概率论第二章内容总结与案例.ppt

第二章内容回顾 分布函数的性质 F x 单调不减 即 且 F x 右连续 即 用分布函数表示概率 a b p d f 连续随机变量密度函数f x 的性质 1 2 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r v 的d f 3 在f x 的连续点处 f x 描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率 数学期望的性质 1 E c c 2 E aX aE X 3 E g1 X g2 X E g1 X E g2 X 2 3 2方差的性质 1 Var c 0 性质2 3 2 2 Var aX b a2Var X 性质2 3 3 3 Var X E X2 E X 2 性质2 3 1 2 3 3切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 易知越大 的取值越分散 切比雪夫 定理 泊松定理 在n重伯努利试验中 事件A在每次试验中发生的概率为pn 注意这与试验次数n有关 如果n 时 npn 0为常数 则对于任意给定的k 有 超几何 二项 泊松分布之间的近似关系 定理超几何分布的极限分布是二项分布 即 在超几何分布中对于固定的n k 如果limN p则有极限关系 limN Cnkpk 1 p n k对所有的0 k n都成立 一般当n 0 1N时可以用这个近似的计算公式 MN CMkCN Mn kCNn 常用离散分布的数学期望 几何分布Ge p 的数学期望 1 p 0 1分布的数学期望 p 二项分布b n p 的数学期望 np 泊松分布P 的数学期望 常用离散分布的方差 0 1分布的方差 p 1 p 二项分布b n p 的方差 np 1 p 泊松分布P 的方差 几何分布Ge p 的方差 1 p p2 P X m n X m P X n 几何分布的无记忆性 指数分布的无记忆性 常用连续分布的数学期望 均匀分布U a b E X a b 2 指数分布Exp E X 1 正态分布N 2 E X 伽玛分布Ga E X 贝塔分布Be a b E X a a b 常用连续分布的方差 均匀分布U a b 的方差 b a 2 12 指数分布Exp 的方差 1 2 正态分布N 2 的方差 2 伽玛分布Ga Var X 2 贝塔分布Be a b Var X ab a b 2 a b 1 x 的计算 1 x 0时 查标准正态分布函数表 2 x 0时 用 若X N 0 1 则 1 P X a a 2 P X a 1 a 3 P a X b b a 4 若a 0 则P X a P a X a a a a 1 a 2 a 1 一般正态分布的标准化 定理2 5 1设X N 2 则Y N 0 1 推论 若X N 2 则 正态变量的线性不变性 定理2 6 2设X N 2 则当a 0时 Y aX b N a b a2 2 由此得 若X N 2 则Y X N 0 1 正态分布的3 原则 设X N 2 则 P X 0 6828 P X 2 0 9545 P X 3 0 9973 2 6 2连续随机变量函数的分布 定理2 6 1设X pX x y g x 是x的严格单调函数 记x h y 为y g x 的反函数 且h y 连续可导 则Y g X 的密度函数为 伽玛分布的有用结论 定理2 6 4设X Ga 则当k 0时 Y kX Ga k 定理2 6 5设X FX x 若FX x 为严格单调增的连续函数 则Y FX X U 0 1 均匀分布的有用结论 分布从哪里来 为什么事件发生的次数常使用泊松分布 伽马 贝塔 威布尔分布看起来冗长难懂 又会有什么作用 分布来源于问题的提出 心理学家认为 一个正常人 在整个睡眠时间中 异相睡眠所占的比例服从B 12 48 非寿险精算 常用的损失分布为对数正态 伽马分布 贝塔分布 帕累托分布索赔次数分布 泊松分布 二项分布 负二项分布 可靠性问题 可靠度 测量仪器在规定的条件下 在规定的时间内完成规定功能的概率 它是时间的函数 记作R t R t p T t 式中 T为测量仪器寿命 t为规定时间 当t 0时 R 0 1 当t 时 R 0 0 t N n t 失效分布函数 0 t N n t t t n t 产品工作到时间t时刻后 每单位时间内发生失效的频率为 威布尔分布 环断裂概率 n t t 收益问题 统计数据表明 一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p 在五年内死亡 非自杀 的概率为1 p 保险公司开办5年人寿保险 条件为参保者缴纳保费a元 若5年内死亡 公司赔偿b元 问b的取值应为多少保险公司才能获益 虫卵发育问题 设一只昆虫所生的虫卵数为X 服从参数为 的泊松分布 每个虫卵发育为幼虫的概率为p 各虫卵是否发育为幼虫相互独立 求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差 数学期望问题1 设随机变量X的概率密度为 求E min X 1 数学期望问题2 对圆的直径进行测量 其值X均匀的分布在区间 a b 内 求圆面积的数学期望 银行等待问题 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布 其密度函数为 某顾客在窗口等待服务 若超过10分钟 就离开 该顾客一个月到银行5次 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数 请写出Y的分布 离散随机变量与连续随机变量 设F x 与G x 都是分布函数 且a 0 b 0 为常数 且有a b 1 证明H x aF x bG x 为分布函数 并对H x 的离散与连续性展开讨论 奇异型随机变量 F X 0 0 5 问题1 解 记B 至少出现一次双6点 则所求概率为 两颗骰子掷24次 求至少出现一次双6点的概率 问题2从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞 求2张都是假钞的概率 例2 令A表示 抽到2张都是假钞 B表示 2张中至少有1张假钞 则所求概率是 而不是 所以 15 5 1 15 1 5 1 2 5 1 15 2 1 5 1 15 问题3盒中装有5个产品 其中3个一等品 2个二等品 从中不放回地取产品 每次1个 求 3 取三次 第三次才取得一等品的概率 例3 问题4 某人有2盒火柴 吸烟时从任意盒中取1根 经过若干时间 发现一盒火柴已用完 假设每盒火柴在未启用时各有n根 求另外一盒剩余r根的概率 摸球问题 物品放入盒子问题