile的水面B处 有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75 方向前进 若红方侦察艇以每小时14nmile的速度 沿北偏东45 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 解析如图 设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇 且经过的时间为x小时 则AC 14x nmile BC 10 x nmile ABC 120 根据余弦定理得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos120 解得x 2 负值舍去 故AC 28 nmile BC 20 nmile 根据正弦定理得 解得sin 综上 要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇 则所需要的时间为2小时 角 的正弦值为 易错警示解决测量角度问题的注意事项 1 明确方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意正确画出示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正 余弦定理的综合运用 解析在 ABC中 AB 40海里 AC 20海里 BAC 120 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 2800 所以BC 20海里 由正弦定理 得sin ACB sin BAC 由 BAC 120 知 ACB为锐角 故cos ACB 故cos cos ACB 30 cos ACBcos30 sin ACBsin30