调和点列性质.doc

调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J.施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A.凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。定义：直线上依次四点A、B、C、D满足，则称A、B、C、D四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。性质1：如图，A为圆O外一点，AB、AC为圆O的切线，ADEF截圆O与D、F，交BC与点E 则A、D、E、F四点调和。证明: 又而故成立。得证！推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆于D、F，交BC与E 则A、D、E、F成调和点列。证明：暂略。性质2：证明：而即证。推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则.反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且，则A、B、C、D四点调和。性质3：若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足则必有MC平分，MA外角平分.这是调和点列应用中相当重要的一个性质。证明：反证法。反设MC不平分，作MC平分角交BD与C，MA外角平分角交DB延长线与A ，则由内角平分线定理，有外角平分线定理，所以 由A、B、C、D成调和点列知注意到成立成立所以 与矛盾！所以MC平分，MA外角平分