大数定律与中心极限定理.ppt

第四章大数定律与中心极限定理 4 2大数定律1 伯努利大数定律定义4 2 1当n充分大时 频率un n与概率p间的大偏差的概率很小 即对任意的 0 有这种收敛性称为依概率收敛 定理4 2 1 伯努利大数定理 设un为n重伯努利试验中事件A发生的次数 p为每次试验中A出现的概率 则事件A发生的频率un n依概率收敛于事件A发生的概率 第四章大数定律与中心极限定理 例4 2 1 用蒙特卡洛方法计算定积分1 设0 f x 1 求f x 在区间 0 1 的积分值 2 常用的几个大数定律定义4 2 2设有一随机变量序列 Xn 对任意的 0 有则称该随机变量序列 Xn 服从大数定理 第四章大数定律与中心极限定理 切比雪夫大数定律定理4 2 2设一个两两互不相关随机变量序列 Xn 若Xi的方差存在 且有共同的上界 即Var Xi c i 1 2 则 Xn 服从大数定理 例4 2 2 马尔可夫大数定律定理4 2 3对随机变量序列 Xn 若满足则 Xn 服从大数定理 第四章大数定律与中心极限定理 例4 2 3 辛钦大数定律 平均观测值代替数学期望 定理4 2 4设 Xn 为一独立同分布的随机变量序列 若Xi的数学期望存在 则 Xn 服从大数定理 例4 2 4 用蒙特卡洛方法计算定积分2 设随机变量X服从 0 1 上的均匀分布 则 作业 习题4 21 3 9 12 第四章大数定律与中心极限定理 4 3随机变量序列的两种收敛性1 依概率收敛定义4 3 1设 Yn 为一随机变量序列 Y为一随机变量 如果对任意的 0 有则称 Yn 依概率收敛于Y 记作 定理4 3 1设 Xn Yn 是两个随机变量序列 a b是两个常数 如果则有 第三章多维随机变量及其分布 2 按分布收敛 弱收敛例4 3 1极限分布不能点点收敛的例子 定义4 3 2设随机变量X X1 X2 的分布函数分别为F x F1 x F2 x 若对F x 的任一连续点x 都有则称 Fn x 弱收敛于F x 记作也称 Xn 按分布收敛于X 记作定理4 3 2依概率收敛必然按分布收敛 即 第四章大数定律与中心极限定理 例4 3 2按分布收敛不一定有依概率收敛定理4 3 3若c为常数 则3 判断弱收敛的方法定理4 3 4弱收敛的充要条件是对应的特征函数点点收敛 即 第四章大数定律与中心极限定理 例4 3 3若X 服从参数为 的泊松分布 证明辛钦大数定律的证明若 Xn 独立同分布 且E Xi a i 1 2 作业 习题4 34 14 第四章大数定律与中心极限定理 4 4中心极限定理1 独立随机变量和例4 4 1 例4 4 22 独立同分布下的中心极限定理定理4 4 1设 Xn 是独立同分布随机变量序列 且E Xi Var Xi 2 0 i 1 2 则对任意实数y 有 第四章大数定律与中心极限定理 以定理称为林德贝格 勒维中心极限定理3 二项分布的正态近似 棣莫弗 拉普拉斯定理 定理4 4 2设n重伯努利试验中 事件A在每次试验中出现的概率为p 记un为n次试验中事件A出现的次数 记则对任意实数y 有 第四章大数定律与中心极限定理 两点说明 二项分布正态近似的修正P k1 un k2 P k1 0 5 un k2 0 5 应用举例例4 4 5例4 4 6例4 4 7 第四章大数定律与中心极限定理 4 独立不同分布下的中心极限定理设 Xn 是相互独立随机变量序列 且存在有限的数学期望和方差 E Xi ui Var Xi i2 i 1 2 记Bn2 12 22 n2 称下式为林德贝格条件 对任意的 0 有 第四章大数定律与中心极限定理 定理4 4 3林德贝格中心极限定理设相互独立随机变量序列 Xn 满足林德贝格条件 则对任意的x 有若 Xn 是独立同分布随机变量序列 则随机变量和的标准化变量以标准正态分布为极限 第四章大数定律与中心极限定理 定理4 4 4李雅普诺夫中心极限定理设 Xn 为相互独立随机变量序列 若存在 0 满足则对任意的x 有例4 4 9 作业 习题4 48 18